2.2.2--椭圆的几何性质(1)
2.2.2椭圆的几何性质(1)(苏教版)
＝
242m52－45m2－1＝25 10－8m2.
所以当m＝0时，AB最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图，点A是椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的短轴位于y轴下 方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且 BP∥x轴，A→B·A→P＝9. (1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
解析答案
12345
3 2.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为___3_____.
解析 将方程化为标准形式xm2＋ym2＝1， 23
因为 m>0，所以 a2＝m2 ，b2＝m3 ，
所以 c2＝a2－b2＝m2 －m3 ＝m6 ，
m
所以 e＝ac＝
∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为
|4－3| d＝ 2 ＝
22.
由xx－2＋y8＋y23＝＝80，，
x＝－83， 得y＝13，
即 P(－83，13).
解析答案
题型二 直线与椭圆的相交弦问题 例 2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆3x62 ＋y92＝1 所截得的线段的中点，求直
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其
中F1F2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，∴b>c，∴a2>2c2，
∴(ac)2<12，∴0<e<
2 2.
解析答案
课堂小结
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步 骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
椭圆的简单几何性质
1.椭圆的对称性
y
F
1
O
F
2
x
椭圆关于x轴对称
二、新课探究：
A1 F
1
1.椭圆的对称性
y
O
F
2
x
A2
椭圆关于原点对称
二、新课探究：
1.椭圆的对称性
Y P（x，y）
以焦点在X轴上的为例：
P1（-x，y）
O
X
P 2 x, y
P3（-x，-y）
二、新课探究：
2、椭圆的顶点
B2 (0,b)
一、复习回顾：
3.椭圆中a,b,c的关系:
若点M运动到y轴上时：
y
M
| MF1 | ＝ | MFOF1 | ＝ | OF2 | c
x
F1
O
| MO | ＝ a c b
2 2
a2=b2+c2
二、新课探究：
y
1.椭圆的对称性
F
1
O
F
2
x
椭圆关于y轴对称
二、新课探究：
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1、椭圆的定义：
2.2.2椭圆的几何性质
故椭圆的离心率 e=13,故选 A.
三、题型一：求离心率的值
分析：
四、题型二：求离心率的范围
能否得到a,b,c 的齐次不等关 系？
几何法一：临界化原则
几何法二：特殊化原则
代数方法——横坐标的取值
设P(x0, y0 ), 则F1(c,0), F (c,0)
PF1 PF2 0 x02 y02 c2 0
=
32������-������ 2������
=
12,解
得������
������
=
34,故离心率
e=34.
三、题型一：求离心率的值
【答案】 A 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k>0,分别令
x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
设 OE 的中点为 G,
由△OBG∽△FBM,得12|���|���������������������|| = ||������������������������||,
即 ������������
2������(������-������)
=
������+������ ������,整理,得������������
=
13,
从代数方法转化为横坐标的范围.
五、课堂练习
C C
六、课堂小结
七、作业
完成学案课后作业
|F1F2|=2c e=ac∈(0,1) c2=a2-b2
e越大，椭圆越扁
二、学习自测
二、学习自测
二、学习自测
【答案】 C 设直线 x=32������与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°,在
Rt△PF2M
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
高中数学课件 2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
x y 2 1(a b 0) a2 b
B2 O y
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a y
A2 F2 B2 x
A1 F1 B1
F2 A2 x
B1 F1
O
范围 顶点坐标 焦点坐标 对称性 半轴长 离心率 a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4ห้องสมุดไป่ตู้3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
P（x，y）
O P2（-x，-y）
X
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 y 心对称。
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
椭圆的几何性质
4．离心率
教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？
同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。
请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？
介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。
解：由于a=5, b=4，c= =3
椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8
离心率e= =
因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是
(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)
课堂练习
练习：如果把例1中的椭圆方程改为 + =1，则长轴长、短轴长、离心率和顶点有什么变化。
2.能力目标
培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决
实际问题的能力。
3.情感目标
通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学
教学重点
椭圆性质的探索过程及性质的运用。
教学难点
利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。
教师：下面我们想办法再用方程 + =1(a>b>0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。
从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。
由 + =1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，
x ≤a 且y ≤b ,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。
3.顶点的发现与确定
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
A.
