定积分的概念
定积分的概念
微积分II Calculus II§7.1 定积分的概念§7.2 定积分的基本性质第七章§7.3 定积分计算基本公式定积分§7.4 定积分基本积分方法§7.5 反常积分§7.6 定积分的应用7.1 定积分的概念曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一问题的提出实例：求曲边梯形的面积1)(x f y =ayxb0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b(1) 分割：1 (1,2,).−∆=−=k k k x x x k n 分点为：将区间任意分为个子区间[,]a bn(2) 近似：任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n ()ξ≈∆k k k S f x ayxb ()ξk f ξk1−k x kxayxb 1==∑nkk S S (3)作和：1()ξ=≈∆∑nkkk f x (4)取极限：记1max{}≤≤∆=∆k k n x x 01lim ()ξ∆→==∆∑nk kx k S f x ()ξk f ξk1−k x kx0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n 1(1,2,,)−∆=−=k k k x x x k n 设函数在上有定义，把任意分割成个小区间:[,]a b ()f x [,]a b n 作1(),ξ=∆∑nkk k f x 记1max{}≤≤∆=∆k k nx x 若极限01lim ()ξ∆→=∆∑n k k x k f x 存在，则称函数()f x 在[,]a b 上可积定积分的概念2()baf x dx⎰记作:此极限值为函数()f x 在[,]a b 上的定积分.积分下限a 积分上限b 积分变量x 被积表达式()f x dx 积分区间],[b a 即⎰badx )x (f 01lim ()ξ∆→==∆∑nk k x k f x(1)sdx x f ba=⎰)(sdx x f ba−=⎰)()(x f y =abxyos()0f x >(2)()0f x <)(x f y =a bxyos定积分的几何意义2(3)AB)(xfy=x y()f x()()()=−⎰b a f x dx S A S B二定积分存在定理定理一定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积定理二定理2：f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f x在区间a,b上可积利用定积分定义计算⎰102dxx 解2()f x x =120x dx ⎰存在在闭区间[0，1]上连续∴三例题演练例等分, 把区间[0,1]n 1 −∆=−k k k x x x 取(1,2,,)=k n ,n 1=,ξ==k k k x n ∴=k kx n分点为1()ξ=∆∑n k k k f x 21ξ==∆∑n k k k x 211=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n k k n n 2311==∑n i k n612113)n )(n (n n ++=22231(12)n n =++201lim ξ∆→==∆∑nkk x k x 31=31(1)(21)lim 6→∞++=n n n n n ⎰102dx x。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。
定积分的概念
定积分的概念
序言
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定积分的概念
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曲
定 定课
边
积 积堂
梯
分 分练
形
的 的习
面
定几
积
义何
意
义
引例：曲边梯形面积
设函数f（x）在区间[a，b]（a〈b）上非负且连续， 由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴围成的图形为曲 边梯形，如图所示。其中曲线弧y=f（x）称为曲边，线 段ab称为底边。
问题：如何计算曲边梯 形的面积呢？
分析过程：
曲边梯形的面积取决于区间[a，b]及定义在这个区间 上的函数f（x）。
定积分的概念
设某质点作直线运动，速度 v v (t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，物体在这段时 间内所经过的路程.
S v(t )dt
T2 T1
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
（3） 设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
6） (积分中值定理)若函数f ( x)在区间[a, b]上连续 . 则在[a, b]上至少存在一点 , 使得下式成立 :
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
y
a
o
A2
A1
A3
b
x
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的数 和 ． 代 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号在 x 轴 下 方 的 面 ； 积取负号．
定积分的概念
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx -x + 3x dx
3 2 0
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
a f(x)dx - b f (x)dx
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
a f (x)dx a
O a
b
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b
lim f (i ) xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
再 见
例 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习：利用定积分计算： x3 dx
0
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
定积分的概念
分割, i 如何取法, 极限
lim Sn lim f ( i )xi
0 0
i 1 n
存在, 则称此极限为f ( x )在[a, b]上的定积分,
记作 a f ( x )dx, 即
b
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
近似
12
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细, 即小区间的最大长度 max{ x1 , x 2 , x n } 趋近于零 ( 0) 时， （1）分割
播放
5
曲边梯形如图所示， 在区间[a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 分割 把区间 [a , b] 分成 n y
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
17
6.1.3 定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
b a
f ( x ) dx A
曲边梯形的面积
定积分的概念
性质4：（积分的可加性）
对任意的c，则一定有
b a
f
(
x)dx
c a
f
(x)dx
b c
f
(
x)dx
小结
定积分的实质：特殊和式的极限．
定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
定积分的几何意义：
练习题
一、 填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， n 即 b f ( x)dx ____li_m0_i_1_f_(__i )__x_i ___ . a
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i
n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
作业
3.定积分 2 (x2 1)dx 2
0
4.
y
f (x) 在 a, b 上连续，则定积分
b
f (x)dx 的值
A
a
A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
-定积分的概念
y
yf( x )
O
ax1
x i 1 x i
b
x
第四步：取极限
令 x max { x } (i 1,2, n), 则 i
n
曲边梯形面积 :S lim f ( ) x . i i
x 0 i 1
极限存在与否， 与分法 T 及点 的选择 . i
2. 变速直线运动的路程
y
yf( x )
A A 0 f g
yg ( x )
O
a
b
x
性质 6 b 若 f ( x ) 1x [ a , b ] 则 x )dx b a f(
a
y
1
f (x ) 1
O
a
b
x
性质 7 (估值定理 )
设 M , m 分别为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大 , 最小 , 则
以及两直线 x 及 x 轴， a ,x b 所围成 , 求其面积 S .
