数学建模运输问题送货问题

数学建模论文

题目:送货问题

学院(直属系):数学与计算机学院

年级、专业: 2010级信息与计算科学

姓名:杨尚安

刘洋

谭笑

指导教师:蒲俊

完成时间:2012年 3 月 20 日

摘要

本文讨论的是货运公司的运输问题，根据各公司需求和运输路线图，建立了线性规划模型和0-1规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。

对于问题一，由于车辆在途中不能掉头，出车成本固定，要使得总成本最小，即要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型，并通过lingo求解，得出最小出车数27次。接着考虑车的方向问题，出车分为顺时针和逆时针，建立0-1模型，并求解，得出满足问题一的调度方案（见附录表1）。

对于问题二，车辆允许掉头，加上车辆装载货物和空装时运输费不同，，要使总成本最小，故可以通过修改原目标函数，建立线性规划模型和0-1规划模型，求解，得出最佳派出车辆3辆并列出满足问题二的调度方案。

对于问题三第一小问，增加了运输车辆的类型。即装载材料的方法很多，在上述分析的基础上，通过增加约束条件，建立新的线性规划模型，并求解，得出满足问题三的调度方案。在第二小问中，由于给出部分公司有道路相通，可采用

运筹学中的最短路问题的解决方法加以解决。

关键字：线性规划模型 0-1规划模型调度

一、问题重述

某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C 分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

二、符号说明

x表示为一个车装一单位A和两单位C；

1

x表示为一个车装六单位C；

2

x表示为一个车装两单位B；

3

x表示为一个车装一单位B和三单位C；

4

S表示最小运输次数；

x表示为一个车装一单位A和一单位C；

5

6

x 表示为一个车装一单位A ； 1i X 表示第i 次运输装A 的单位数 ； 2i X 表示第i 次运输装B 的单位数； 3

i X 表示第i 次运输装C 的单位数；

1i Y 表示第i 次运输A 到达目的地所走的路程； 2i Y 表示第i 次运输B 到达目的地所走的路程； 3

i Y 表示第i 次运输C 到达目的地所走的路程；

P 表示运输车的方向（等于0按照顺时针即○9 ○1 ○2；等于1按照逆时针即○9 ○8 ○7）；

M 表示最小成本； ij

Z 表示第i 次运输j 的所走单位路程的单位成本；

a 表示8个公司对A 的总需求量；

b 表示8个公司对B 的总需求量；

c 表示8个公司对C 的总需求量；

三、模型假设

1．假设每辆车装载时发挥其最大的装载能力；

2．假设货运公司都是先考虑节省人力和出车次数最少的情况下再考虑如何安排运输方式以减少经费支出；

3．假设运输车行驶过程中不考虑塞车等各种抛锚现象，以保证每辆车每天可以达到最大的作业时间

四、问题分析

本题考虑从一个货源地往其余八个地运送货物，要求运输成本最少的运送方案。由于运输问题中涉及到车量的限载重量（6吨）、车速的最大值（60km/h ）、汽车每天最多的工作时间(8小时)、汽车每次上货时间（15min ）、每次下货的时间（10min ）以及ABC 三种原材料每件的毛重和八个需货地分别所需ABC 的件数等问题。

对于问题一，由于车不可以跳头，我们通过考虑每辆车的容量、卸货顺序、满足各公司需求按需分配，首先找到一个符合要求的解，然后将其优化算出最终结果。如果假设一辆车在全程只装一次，也只卸一次，即用时最短，会花上85分钟，又因为一辆车工作时间不能超过8h ，故一辆车最多跑5次，六辆车共30次。所以我们可以首先考虑在满足各地所需货物的前提下，设计出车的运货方案，

利用lingo 软件从方案选择出出车次数最少的一种方案作为汽车的运送方案，经计算车次最少需要27车次，其中9车次运2B ，8车次运1A2C ，10车次运1A1C 。然后在利用这种方案向各地安排输送货物的方案。由于运送B 的车是单独的，所以我们可以首先将运送B 的车单独考虑，然后在安排同时运送A 和C 的车次。这里可以使用0、1规划模型，0表示顺时针（即⑨①②...）运送，1表示逆时针（即⑨⑧⑦...）运货。

对于问题二，解决方法和第一问中的解决方法是一样的，不过由于这时候运输车可以掉头，故可以减少由于运输车在途中空载的路程，而这只会影响模型中目标函数的中的价值系数的改变，其他和第一问的求解方法是一致的。

对于问题三，题中给出了三种不同的运输车，每辆车有不同的装载方式。所以根据每个公司对A,B,C 的需求，建立线性模型，使得8个公司可以从这些不同的运输方式中选择最为合适的运输方式的组合以满足要求，然后根据每辆车的工作时间，结合这些公司所选择的不同的运输方式，确定出在保证完成任务的情形下，所需要不同类型运输车的最少数目。然后对不同类型运输车在运输途中的方案的分析，安排出合理的车辆数和调度方案。

五、模型建立与求解

5.1 问题一 5.1.1 数据分析

题中已经给出了固定的车辆数，6辆。首先考虑满足各公司需求的最少出车次数，在此基础上安排调度车辆，使总成本最少。

一辆车在全程只装一次，只卸货一次的情况下所用时间最少，根据题中数据，全程会用85分钟，而一辆车的工作时间不能超过8小时，故一辆车最多只能跑5次，6辆车即最多只跑30次。接着对车辆的装载情况进行分析。一辆车最多只能装6吨货物，而一个单位的原材料A,B,C 分别毛重4吨、3吨、1吨，假设每辆车都能发挥最大装载力，故有装载情况（1）一车装一单位A 和两单位C ，（2）一车装六单位C ，（3）一车装两单位B ，（4）一车装一单位B 和三单位C 。

故可建立如下模型：

其中1x 表示为一个车装一单位A 和两单位C ，2x 表示为一个车装六单位C ，3x

表示为一个车装两单位B ，4

x 表示为一个车装一单位B 和三单位C ，S 表示最

小运输次数

min =x1+x2+x3+x4;