3 3 2 2 B. C. D. 2 4 2 3
2
解析:化为标准形式 x + 则 �����2
1 4
= 1, =
3 . 2
1 2 , ������ 4
=
3 ������ , 故e= 4 ������
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离 心率为( )
3.弦长公式 剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
������2 0)或 2 ������
+
������2 ������
2
������2 k≠0),椭圆方程为 2 ������
+
= 1(������ > ������ > 0),
=
1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ,
或者|AB|= = =
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
2
������1 -������ ������2 -������ ������ ������
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2第一课时椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1
求椭圆的离心率 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求 ， ， 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求a，c， 再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关 再计算 ；二是依据条件中的关系， 知识和a、 、 的关系 构造关于e的方程 的关系， 的方程， 知识和 、b、c的关系，构造关于 的方程，再 求解．注意 的范围 的范围： 求解．注意e的范围：0<e<1.
互动探究1 互动探究
若本例中椭圆方程变为： 若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2
＝1”，试求解． ” 试求解．
y 2 x2 1 解：已知方程为 ＋ ＝1，所以 a＝1，b＝ ，c ， ＝ ， ＝ 1 1 2 4 ＝ 3 1 1－ ＝ ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的 因此， － 4 2
c 3 长分别为 ＝ 长分别为 2a＝2,2b＝1，离心率 e＝a＝ ，两个 ＝ ， ＝ 2 焦点分别为 个顶点是
x2 ． 2＝1(a>b>0)． b c 2 由已知得 e＝a＝ ，2b＝8 5， ＝ ＝ ， 3 a 2－ b 2 4 c ∴ 2＝ 2 ＝ ，b2＝80. 9 a a
2
∴a2＝144. y y x x ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ 144 80 144 80 ＝1. y2 x2 (2) 设 椭 圆 方 程 为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2 为 ．如图所示， 等腰直角三角形， OF 等腰直角三角形， 为斜边 A1A2 的中线(高 ， 的中线 高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝ ＝ ， ＝ 2 2 2 2b，∴c＝b＝4，∴a ＝b ＋c ＝32，故所求椭圆 ， ， ＝ ＝ ， x2 y 2 的方程为 ＋ ＝1. 32 16
为直角三角形， 由 AF1 ⊥ AF2 知 △ AF1F2 为直角三角形 ， 且 ∠ AF2F1＝60°. 由椭圆定义， 由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则 ＋ ＝ ， ＝ 则 在 Rt△AF1F2 中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c， △ 得 ＝ ， |AF1|＝ 3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝( 3＋1)·c， ，所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ， c 所以离心率 e＝a＝ 3－1. ＝ －
2.2.2椭圆的简单几何性质
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
高中数学人教B版选修2-1配套课件：2.2.2-椭圆的几何性质第1课时
焦点在 y 轴上
图形
标准 方程 范围
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 －a≤x≤a且 －b≤y≤b
y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 －b≤x≤b且 －a≤y≤a
焦点的 位置 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2 |＝ 2c 对称轴为 坐标轴 ，对称中心为 原点
课标解读
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭 圆标准方程中a、b、c的几何意 义．(重点) 2．会用椭圆的几何意义解决相关 问题．(难点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】 x2 y2 1．观察椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图中看出 x、 y 的取值范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特 殊？
椭圆的标准方程．
【思路探究】
1.如果只给离心率的值方程能确定吗？2.题
c 3 (1)由条件知 2c＝6，且a＝5.
(2)中焦点的位置是确定的吗？
【自主解答】
解得 c＝3，a＝5，从而 b2＝a2－c2＝16. 又∵焦点在 x 轴上， 所以椭圆的标准方程为 x 2 y2 25＋16＝1.
