函数的值域题型总结

提示：（1）已知约束条件围成一个区域，然后根据区域的
顶点带入目标函数求最值。
八、切线的斜率法
1 求函数 y sin 的值域.[ 3 , 3 ]
cos 2
33
2 求函数 y 3 sin x 的值域 [3 3 , 3 3 ]
4 2 cos x
3
3
提示：（1）先根据参数方程三角换元，然后在利用斜率公
式求取值范围。
九、三角函数中的值域问题
1 函数 f (x) sin2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值是(
3 2
)
2 函数 f (x) sin x cos(x ) 的值域为[ 3, 3] 6
3 已知函数 f (x) sin2 x
3
sin
x
sin
x
π 2
（
0
）的最小正周期为
3 已知函数 f (x) 2x 4 , x [1,2] 的值域 x
[2,2]
4 已知函数 y 2x 2x, x [1,) 的值域
[ 3 ,) 2
5 求函数 的值域。 y 2x5 log2 x 1, x [2,10]
[1 ,33] 8
提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数
求值。
的最小值。 6 2
3 已知函数 y x 1 x2 的值域是 [1, 2]
提示：（1）上述 1 中，将根式令为 12x t 0，然后转化为
y t2 t 1 ，利用二次函数的思路求值域。 22
（2）三角函数换元，就是利用椭圆的参数方程解决最值问
题，上述椭圆的参数方程为
x y
3 cos 3 sin
x2 x 1
3
提示：（1）把 x2 看作一个整体，反解 x ，得到 x2 的表达式， 然后根据分离常数的思路解 y 的取值范围。 六、换元法求函数的值域 （三角换元和根式换元）
1 求函数 y x 1 2x 的值域； (,1]
2 已知 P 为椭圆C : x2 y2 1上一点,求 P 到直线l x y 3 3 0 的距离 39
1 2 3 4 5 6
y 2x 3
y 1
x 1
y 2 cos 3
提示：（1）一次函数 y kx b, y R 。 。 y x2, y 0 （3）幂函数 y 。 x, y 0 。 y ax , y 0 （5）反比例函数 y k ,y 0。
y
(cx
d )(ex
f
)
,
y
c
, 且y
d
c
f e
(ax b)(ex f ) a
ba f
e
四、二次函数的值域问题
1 函数 f (x) x2 2x 2 在区间 (0,4]的值域为（ [1,10] ） 2 函数 y x2 1,(1 x 2) 的值域是（ 3,1 ） 3 函数 y 2x2 4x 1的值域 [3,) 4 函数 y 2x2 8x 6 的值域 [3,) 提 示 ： （ 1 ） 二 次 函 数 ， y ax2 bx c 当
x
（2）二次函数 （4）指数函数 （6）三角函数
y sin , y cos , y [1,1]
二、利用函数的单调性求值域 1 已知 x [0,1]，则函数 y x 2 1 x 的值域是
2 1, 3
2 函数 f (x) 4 (x[3,6]) 的值域为______1,4______。 x2
五、判别式求函数的值域
1
求函数
y
x2
x 1 2x
2
1 求函数 y 2x2 2x 3 的值域. (2,10]
x2 x 1
3
2 求函数 的值域 y
3x2 x2
x2 x 1
[3 2 21 ,3) (3, 3 2 21]
3
3
提示：（1）函数
y
a2 x2 a1 x 2
b2 x b1x
c2 c1
三、分离常数法求函数的值域
1 求函数 y 2x 3 的值域 y 2 1 x
2 求函数 y 3 2x 的值域 y 2
3x 2
3
3 求函数 y x2 4x 5 的值域 x2 x 2
且 {y R y 2 y 1 }
提 示 ： （ 1 ） 函 数 。 （ y cx d , y c 2 ） 函 数 ax b a
，（
为参数），然后利用
点到直线的距离即可。
七、线性规划中的最值问题
x y 1 0
1
若
x, y 满
足
约
束
条
件
x
y
3
0
，
则
的 z 3x y
最
小
值
为
x 3y 3 0
_____-1_____。
x, y 0
2
设
x,
y
满足约束条件：
x
y
1；则
z
x
2y
的取值范围为
x y 3
[3, 3]
。 a 0, y [ 4ac b2 ,); a 0, y (, 4ac b2 ]
4a
4a
（2）函数 y 2x2 ax 3, x [1,4]的最值，动轴定区间的值域问题， 需要讨论对称轴与区间的关系。
（3）函数 y x2 4x 3, x [1,a]的最值，定轴动区间的值域问题， 需要讨论对称轴与区间的关系。
π
，
求函数
f
(x)
在区间
0，23π
上的取值范围。
0，32
提示：（1）这是三角函数 y Asin(x ) b 在某区间上的取值问 题。
十、基本不等式求最值问题
(a1 x 2
b1x
c1
0)
，不能求值域，需要
转化为关于 x 的一元二次方程 ( ya1 a2)x2 (b1y b2)x (c1y c2) 0 ，然后 b2 4ac 0 ,解关于 y 的一元二次不等式。
六、反解法求函数的值域
1 求函数 y 1 x2 的值域 (1,1] 1 x2
2 求函数 y 2x2 2x 3 的值域. (2,10]
函数的值域题型总结
求函数的值域 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值 域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研 究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数 的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究 函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别 重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域， 它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必 考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到 简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数 值域求法归纳如下。 一、观察法求函数的值域