实数经典例题及习题

经典例题

类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个

数有（）

A、1

B、2

C、3

D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数

故选C

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（）

A、的平方根是±3

B、1的立方根是±1

C、=±1

D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A、1

B、1.4

C、

D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题

2．设，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

解析：（估算）因为，所以选B

举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3. 3），，

【变式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）．

A．－1 B．1－C．2－D．－2

【答案】选C

[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

4．化简下列各式：

(1) |-1.4|(2) |π-3.142|

(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414…＜1.4

∴|-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清

楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用

5．已知：=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，

由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。

解：由题意得

由(2)得a2=49 ∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7, b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题

6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

类型七．易错题

7．判断下列说法是否正确

（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）当x=0或2时，（4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高

8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③

（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

解：由得

的整数部分a=5, 的小数部分，

∴

（2）解：(1) 设x=①

则②

②-①得

9x=6

∴.