运筹学第四章作业的参考答案

第四章作业的参考答案
151P 5、判断下列函数是否为凸函数.
（3）3132212
3222126293)(x x x x x x x x x x f ++-++=
解： )(x f 的Hesse 矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∇1862662222)(2
x f .
)(2x f ∇的各阶主子式分别为
.018
6
2
662224,
07218
66
6,
03418
22
2,086222
,018,06,02=-->=>=>=-->>>
因而)(2
x f ∇为半正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。

152
P 9、用0.618法求以下问题的近似解 5060212)(min 230
+-+-=≥t t t t t ϕ
已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0=ε。

解：迭代过程用下表给出：
第三轮迭代开始时有ε=<=-=-8.0708.0646.1354.2a b 。

所以近似最优解为
084.2*=t 。

152
P 14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.
（1）212212
2211620)(2)(min x x x x x x x f --+++=
解：化简目标函数，得
.1620223)(21212
221x x x x x x x f --++=
所以，)(x f 的Hesse 矩阵为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∇4226)(2
x f . 因为)(2x f ∇是正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。

另一方面，目标函数的梯度向量为 .)1624,2026()(1221T
x x x x x f -+-+=∇ 令0)(=∇x f ，即
⎩⎨
⎧=-+=-+0
16240
20261221x x x x ， 求得目标函数的驻点为T x )514,512(*
=. 所以，原问题的最优解为T x )5
14,512(*=.
152P 16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。

（1）2
2212
131min x x +，取初始点.)2,3(0T x = 解：由题意知
.),3
2
(),(
)(2121T T x x x f x f x f =∂∂∂∂=∇ 第一轮迭代：
T x f p )2,2()(00--=-∇=。

则
T t t tp x )22,23(00--=+。

所以
2200)22(2
1
)23(31)(t t tp x f -+-=+。

令
0)22(2)23(34
)(00=----=+t t tp x f dt d ， 解得560=t 。

所以，T p t x x )5
2,53(0
001-=+=。

第二轮迭代：
T x f p )5
2
,52()(11-=-∇=。

则
T
t t tp x )5
22,523(
11+--=+。

所以
2
211)5
22(21)523(31)(t t tp x f +-⨯+-⨯=+。

令
0)522(2)523(34)(11=+-⨯+-⨯-=+t
t tp x f dt d ， 解得5
61=t 。

所以，T p t x x )252,253(1
112=+=。

第三轮迭代：
T x f p )25
2
,252()(22--
=-∇=。

则
T t t tp x )25
22,2523(
22--=+。

所以
2222)25
22(21)2523(31)(t t tp x f -⨯+-⨯=
+。

令
0)2522(2)2523(34)(22=-⨯--⨯-=+t
t tp x f dt d ， 解得562=t 。

所以，T p t x x )125
2,1253(
2
223-=+=。

153P 23（1）
、写出下列问题的K-T 条件，并求出它们的K-T 点. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=-+≤-+-+-0,004205..)2()3(min 21212
221
2221x x x x x x t s x x
解：将问题（1）变形为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-+≤-≤-≤-+-+-0
42000
5..)2()3(min 21212
2212
221x x x x x x t s x x
所以，其Lagrange 函数为
)
42()()
()5()2()3(),,(2123122
22112221-++-+-+-++-+-=x x x x x x x x x L μλλλμλ
所以有
μλλ+-+-=∂∂21111
2)3(2x x x L
μλλ22)2(232122
+-+-=∂∂x x x L
因此，问题（1）的K-T 条件是
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧≥=-=-=-+=+-+-=+-+-0
,,0
)(0)(0
)5(0
22)2(202)3(23212
312222113212
2111λλλλλλμλλμλλx x x x x x x x 作为K-T 点还应满足可行性条件
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥=-+≤-+0
,00420521
212
221x x x x x x 利用互补松紧条件进行讨论 （I ）若
01≠λ，则由互补松紧条件知
052
221=-+x x
再加上可行性条件中的一个方程 04221=-+x x 以及0,021≥≥x x ，可解得 1,221==x x 。

再由互补松紧条件知 032==λλ。

将这
些值代入K-T 条件的前两个方程有
⎩
⎨
⎧=++-=++-022)21(20
4)32(211μλμλ 解得 32,311==
μλ. 经检验，3
2
,)0,0,31(,)1,2(***===μλT T x 均满足（1）的K-T 条件和可行性条件，因而 T
x )1,2(*
=为其K-T 点.
（II ）若,0,021≠=λλ 则由互补松紧条件知,01=x 由可行性条件知 22=x 。

再由互补松紧条件知03=λ。

将这些值代入K-T 条件的前两个方程有
⎩⎨
⎧==+--0
)30(22μμλ 解得
.6,02-==λμ与 02≥λ矛盾。

（III ）若
,0,0,0321≠==λλλ 则由互补松紧条件知,02=x 由可行性条件知
41=x 。

与 052
221≤-+x x 矛盾。

（IV ） 若
,0,0,0321===λλλ将这些值代入K-T 条件的前两个方程有
⎩⎨
⎧=+-=+-0
2)2(20
)3(221μμx x 再加上可行性条件中的一个方程
04221=-+x x 可解得 .5
6,54,51221===μx x 与 052
221≤-+x x 矛盾。

综上分析，问题（1）只有一个K-T 点T
x )1,2(*=。