最优化方法练习题答案

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()

..

0,1,2, 0,1,

,i j f x s t g x i m h x j p

≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)()

,,

,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，

则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，

(1)()

()

k k k x x x ε+-<，

()()(1)()k k f x f x ε+-<，

()()()

(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。

练习题二

1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R

2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++

123123123

5210

..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,4322

2..min

32131

3213213

21x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i

解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6

123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++

1234123

2 =2

2 5 =3..1

3 6=41,2,3,4,5,60

x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪

⎨-++⎪⎪≥⎩

因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0，故确定x 3为换入非基变量，以x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。

（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=+-=+-+-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323

213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i

因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小，故确定x 3为换入非基变量，以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(9,4,1,0,0)X =。

4、分别用大M 法、两阶段法和Matlab 软件求解下列线性规划问题：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+=++=0,3263933..4min

212121212

1x x x x x x x x t s x x z ； （2）⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧≥≥++≤++-≤++++=0,,52151565935..121510max

3213213213213

21x x x x x x x x x x x x t s x x x z

解：（1）大M 法

根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x 3，x 4，构造新问题。

1234min z=4x +x +Mx +0*x

1231241

43 3

..2 3,0

x x x s t x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(3/5,6/5)X =。 Matlab 调用代码： f=[4;1]; A=[-9,-3;1,2]; b=[-6;3]; Aeq=[3,1]; beq=3; lb=[0;0];

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 输出结果：