电动力学第一章

第一章 电磁现象的普遍规律

§1 电荷和电场

一、 库仑定律

r r

Q Q F G G 3

04πε′= z 描述两个点电荷的相互作用力…………（库仑力）

z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的，一般在静电现象中(“静”指Q 不随时间而变)，难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论；当电荷随时间而变时，两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷在其周围激发电场，其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。

关于电场、电场强度

（板画）一个点电荷Q 激发电场，现要描述在位置r G

处的电场。现置入一采用检验电荷

Q ′，去检测电场强度，定义电场强度

r r

Q Q F E G G G 3

04πε=′≡ 电场强度是指单位电荷受到的作用力。

问题：何谓检验电荷（检验电荷意味着什么）？

讨论：

z 实际上并不存在严格的点电荷，一般带电体具有一定体积，电荷也存在一定分布（(单个电子是否存在电荷分布没有科学定论)，在置入Q ′后，将导致原电荷分布发生变化。故要求Q ′足够小，使得这种变化可以忽略。

z 上式中，Q F

E ′

≡G G 可以用于一般的带电系统（单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体），

它提供了一种从实验测量电场强度的方法（只要，Q ′足够小）

，（考虑到带电系统总存在电荷分布，）Q F ′G

与E G 总存在差异，当0'→Q G 时，Q F

′

G 与E G 严格相同。但是，如果带电系统是

严格的点电荷，对于有限大小的Q ′，Q F

′

G

与E G 严格相同（不需要当0'→Q G ）。

采用r r Q E G

G 3

04πε=

提供了从理论上计算电场强度的方法，在这个表达式中，无需置入

Q ′，Q 激发的电场并不发生改变，但他只能用于单个点电荷激发的电场。

问题：对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场，从理论上应该如何计算？

z 多点电荷激发的电场 运用叠加原理

∑=

i i i i r r Q E 3041G G πε z 宏观带电体激发的电场（电荷连续分布）

采用电荷密度()r ′G

ρ描述带电体电荷分布，它表示单位体积内包含的电量。

体积元0→dv ，()dv x 'G

ρ可视为点电荷，运用叠加原理有

()∫′=v r dv

r r E 3

4περG G G 二、 Gauss 定理、电场的散度

考查一个点电荷Q 激发的电场，

r r Q E G G 3

04πε=

作一包含该电荷的封闭曲面S ，计算积分（电场通量）

02

0304cos 44επεθ

πεπεQ

d Q

dS r Q S

d r r Q S d E S

S S

S

=

Ω

==⋅=⋅∫∫∫

∫G G G G

讨论：1). 0

εQ

S d E S

=⋅∫G G 不仅对于单个点电荷成立，对于多个点电荷和连续分布的宏观带

电体也是成立的（可以证明），Q 应该是封闭曲面（Gauss 面）S 包含的总的电荷。

2). 0

εQ

S d E S

=⋅∫G G 称为G auss 定理（积分形式），它的成立与库仑定律的平方反比关

系密切相关；对于其他平方反比关系的物理量（如万有引力），也有类似的规律。

为了导出Gauss 定理的微分形式，需要利用数学中的散度定理:对某一矢量A G

,有

∫

∫⋅∇=⋅S

V

dv A s d A G

G G （数学上要求在V 中的空间各点，A G 是连续可微的；∇是一矢量微商

算子，在直角坐标系下有z e y e x e z y x

∂∂

+∂∂+∂∂=∇G G G ，矢量A G 的散度为z y x A z A y A x

A A div ∂∂+∂∂

+∂∂=⋅∇≡G G （自行证明））。对于电场，任选一Gauss 面，有

εQ

S d E S

=⋅∫G G ⇒

∫∫

=⋅∇V

V

dV dV E 0

)(ερG (ρ表示电荷分布密度)

⇒ ∫=−⋅∇V

dV E 0)(0

ερ

G

Gauss 面S 是任意选取的，所以V 具有任意性且可以任意缩小，故

ερ=⋅∇E G

这就是Gauss 定理的微分形式。

讨论： 1). 微分形式是关于空间点的关系式，是关于电场的局域（空间某点及其邻域）

关系式，表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关，要在某一空间区域使用Gauss

定理的微分形式，要求在该区域内空间各点，电场强度是连续可微的；而Gauss 定理的积分形式是关于某一有限空间区域的关系式，它的使用，并不要求这一区域的电场在空间各点连续可微。

2). E G ⋅∇是E G

的散度，它表示空间某点是否“有源”。如果有源，作一包含电荷

的小体积元V Δ，一定有“净”电力线穿过（源为正电荷情形，源为负电荷情形）。 3). （实验表明）Gauss 定理的微分形式不仅对于静电场成立，对于随时间变化的电磁场也是成立。这里我们可以看到，尽管Gauss 定理是由库仑定律导出，但是库仑定律并不能用于随时间变化的电场（如运动电荷、随时间变化的带电系统)(t Q 情形）

。其实，一