平面向量的数量积及其应用

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平面向量的数量积及其应用
自主梳理
1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义:
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则数量___.|a ||b |cos θ_____叫做a 和b 的数量积(或内积),记作__ a ·b =|a ||b |cos θ_____,其中向量的投影:︱b ︱cos θ=
||
a b
a ⋅∈R ,称为向量
b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影;
注意 在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围0︒≤θ≤180︒。

规定:零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即00a ⋅= (2)平面向量数量积的几何意义
数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____|b |cos θ_____的乘积.
(3) 平面向量数量积的重要性质: ①如果e 是单位向量,则a·e =e·a =__ |a |cos θ________; ②非零向量a ,b ,a ⊥b ⇔____a·b =0____________; ③当a 与b 同向时,a·b =__|a||b|___;(两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__ a·b =0__) 当a 与b 反向时,a·b =__-|a||b|______,a·a =__ a 2___=_|a |2___,|a |=___a·a ____; (两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__ a·b =±|a||b|___)
④cos θ=__a·b |a||b|
________;
⑤|a·b |_≤___|a||b |.
2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b =__ b·a ______; (2)分配律:(a +b )·c =___________ a·c +b·c _____; (3)数乘向量结合律:(λa )·b =__λ(a ·b )______________.
3.向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 则a ·b = x 1x 2+y 1y
(2) 设两个非零向量a ,b ,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0 . (3) 设两个非零向量a ,b ,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 cos θ=1212222
2
1
1
22
x y x y +⋅+_____.
C
(4)若a =(x ,y ),则|a |2= 22
x y + 或|a |=
x 2+y 2 .
(5)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 AB →
=______(x 2-x 1,y 2-y 1) ___,
所以|AB →|=______2
22121x -x )+y -y )((_____.
点评:
1.向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关,在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b =0不能推出a =0或b =0,因为a·b =0时,有可能a ⊥b .
3.一般地,(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量,所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量,同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .
4.a·b =a·c (a ≠0)不能推出b =c ,即消去律不成立.
5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC 中,〈AB →,BC →〉应为120°,而不是60°.
自我检测
1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°,|a |=2, |b |=3,则向量a 和向量b 的数量积a·b =___-32 _____.
2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A .-16 B .-8 C .8 D .16
3.已知向量a ,b 满足a·b =0,|a |=1,|b |=2,则|2a -b |= ( ) A .0 B .2 2 C .4 D .8 B 2(22)a b a b -=
-=22
44a a b b -⋅+=8=2 2.
4.已知a ⊥b ,|a |=2,|b |=3,且3a +2b 与λa -b 垂直,则实数λ的值为___3
2_____.
5.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为___
655
___. 6.设a ,b ,c 是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c -(c·a )b =0;②|a |-|b |<|a -b |;
③(b·c )a -(a·c )b 不与c 垂直;④(3a +4b )·(3a -4b )=9|a |2-16|b |2.
7.平面上有三个点A (-2,y ),B (0,
2
y ),C (x ,y ),若A B →⊥BC →
,则动点C 的轨迹方程为________________.
解析 由题意得AB →=⎝⎛⎭⎫2,-y 2, BC →=⎝⎛⎭
⎫x ,y 2,又AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=0, 即⎝
⎛⎭⎫2,-y 2·⎝⎛⎭⎫x ,y 2=0,化简得y 2=8x (x ≠0). 8.若等边△ABC 的边长为23,平面内一点M 满足CM →=16CB →+23
CA →,则MA →·MB →
=________.
解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设C (0,0),A (23,0),B (3,3),
这样利用向量关系式,求得MA →=⎝⎛⎭⎫32,-12,MB →=⎝⎛⎭⎫32,-12,
MB →=⎝⎛⎭
⎫-32,52,所以MA →·MB →
=-2.
题型一 平面向量的数量积的运算
例1 (1)已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0,则|c |的最大值是________.2
(2)如图,在△ABC 中,AD ⊥AB ,BC →= 3 BD →, |AD →|=1,则AC →·AD →等于
( ) A.2 3
B.
3
2
C.
3
3
D . 3
解法1基底法: ∵BC →=3BD →,∴AC →=BC →-BA →=3BD →-BA →=3(AD →-AB →)+AB → =3AD →+(1-3)AB →. 又AD ⊥AB ,|AD →|=1.