【答案】 D
图 2－2－1
【提示】
椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，－
a≤x≤a，－b≤y≤b，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四 个交点比较特殊．
x2 y2 2．如何由椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与 x、y 轴的交 点坐标？
2.2.2椭圆的几何性质(一)课件人教新课标B版
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
*
57
从图形上看：
椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的 轴对称图形
又是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
x2 y2 从方程上看： a2 b2 1(a b 0)
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
对称性 顶点坐标 焦点坐标
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
半轴长
离心率
a、b、c的关 系
长半轴长为a,短半轴 长为b. (a>b)
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
(部编版)2020学年高中数学第二章2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质学案含解析
第一课时椭圆的简单几何性质[提出问题]图中椭圆的标准方程为x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．[导入新知]椭圆的简单几何性质1．由不等式x 2a 2＝1－y 2b 2≤1可得|x |≤a ，由y 2b 2＝1－x 2a2≤1可得|y |≤b ，从而可得椭圆的范围．2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a ，而不是a .3．椭圆的离心率e 的大小，描述了椭圆的扁平程度．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此，椭圆越扁；反之，e 越接近0，则c 就越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆越接近圆．特别地，当a ＝b 时，c ＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x 2＋y 2＝a 2.[例1] 求椭圆4x 2＋9y 2＝36 [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53. [类题通法]求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1， 性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.[例2] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5.又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[类题通法](1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c a等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝22； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.[例3] 如图，已知F 1P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．[解] 由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝ca ＝22. [类题通法]椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c a求解； (2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． [活学活用]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a＝12，即椭圆的离心率e ＝12.4.忽视椭圆焦点位置致误[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过P (2,3)，求此椭圆的标准方程． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，4a 2＋9b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝10，a 2＝40.所以所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1. (2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，9a 2＋4b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝254，a 2＝25.所以所求椭圆的标准方程为y 225＋x 2254＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋x 2254＝1.[易错防范]求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x 轴上，这是最常见的错解． [成功破障] 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值等于________． 解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1， 又∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝12，解得k ＝4. 当焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k ， 又∵e ＝12，解得k ＝－54.∴k ＝4或k ＝－54.答案：4或－54[随堂即时演练]1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )A ．有相同的长轴B ．有相同的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率解析：选C 25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________． 解析：由x 216＋y 24＝1可知b ＝2， ∴短轴长2b ＝4. 答案：44．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2555．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12； (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，即a ＝6. ∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9.因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130， ∴椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴a ＝ 3. 又∵e ＝33， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→， ∴|AP ―→|＝2|PB ―→|. 又∵PO ∥BF ， ∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即aa ＋c ＝23， ∴e ＝c a ＝12.5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－n ＝n －m . 二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163. 综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________． 解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2， 即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a ＞0)．∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1，解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝1三、解答题※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12， 从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12. 由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， 所以y 2＝ax －x 2.① 又因为P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.② 把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0.∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b2，又0＜x ＜a ， ∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b 2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.。
§2.2.2椭圆的几何性质(第1课时)
x y 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 A 、 16 9 B 两点,则 AF2 B 的周长为______________.
2.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)短轴一个端点与两焦点组成正三角形,焦点到同侧顶点的距离为 3 ; (2)经过点 P(2 3,1) , Q( 3, 2) .
编号:X2-1002 学习 目标
§2.2.2 椭圆的几何性质(第 1 课时)
(1)掌握椭圆的简单的几何性质; (2)感受运用方程研究曲线方程几何性质的思想方法; (3)运用椭圆的方程和几何性质处理简单的实际问题. 二次总结栏
一.课前复习 1.如果方程 x2 ky 2 k 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围 是 . 2 2 x y 1 有相同焦点且过点 ( 6,1) 的椭圆的标准方程. 2.求与椭圆 9 5
二.知识点总结 标准方程
图形
焦点 顶点 轴长 对称性 范围 离心率
三.典型例题
x2 y2 1 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐Biblioteka 25 9 标,并用描点法画出这个椭圆.
【例 1】求椭圆
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江苏省大港中学高二数学学案
选修 2-1 选修 1-1 错误！链接无效。
【练习 1】 (1)求椭圆 9 x 2 y 2 81的长轴长、短轴长和顶点坐标. (2)求椭圆 x 2 4 y 2 16 的长轴长、短轴长和顶点坐标.
二.今日练习 3.求椭圆 4 x2 3 y 2 12 的长轴长,短轴长,离心率,焦距和顶点坐标.
4.若椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则离心率为
.
