高中数学函数的单调性和奇偶性

增函数 减函数
增函数
不确定 减函数 不确定
增函数
减函数
数学应用
例1、试讨论函数 y 2x 1 的单调性.
, y 2 x 1 的定义域为 解：函数 , 1 2
令t=2x+1, y t ,
1 , ∵t=2x+1在x∈ 上是增函数， 2
说明：一般情况下，若要证f(x)在区间A上单调， 就在区间A上设x1<x2．
数学应用
变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是
减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，
并给出证明.
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
数学应用 例3 ．定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减
课内练习
⑴已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大
值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是
是 .
函数，且最 值
⑵已知偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，满足
f(2x+5)<f(x2+2),求实数x的取值范围.
回顾反思
•本节课主要讨论了复合函数的单调性，
进一步加深对函数单调性的理解，研 究了函数奇偶性的应用以及单调性与 性的综合问题. 奇偶
g(x)＝求f(x)、g(x).
x 1
数学理论、数学应用 1、复合函数的单调性
已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在[a，b]上是减函数， 求证：f[g(x)]在[a，b]上是减函数． 证明：设x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2， 因为g(x)在[a，b]上单调递减， 所以g(x1)＞g(x2)，
函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a的取值范围．
解：原不等式化为 f(1-3a) <-f(1-a), ∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a)= f(a-1), ∴原不等式化为f(1-3a) < f(a-1)， 1 ∵f(x)是减函数，∴1-3a>a-1， ∴a 2 ,
1 1 a 1 又f(x)的定义域为(-1,1)，∴1 1 3a 1 , 2 解得0 a , 3 1 实数a的取值范围为(0, ). 2
第6课时
函数的单调性和奇偶性
巩固练习： 复习回顾 ⑴函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数，则实数k的 取值范围是 . ⑵函数f(x)=2x2-mx+3当x∈[2，+∞）时是增函
数，则实数m的取值范围是 的值.
.
⑶设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7) ⑷已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－ 1
1.已知函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (2)＝1， 且f (x＋5)＜1，求x的取值范围. 2.已知函数f (x)是R上的偶函数，在[0， ＋∞）上是减函数， 且f (2)＝0，求不等式x f (x)＜0的解. 3.已知函数f (x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f (3x)＜ f (x＋1)，求x的取值范围. 4.定义在R上的函数f(x)满足：任意x、y∈R，有f(x+y)= f(x)+ f(y)，当 x＞0， f(x)＜0. 求证：（1）判断函数f(x)的奇偶性;（2）f(x)在R上是减函数. 5.定义在A={x|x≠0}函数f(x)满足：任意x、y∈A，有f(xy)= f(x)+ f (y). （1）求 f(1)； （2）判断 f(x)的奇偶性; （3）若 f(4)=1，f(3x+2)+f(2)≤3， 且f(x)在（0，+∞）上是增 函数，求x的取值范围.
x2+x-2，求f(x)的解析式.
∵ f(x)是奇函数，∴f(x)=-f(-x)=-x2+x+2,
∴当x>0时， f(x)=-x2+x+2,
又f(x)是定义域为R的奇函数 ∴f(0)=0.
x 2 x 2, x 0, f ( x ) x 0, 综上所述： 0, x 2 x 2, x 0.
例2、⑴已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)
令y = -x,得f(0)= f(x)＋f(-x)，
所以f(-x)= - f(x),
所以f(x)是奇函数. 说明：奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0；
数学应用 ⑵已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=
解：设x>0，则-x<0 ，由已知得f(-x)=(-x)2+(-x)-2,
课后作业
而 y t 在t∈[0，+∞）上是增函数,
, y 2 x 1 ∴函数 在x∈ 上是增函数. 1 2
练习：讨论下列函数的单调性： ⑴y
x 2x 3 ,
2
⑵
y
1 x 2 x
, ⑶ y 2x x 1 .
数学应用 2、函数的奇偶性
＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性. ⑴解：令x=y=0，得f(0)=2f(0)，所以f(0)=0,
一般情况下，若要求f(x)在区间A上的解析式，就在区间 A上设x.
数学理论 3、函数的单调性与奇偶性的综合应用
已知奇函数f(x)在[0,+∞）上是增函数， 求证：f(x)在（-∞，0]上也是增函数． 证明：设x1<x2≤0，则-x1>-x2≥0， ∵f(x)在[0,+∞）上是增函数， ∴f(-x1)> f(-x2)， ∵f(x)是奇函数，∴f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)， ∴-f(x1)>-f(x2)，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在（-∞，0]上也是增函数．
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又f(x)在R上递增， 而g(x1)∈R，g(x2)∈R，
所以f[g(x1)]＞f[g(x2)]，
所以f[g(x)]在[a，b]上是减函数．
数学理论
已知函数f(x)的定义域是F，函数g(x)的定义域是G， 且对于任意的x∈G，g(x)∈F，试根据下表众所给 的条件，用“增函数”、“减函数”填空：
f(x) 单调增函数 单调增函数 单调减函数 单调减函数 g(x) 单调增函数 单调减函数 单调减函数 单调增函数 f(g(x)) f(x)+g(x)