∴AC →·AD →=3AD 2→+(1-3)AB →·AD →= 3.
法2定义法设BD =a ,则BC =3a ,作CE ⊥BA 交的延长线于E ,可知∠DAC =∠ACE , 在Rt △ABD 与Rt △BEC 中, Rt △ABD ∽Rt △BEC 中,BD AD
BC EC
=
,CE =3, ∴cos ∠DAC =cos ∠ACE =3
AC
.
∴AD →·AC →=|AD →|·|AC →|cos ∠DAC =|AD →|·|AC →| cos ∠ACE = 3.
法3坐标法
变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向,向量b 的方向是正东方向,且|a |=|b |=1,则 (-3a )·(a +b )=___-3___.
(2)如下图,在ABC △中,3==BC AB ,︒=∠30ABC ,AD 是边BC 上的高,则AC AD ⋅的值等于 ( ) A .0
B .
4
9
C .4
D .4
9-
【思路点拨】充分利用已知条件的3==BC AB ,︒=∠30ABC ,借助数量积的定义求出. 【答案】B 【解析】因为3==AC AB ,︒=∠30ABC ,AD 是边BC 上的
高,2
3
=
AD 2
9cos 4
AD AC AD AC CAD AD ⋅=⋅∠==
.
(3)设向量a ,b ,c 满足|a|=|b|=1,a·b =-1
2,〈a -c ,b -c 〉=60°,则|c|的最大值等于( )
A .2 B.3 C.2 D .1 【解析】 ∵a·b =-1
2,且|a|=|b|=1,
∴cos 〈a ,b 〉=a·b |a|·|b|=-1
2.
∴〈a ,b 〉=120°.
如图所示,将a ,b ,c 的起点平移至同一点O ,
则a -c =CA →,b -c =CB →
,∠ACB =60°,于是四 点A ,O ,B ,C 共圆,即点C 在△AOB 的外接圆上,故当OC 为直径时,|c|取最大值.由余弦定理,得AB =OA 2+OB 2-2·OA·OB·cos 〈a ,b 〉=3,由正弦定理,得2R =AB
sin 120°
=2,即|c|的最大
值为2.
题型二 向量的夹角与向量的模
例2 已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,
(1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a +b |; (3)若AB →=a ,BC →
=b ,求△ABC 的面积. 例2 解 (1)∵(2a -3b )·(2a +b )=61,∴4|a |2-4a·b -3|b |2=61. 又|a |=4,|b |=3,∴64-4a·b -27=61,∴a·b =-6. ∴cos θ=a·b |a||b |=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.
(2)可先平方转化为向量的数量积.
|a +b |2=(a +b )2=|a |2+2a·b +|b |2=42+2×(-6)+32=13, ∴|a +b |=13.
(3)∵AB →与BC →
的夹角θ=2π3,∴∠ABC =π-2π3=π3.
又|AB →|=|a |=4,|BC →
|=|b |=3,
∴S △ABC =12|AB →||BC →|sin ∠ABC =12×4×3×3
2=3 3.
变式训练2 (1)已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),求|2α+β|的值; (2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°,|a |=1,|b |=2,|c |=3,求向量a +b +c 与向量a 的夹角.
解 (1)∵β=(2,0),∴|β|=2,又α⊥(α-2β), ∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0.∴α·β=1
2.
∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10.
∴|2α+β|=10.
(2)由已知得(a +b +c )·a =a 2+a·b +a·c =1+2cos 120°+3cos 120°=-32,
|a +b +c |=a +b +c
2=
a 2+
b 2+
c 2+2a·b +2a·c +2b·c

1+4+9+4cos 120°+6cos 120°+12cos 120°= 3.
设向量a +b +c 与向量a 的夹角为θ,
则cos θ=a +b +c ·a |a +b +c ||a |=-323=-3
2,即θ=150°,
故向量a +b +c 与向量a 的夹角为150°.
(3)已知i ,j 为互相垂直的单位向量,a =i -2j ,b =i +λj ,且a 与b 的夹角为锐角,实数λ的取值范围为________.
解析 ∵〈a ,b 〉∈(0,π
2),∴a ·b >0且a ·b 不同向.
即|i |2-2λ|j |2>0,∴λ<1
2
.
当a ·b 同向时,由a =k b (k >0)得λ=-2.∴λ<1
2
且λ≠-2.