5.若椭圆
x2 y2 1 的一个焦点是 (2,0) ,则 a = a 2 3a
第二章 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2) 焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝ca∈(0,1) 知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √ )一、椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m >0)，因为0<m 2<4m 2，所以1m 2>14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.二、由几何性质求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 所以c ＝b ＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.反思感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)． 解 (1)由题意知a ＝5，c ＝3，b 2＝25－9＝16， 焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴， 故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)由e ＝c a ＝32，设a ＝2k ，c ＝3k ，k >0，则b ＝k . 又经过的点(2,0)为其顶点，故若点(2,0)为长轴顶点，则a ＝2，b ＝1， 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若点(2,0)为短轴顶点，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 216＝1.三、求椭圆的离心率例3 (1)如图所示，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22答案 A解析 由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， 又因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋ac －a 2＝0. 因为e ＝ca，所以e 2＋e －1＝0，所以e ＝－1＋52.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫22，1解析 由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤2c ， 因为e ＝c a ，0<e <1，所以22≤e <1.反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率． 解 由题意知A (a ,0)，B (0，b )， 从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 又|F 1F 2|＝2c ，∴aba 2＋b 2＝63c . ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养提升] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 C解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.4．椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为( )A ．4B ．－54C ．4或－54D ．不能确定答案 C解析 当k ＋8>9，即k >1时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4.当0<k ＋8<9，即－8<k <1时， e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍， 故1m ＝2，解得m ＝14.1．知识清单： (1)椭圆的几何性质． (2)求椭圆的离心率．2．方法归纳：定义法、数形结合、函数与方程．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0<e <1及长轴长与a 的关系．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223 答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.故选C.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意，知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝6，b ＝4.则椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，即有a ＝5，b ＝3.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为当x ＝c ＝1时，纵坐标的绝对值的2倍为3. 6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2,4]．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_____________． 答案 x 216＋y 28＝1解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.8．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12. 9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3. ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0； 四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2. 又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.11．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12B.13C.14D.22答案 A 解析 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.3－12 D.5－12 答案 D解析 在Rt △ABF 中，AB ＝a 2＋b 2，BF ＝a ，AF ＝a ＋c ，由AB 2＋BF 2＝AF 2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52， 因为0<e <1，所以e ＝5－12. 13．若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是( ) A.x 28＋y 24＝1 B.x 23＋y 25＝1 C.x 26＋y 22＝1 D.x 26＋y 29＝1 答案 A解析 由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．选项中只有A 中b ＝c ＝2符合题意，故选A.14．如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 15．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100.即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100.解得|PF 1|·|PF 2|＝48.16．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c＝2a . 解得e ＝c a ＝22， 则离心率e ＝22.17．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.18.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解 (1)由∠F 1AB ＝90°及椭圆的对称性知b ＝c ，则e ＝c a ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝22. (2)由已知a 2－b 2＝1，A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 则AF 2→＝(1，－b )，F 2B →＝(x －1，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )，解得x ＝32，y ＝－b 2，则94a 2＋b 24b 2＝1， 得a 2＝3，因此b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。
椭圆及其简单几何性质(1)
【解析】1.选D.方程 x2 y中2 ,a12=16,c2=16-8=8, 16 8
∴离心率 e c 2 2 2 . a4 2
2.选B.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以 |AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|, |BF1|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2, 所以离心率e= 5 .
标准方程 对称性 焦点 焦距 顶点
轴长
离心率
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
y2 a2
x2 b2
1
(a>b>0)
对称轴:_坐__标__轴__;对称中心:_(_0_,_0_)_
F1_(_-_c_,_0_),F2 _(_c_,_0_) |F1F2|=_2_c_
A1_(_-_a_,_0_),A2 _(_a_,_0_); B1 (_0_,_-_b_)_,B2 _(_0_,_b_)
5
的椭圆的标准方程是( )
A. x2 y2 1 45
B. x2 y2 1 16 25
C. x2 y2 1 54
D. x2 y2 1 25 16
2.(2013·大理高二检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,
且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.
