数学物理方程习题讲义 (4)

11
G(M , M0 ) 2 ln rMM0 物理意义：平面上M0点处单位正线电荷在介电常数
为1的介质中产生的场。
M0点处电荷密度为q的线电荷产生的场的大小为
q1
ln C
2 rMM0
设M0为圆域 (ρ<R)内的一点，
P
rOM0 r0, 在M0点放一单位正电荷 在OM0的延长线上某点M1 (rr1 )
2R20
cos
R
1
4 R
[
R2
02
R
2 02 2R0
cos
]3
/
2
1
4 R
[R2
02
2 R 0 (cos 0
R2 02 cos sin0
sin
cos(
0 ))]3/ 2
所以球坐标下Laplace方程Dirichlet问题的解为：
u(0,0,0 )
G(, , ;
n
0,0,0 )
f ( , )dS
1 证明平面上的格林公式：
(v2u u2v)d
D
C
v
u n
u
v n
ds
其中 C 是区域 D 的边界曲线，ds 是弧微分.
首先证明第一格林公式
P
D
(
x
Q )d
y
C P cos(n,
x)
Q cos(n,
y ) ds
格林公式一般表示为：
y D
Q P
D
(
D
x
y
) dxdy
P dx Q dy D
P u v , Q u v
x
y
左
D
(v(u2uv D x x
uu2v)x2dv2uyDvyvuuny2vu2 )dnv
ds
右=
D
u
v x
cos(
n,
x
)
u
v y
cos(
n,
y
)
ds
uuuuuur uuuuuur
(Grad u Gradv u2v)d
u v ds
D
D n
uuuuuur uuuuuur
(Grad u Gradv v2u)d
v u ds
D
D n
3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。
取 v ln 1 (基本解,见第二题),
利用第二格林公式 (见第一题)
取 u 为调和函数，
•D
M0
1
D
u
2
ln
1
ln
1
2
u
d
u
ln
n
ln
1
u
ds
n
=0
1 1 u
2R0 sin( 0 ) 02 2R0 cos( 0 )
R2
q 2R1 sin( 0 )
12
2R 1
cos(
0)
0
化简可得
2(1 q)R01 cos( 0 ) q1(R2 02 ) 0(R2 12 ) 0
cos( 0 ),1 线性无关，故得
2(1 q)
q1( R2
R01 0 02 ) 0
G( , ;0 ,0 )
1
2
ln
1
2 0
2
20
cos(0
)
ln
R
R4
2 2 0
2 R 2 0
cos(0
)
6 用二维问题的格林函数法求下列上半平面 狄氏问题的解：
2u x 2
2u y2
0,
x , y 0
u
|
y0
(
x
),
x
u(
M0
)
G n
ds
ln
1
2
u n
1 1 u
代入到等式：
u
n
ln
ln
n
ds
0
u
n
ln
1
ln
1
u n
ds
2 u ln 1
2
u n
0
2 u(M0 )
0
令 0, 则
u(M0 )
1
2
u
n
(ln
1 ) ln
1
u n
ds
4. 平面上狄氏问题解的表达式
G
M
,
M0
u
n
ln
ln
n
ds
0
•D
M0
在圆周 上，
( x x0 )2 ( y y0 )2
n
ln
1
ln
1
1
1
1
u ln ds 1 uds 1 u 2 2 u
n
其中 u 是 u 在圆周 上的平均值. 同理
ln
1
u ds n
ln 1
u ds n
(
R2
12
)
0
解之
q
1, 1
R2
0
代入
1 1q 1
v(M, M0)
2
ln rMM0
2
ln rMM1
C
解得 C 1 ln R
2 0
所以极坐标下圆域的Green函数为：
G( , ;0 ,0 )
1
2
ln
1
2 0
2
20
cos(0
)
ln R
1
0 12 2 21 cos(0 )
又
0 1 R2 ,
p
M1
rOM0 r0 , 连接OM0并延长至M1, 使得 rOM0 rOM1 R2 ,
M1 是 M0 关于球面 Σ 的反 演点，
o M0
P 为球面上一点。
1
q
4 rM0P 4 rM1P
q rPM1 rPM0
由 OM 0P ∽ OM1P
rPM1 rOP R
r r PM0
OM0
0
q R
O M0
M1
处放一电量为q负电荷，则这两个线电荷在圆内点 M(rr )
所产生的电势为
1 1q 1
v(M, M0)
2
ln rMM0
2
ln rMM1
C
由余弦定理，在极坐标下
M
M0 0
M1
O
rMM0
2 0
2
20 cos(
0 ),rMM1
12 2 2Fra Baidu bibliotek cos( 0 )
其中 OM , 0 OM0 , 1 OM1,
0
则Green函数为
P
M0
M1
O
M0
O
P
1 1
R
G(M, M0)
4
rMM0
r0 MM1
由又余弦0定 理1 ，R在2,极坐标下
rMM0 G
其中
(
,02
; 0
2,0
2)
01cos
4
,
2 0
rMM2 112
OM , 0 OM0 , 1 ROM1,
β
是
R4 OM0与 OM
的20夹2 角2R。2
1
2
ln
1
v,
则
u
M0
u
GdS n
.
2v 0 11
v ln
2
称 GM, M0 为拉普拉斯方程格林函数。
则平面上狄氏问题
2u 0,
u
|
(
M
),
解的表达式为
在 内，
M .
u(
M0
)
G n
ds
求球域(ρ<R )的Green函数及Laplace方程的Dirichlet 问题的解.
解：1) 设M0为球内任一点，
R
4
2 0
0
[
R2
02
2
R0
(
R2
2 0
)
f
(cos0 cos
(
, ) sin sin0 sin
cos(
0
))]3/
2
d
d
球的Piosson公式
5 求证圆域 x2 y2 R2 的格林函数为
1 1
R 1
G(M, M0)
2
ln rMM0
ln
0
rMM1
其中 0 rOM0 .
二维平面上基本解为
,0是 OM， OM0与x轴的夹角的夹角。
v( M ,
M0)
1
4
ln[ 02
2
20
cos(
0 )]
q
4
ln[02
2
20 cos(
0 )]
C
由条件 v 0 R
1
4
ln
a 2
2 0
2a0
cos(
0 )
q
4
ln a2
12
2a 1
cos(
0 )
0
上式对任意θ 都成立，故 G 0
R
即
a2
r
dy
dx
r
P
D
(
x
Q )d
y
P dy Q dx D
n
x
r
r
D P sin( , x) Qcos( , x) ds
(nr, x) π (r, x)
2
r
r
D P cos(n, x) Qcos(n, y) ds
(nr, y) π (r, x)
两D (式Px相减得Qy )d
r
r
D P cos(n, x) Qcos(n, y) ds
0
cos
12
0 cos
M
O
2 21
M0 0
cos
M1
G(M, M0)
1
4
1
2 0
2
20
cos
0
R
12 2 21 cos
cos cos cos0 sin sin0 cos( 0 )
2) 计算 G n
R
G G
n R R
1 [
1
R
4
2 0
2
2
0
cos
R4
2 2 0