(4)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|P A →+3PB →
|的最小值为________
解 以D 为原点,分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC =a ,DP =y .
∴D (0,0),A (2,0),C (0,a ),B (1,a ),P (0,y ), P A →=(2,-y ),PB →
=(1,a -y ), ∴P A →+3PB →
=(5,3a -4y ), |P A →+3PB →
|2=25+(3a -4y )2,
∵点P 是腰DC 上的动点,∴0≤y ≤a ,
因此当y =34
a 时,|P A →+3PB →
|2的最小值为25,
∴|P A →+3PB →
|的最小值为5.
题型三 平面向量的垂直问题
例3 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a +b 与a -b 互相垂直;
(2)若k a +b 与a -k b 的模相等,求β-α.(其中k 为非零实数) (1)证明 ∵(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2 =(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=0, ∴a +b 与a -b 互相垂直.
(2)解 k a +b =(k cos α+cos β,k sin α+sin β), a -k b =(cos α-k cos β,sin α-k sin β),
|k a +b |
|a -k b |∵|k a +b |=|a -k b |,∴2k cos(β-α)=-2k cos(β-α). 又k ≠0,∴cos(β-α)=0.
而0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=π2
.
变式训练3 (1) 已知平面向量a =(3,-1),b =⎝⎛⎭⎫12,3
2.
①证明:a ⊥b ;
② 若存在不同时为零的实数k 和t ,使c =a +(t 2-3)b ,d =-k a +t b ,且c ⊥d ,试求函数关系式k =f (t ).
① 证明 ∵a·b =3×12-1×3
2=0,∴a ⊥b .
②解 ∵c =a +(t 2-3)b ,d =-k a +t b ,且c ⊥d ,
∴c·d =[a +(t 2-3)b ]·(-k a +t b )=-k a 2+t (t 2-3)b 2+[t -k (t 2-3)]a·b =0, 又a 2=|a |2=4,b 2=|b |2=1,a·b =0,
∴c·d =-4k +t 3-3t =0,∴k =f (t )=t 3-3t
4
(t ≠0).
(2) 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且k a +b 的长度是a -k b 的长度的3倍(k >0).
① 求证:a +b 与a -b 垂直; ②用k 表示a ·b ; ③ 求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.
点拨: 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
2.当向量a 与b 是非坐标形式时,要把a 、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异.
解 ①由题意得,|a |=|b |=1,∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0, ∴a +b 与a -b 垂直.
②|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2=k 2+2k a ·b +1, (3|a -k b |)2=3(1+k 2)-6k a ·b .
由条件知,k 2+2k a ·b +1=3(1+k 2)-6k a ·b , 从而有,a ·b =1+k 24k (k >0).
③由(2)知a ·b =1+k 24k =14(k +1k )≥1
2

当k =1
k
时,等号成立,即k =±1.
∵k >0,∴k =1.
此时cos θ=a ·b |a ||b |=12,而θ∈[0,π],∴θ=π
3
.
故a ·b 的最小值为12,此时θ=π
3
.
(3)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). ① 若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; ②求|b +c |的最大值;
③ 若tan αtan β=16,求证:a ∥b . ① 解 因为a 与b -2c 垂直,
所以a ·(b -2c )=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此tan(α+β)=2.
②解 由b +c =(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b +c |=22sin cos )(4cos 4sin )ββββ++-( =
17-15sin 2β≤4 2.
又当β=-π
4时,等号成立,所以|b +c |的最大值为4 2.
③证明 由tan αtan β=16得sin sin 16cos cos αβ
αβ
=即16cos cos sin sin 0αβαβ-=
所以a ∥b .
(4)如图4-4-1所示,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB ,D 为BC 的中点,E 是AB 上的一点,且AE =2EB .求证:AD ⊥CE . 解 AD →·CE →=(AC →+12CB →)·(CA →+23
AB →)
=-|AC →
|2+12CB →·CA →+23AB →·AC →+13
AB →·CB →
=-|AC →
|2+12|CB →||CA →|cos 90°+223|AC →|2cos 45°+23|AC →|2cos 45°
=-|AC →|2+|AC →
|2=0, ∴AD →⊥CE →
,即AD ⊥CE .,
(5) 在△ABC 中,
AB =(2, 3),=(1, k ),且△ABC 的一个内角为直角,
求k 值
解:当A = 90︒时,AB ⋅= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3
-
当B = 90︒时,AB ⋅= 0,=-AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
3
11
当C= 90︒时,⋅= 0,∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2
13

题型四 向量的数量积在三角函数中的应用
例4 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 32
x ,sin 3
2x , b =⎝⎛⎭⎫cos x 2,-sin x 2,且x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4. (1)求a·b 及|a +b |; (2)若f (x )=a·b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.