【解析】1.选D.由条件知2c=6且c 3解, 得c=3,a=5, a5
【典型例题】
1.(2013·北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标
是( )
A.(0,- 2 ),(0, 2 )
4
4
C.(2 2 ,0),(-2 2,0)
数学人教A版选修2-1优化课件：第二章 2.2 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握椭圆的对称性、范围、
顶点、离心率等简单性质． 重点：椭圆的范围、对称性、离
2.能用椭圆的简单性质求椭 心率等几何性质．
圆方程．
难点：利用几何性质分析解决有
3.能用椭圆的简单性质分析 关问题.
解决有关问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
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[典例 3] 若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F，则满足三角形 ABF 为等边
三角形的椭圆的离心率是________． [解析] 若三角形 ABF 为等边三角形，则有 2b＝a，即 a2＝4b2
＝4(a2－c2)，所以 4c2＝3a2，即 e2＝34，所以 e＝ 23，所以椭圆的
离心率为 23.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
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例2 求椭圆 x2 y2 1 的离心率． 25 9
解： a＝5 ，b＝3,
C＝ 2594
例3
已知椭圆 x2 y2 1 4m
的离心率为
3 2
，
求实数m 的值．
例4 求符合下列条件的椭圆的标准方程 (焦点在x轴上）： （1）焦点与长轴较接近的端点的距离为 10－ 5， 焦点与短轴两端点的连线互相垂直； （2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）．
答案：A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)
y
在椭圆的标准方程中,
B2
椭圆与坐标轴的交点叫椭
圆的顶点．
A1
O
A2 x
线段A1A2叫做椭圆的长轴． B1
线段B1B2叫做椭圆的短轴．
B2F2 =a OF2 =c
y B2
A1 F1 O F2 A2 x B1
OB2 =b
直角三角形OB2F2,它反应了
同时以- x代换x,以- y代换y,方程不变,则 方程关于坐标原点对称.
在下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y
轴都对称的是(
)
A. x 2＝4y
B. x 2＋2 x y＋y ＝0
C. x 2－4y2＝5x
D.9x 2＋y2＝4
三、顶点
如图,设椭圆的方程为
x2 a2
by22
1(ab0)
同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.
问题2 以－x代换x，以－y代换y，方程改变吗? 同时以－x代换x，以－y代换y，方程改变吗?
问题3 若点P(x，y)在椭圆上,点(－x，y)与椭圆 有什么关系? 点(x，－y)与椭圆有什么关系?
点(－x，－y)与椭圆又有什么关系?
问题4 这说明椭圆具备什么性质呢
椭圆的对称性
y
P1（－x，y）
P（x，y）
O
x
P2（－x，－y）
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称．
椭圆是轴对称图象，也是中心 对称图形．x轴和y轴是它的对称轴， 坐标原点是它的对称中心．
结论 通过上面的分析,我们得到判断曲线是 否对称的方法：
以-x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称； 若以-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
椭圆三个基本量之间的关系,所以
叫做椭圆的特征三角形.
例1
求椭圆
x2 y2 1
的长轴和短轴的长、离心
25 9
率、焦点和顶点的坐标，并画出它的图形.
解：a=5 ,b=3
c= 2594
所以,焦点坐标为(－4，0)，(4，0) 顶点坐标为(－5，0)，(5，0)，
(0，3)，(0，－3) 2a=10，2b=6．
归纳小结
椭 圆 的
一、几
何 性 质
1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率
二、 性质的简单应用
三、曲线对称性的判定方法
x2 a2
by22
1(ab0)
问题1 你能找出上述方程中x，y的取值
范围吗?
由上式知
x2 a2
1
所以 x2 a2
y2 b2
1
y2 b2
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1a x2 2 1和b y2 2 1
即 xa和yb
y
说明：椭圆位于直线
x=±a和y=±b所围成的
o
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矩形之中．
二、对称性
想一想?
高中数学 选修1-1
2.2.2 椭圆的几何性质（１）
1. 椭圆的定义：平面内到两定点距离之和(2a) 大于定长(2c)的点的轨迹(2a>2c).
2． 椭圆的标准方程．
(1)a x2 2b y2 2 1(ab0) (2)x2y2 1(ab0)
b2 a2
探索新知
通过研究 曲线的方程,可以知道曲 线的性质.