S?
y
yf( x )
设 f ( x ) 0 ,
f (x ) 在 [a ,b ] 上连续
O
ax1
x i 1 x i
任意引入分点
b
x
第一步：分割
称为区间的一个分法 T
a x x x x x x b , 0 1 i 1 i n 1 n
S . i与 i 的选择有关
x i 1
i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y
yf( x )
如何求精确值？
极限过程是什么？
O
ax1
x i 1 x i
b
x
定积分的概念和计算方法
定积分的概念和计算方法定积分是微积分的重要概念之一，它不仅有着广泛的应用，而且对于深入掌握微积分知识也具有极其重要的作用。
本文将介绍定积分的概念和计算方法。
一、定积分的概念首先，我们需要了解什么是定积分。
在数学上，定积分可以用来计算曲线下的面积。
它是从a到b之间的函数f(x)在x轴上方所围成的面积。
具体来说，定积分是指将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对于每个小区间，在区间内部任意选取一个点，计算出该点处函数值f(x)，然后将所有小区间内的函数值乘以它所对应的区间长度 dx，再将所有小区间的面积加起来，就可以得到整个积分区间[a, b]内的曲线下面积S。
即：$ \int\limits_a^b f(x)dx=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sum\limits_{i=1}^nf(x_i)\Delta x $其中，$ \Delta x=\frac{b-a}{n} $ ，$ x_i=a+i\Delta x $。
需要注意的是，定积分的计算结果既有正值，也有负值，具体取决于f(x)在x轴的上下位置关系。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，我们需要选取合适的积分区间，确立精确的函数模型，然后根据积分公式进行计算。
下面将介绍三种常见的定积分计算方法。
1. 几何意义法几何意义法是指通过将函数图像与x轴围成的面积分为若干个几何图形，分别计算每个几何图形的面积，然后加起来得到定积分的值。
例如，计算 $ \int\limits_1^2 xdx $ 时，我们可以将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对每个小区间用梯形的面积近似代替曲线下的面积。
这样，整个定积分就被转化为梯形的面积之和。
2. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式法是通过积分的导数来计算定积分的值。
如果一个函数f(x)在[a, b]区间内可积、连续，那么它的原函数F(x)就存在，即：$ \int\limits_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式。
定积分的概念
f ( x) 在 [a, b] 上的平均值．
例如曲边梯形的平均高度、变速直线运动物体的平均速度等．
例1 解
设函数 f ( x) = x 2 在区间 [0, 1] 上可积，求 ∫ x 2 dx 的值．
0
1
将区间 [0, 1] 等分为 n 份，分点为 = xk
k = (k 0,1, , n) ． n
2
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数 − A （见图1），
即
∫
y
a
b a
f ( x)dx = − A ．
y
b
x
O
y = f ( x)
a
A
O
A2
A1
b
y = f ( x)
A3
A3
x
图1
图2
若 y = f ( x) 在 [ a, b] 上连续，且既取正值又取负值时（见图2），此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A ，即
∫
b a
f ( x ) dx = A ．
若 y = f ( x) 在 [a, b] 上连续且非正，即 f ( x) ≤ 0 ，此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
S = ∫ v(t )dt ．
a
b
变力做的功是 F ( x) 在区间 [a, b] 上的定积 物体在变力 F ( x) 的作用下从点 a 运动到点 b ， 分，即
W = ∫ F ( x)dx ．
a b
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
高等数学- 定积分概念
点 i 怎样的取法, 只要当 0时，和S 总趋于
n
确定的极限 I ，即
I
lim
0 i1
f (i )xi
我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上
的定积分 . 记为
积分上限
积分号
b
n
f ( x)dx
a
lim 0
i 1
f (i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被积
积 表 达 式
e
e
例2 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则 m(b a) b f ( x)dx M (b a). a
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例3 估计积分
0
3
1 sin3
dx的值. x
例4 证明: 4 3 (x2 1)dx 20 1
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_1<$$\cdots<$$x_{i-1}<x_i<$$\cdots<$$x_n=b$将区间$[a,b]$等分成$n$个小区间，在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$ξ_i(i=1,2,\cdots,n)$，作和式$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}f(ξ_i)Δx=$$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，当$n→∞$时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$，即$\int_{a}^{b}f(x){\rmd}x=$$\underset{n→∞}{\lim}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，这里，$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量，$f(x){\rm d}x$叫做被积式。
（1）定积分$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$不是一个函数式，而是一个数值（极限值），它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=$$\int_{a}^{b}f(t){\rm d}t=$$\int_{a}^{b}f(u){\rmd}u$。
（2）定义中区间的分法和$ξ_i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的面积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
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b
b
b
(3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (a<c<b)
a a c
b
c
b
作业
定积分的概念
阅读课本P42-51页,完成下列问题:
1.曲边梯形的面积及近似求法; 2.定积分的概念; 3.定积分与曲边梯形的面积的关系.
概念
b
a
Байду номын сангаас
ba f ( x)dx lim f (i )x lim f (i ) n n n i 1 i 1
n n
b
a
f ( x)dx 叫做函数f(x)在区间[a,b]上的
i 1 1 1 1 1 f ( x)dx lim f ( ) lim (1 )(2 ) n n n n 6 n n 3 i 1
n
定积分的性质
(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)
a a b b
(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
巩固性训练
利用定积分的定义,计算
n
1
0
x dx
2
i 1 n 1 i 2 1 n 2 f ( n ) n n ( n ) n3 i i 1 i 1 i 1 1 1 3 n(n 1)(2n 1) n 6 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
b
a
定积分,这里a,b分别叫做积分下限与积分 上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做 被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积 式.
定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分
b
a
f ( x)dx 表示由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积.