解 (1)a·b =cos 32x cos x 2-sin 32x sin x
2=cos 2x ,
|a +b |=⎝⎛⎭⎫cos 32x +cos x 22+⎝⎛⎭⎫sin 32x -sin x 22 =
2+2cos 2x =2|cos x |, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π
4,∴cos x >0, ∴|a +b |=2cos x .
(2)f (x )=cos 2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1
=2⎝
⎛⎭⎫cos x -122-3
2. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4,∴1
2
≤cos x ≤1, ∴当cos x =12时,f (x )取得最小值-3
2;
当cos x =1时,f (x )取得最大值-1.
变式迁移4 (1)已知△ABC 的面积S , 12
AB →·AC →=3S ,且cos B =3
5
,求cos C .
解 由题意,设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ,
则S =1
2
bc sin A
12AB →·AC →=1
2bc cos A =3S =32
bc sin A >0, ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,cos A =3sin A . 又sin 2A +cos 2A =1, ∴sin A =
1010,cos A =310
10
. 由题意cos B =35,得sin B =4
5.
∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =1010
. ∴cos C =cos[π-(A +B )]=-
10
10
. (2).已知△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,G 是△ABC 的重 心,且56sin A ·GA +40sin B ·GB +35sin C ·GC =0. (1)求角B 的大小;
(2)设m =(sin A ,cos 2A ),n =(4k,1)(k >1),m ·n 的最大值为5,求实数k 的值. 解:(1)由G 是△ABC 的重心,得GA +GB +GC =0, ∴GC =-(GA +GB),由正弦定理,可将已知等式转化为
GA +40b GB +35c (-GA -GB)=0a ⋅⋅⋅56
整理,得(56a -35c )·
GA +(40b -35c )·GB =0. ∵GA ,GB 不共线,∴⎩
⎪⎨⎪⎧
56a -35c =0,40b -35c =0.由此,
得a ∶b ∶c =5∶7∶8.
不妨设a =5,b =7,c =8,由余弦定理, 得cos B =a 2+c 2-b 22ac =52+82-722×5×8=1
2.
∵0<B <π,∴B =π
3
.
(2)m ·n =4k sin A +cos 2A =-2sin 2A +4k sin A +1,
由(1)得B =π3,所以A +C =2
3π,故得A ∈⎝⎛⎭⎫0,2π3. 设sin A =t ∈(0,1],则m ·n =-2t 2+4kt +1,t ∈(0,1].
令f (t )=-2t 2+4kt +1,则可知当t ∈(0,1],且k >1时,f (t )在(0,1]上为增函数,所以,当
t =1时,m ·n 取得最大值5.于是有:-2+4k +1=5,解得k =32,符合题意,所以,k =3
2
.
(3)已知等边三角形ABC 的边长为2,⊙A 的半径为1,PQ 为⊙A 的任意一条直径,
①判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化,请说明理由;
②求BP CQ ⋅的最大值。

1.一些常见的错误结论:
(1)若|a |=|b |,则a =b ;(2)若a 2=b 2,则a =b ;(3)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;(4)若a·b =0,则a =0或b =0;(5)|a·b |=|a |·|b |;(6)(a·b )c =a (b·c );(7)若a·b =a·c ,则b =c .以上结论都是错误的,应用时要注意.
2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
向量表示 坐标表示 向量a 的模 |a |=a·a =a 2 |a |=
x 21+y 2
1
a 与
b 的数量积 a·b =|a||b |cos θ a·b =x 1x 2+y 1y 2 a 与b 共线的充要条件 A ∥b (b ≠0)⇔a =λb a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0 非零向量a ,b 垂直的充要条件
a ⊥
b ⇔a·b =0 a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 向量a 与b 的夹角
cos θ=a·b
|a||b|
cos θ=
x 1x 2+y 1y 2
x 21+y 21
x 22+y 2
2
3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:
(1)要证AB =CD ,可转化证明AB →2=CD →2或|AB →|=|CD →
|.
(2)要证两线段AB ∥CD ,只要证存在唯一实数 ≠0,使等式AB →=λCD →
成立即可.
(3)要证两线段AB ⊥CD ,只需证AB →·CD →
=0.
平面向量的数量积及其应用练习一
一、选择题
1.若向量a =(3,m ),b =(2,-1),a·b =0,则实数m 的值为 ( )
A .-32 B.32
C .2
D .6
1.D [因为a·b =6-m =0,所以m =6.]
2.已知非零向量a ,b ,若|a |=|b |=1,且a ⊥b ,又知(2a +3b )⊥(k a -4b ),则实数k 的值为 ( ) A .-6 B .-3 C .3 D .6 2.D [由(2a +3b )·(k a -4b )=0得2k -12=0,∴k =6.]
3.已知△ABC 中,AB →=a ,AC →
=b ,a·b <0,S △ABC =154
,|a |=3,|b |=5,则∠BAC 等于 ( )
A .30°
B .-150°
C .150°
D .30°或150°
3.C [∵S △ABC =12|a ||b |sin ∠BAC =15
4,
∴sin ∠BAC =1
2
.又a·b <0,
∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC =150°.]
4.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 4.C [由(2a +b )·b =0,得2a·b =-|b |2.
cos 〈a ,b 〉=a·b
|a||b |=-12|b |2
|b |2
=-12
. ∵〈a ,b 〉∈[0°,180°],∴〈a ,b 〉=120°.]
5.设向量a ,b 满足|a |=|b |=1,a·b =-1
2,则|a +2b |等于
( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.7
6.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79,73
B.⎝⎛⎭⎫-73,-79
C.⎝⎛⎭
⎫73,7
9 D .⎝⎛⎭⎫-79
,-7
3 7.在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC →
等于
( )
A.-32
B.-23
C.23
D .32
8.若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为( ) A.2-1
B .1
C. 2
D.2
9.已知|a |=6,|b |=3,a·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是
( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
10.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量,它们两两之间的夹角均为120°,且|k a +b +c |>1,则实数k 的取值范围是
( )
A.(-∞,0)
B.(2,+∞) C .(-∞,0)∪(2,+∞)
D.(0,2)
二、填空题
11.设a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,若a·b =2
5
,则sin α=________. 解析 ∵a·b =cos 2α+2sin 2α-sin α=2
5

∴1-2sin 2α+2sin 2α-sin α=25,∴sin α=3
5
12.若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为________. 解析 设a 与b 的夹角为θ,∵c =a +b ,c ⊥a , ∴c·a =0,即(a +b )·a =0.∴a 2+a·b =0. 又|a |=1,|b |=2,∴1+2cos θ=0.
∴cos θ=-1
2
,θ∈[0°,180°]即θ=120°.
13.已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 夹角为3π
4
,且m·n =-1,则向量n =__________________.
解析 设n =(x ,y ),由m·n =-1,有x +y =-1.①
由m 与n 夹角为3π4,有m·n =|m|·|n |cos 3π
4,
∴|n |=1,则
x 2+y 2=1.②由①②解得
⎩⎪⎨
⎪⎧ x =-1y =0或⎩⎪⎨⎪⎧
x =0
y =-1
, ∴n =(-1,0)或n =(0,-1).
14.已知两个单位向量e 1,e 2的夹角为π
3,若向量b 1=e 1-2e 2,b 2=3e 1+4e 2,则b 1·b 2=____
-6____.
三、解答题
15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.
解 e 21=4,e 22=1,
e 1·e 2=2×1×cos 60°=1,
∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t e 21+(2t 2+7)e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.
∵向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,∴2t 2+15t +7<0.∴-7<t <-12
.
假设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2) (λ<0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧
2t =λ
7=tλ
⇒2t 2=7⇒t =-14
2
,λ=-14. ∴当t =-
14
2
时,2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π,不符合题意. ∴t 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫-7,-
142∪⎝⎛⎭
⎫-142,-12. 16.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1). (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t 满足(AB →-tOC →)·OC →
=0,求t 的值.
解 (1)由题设知AB →=(3,5),AC →=(-1,1),则AB →+AC →=(2,6),AB →-AC →
=(4,4). 所以|AB →+AC →|=210,|AB →-AC →
|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为42,210.
(2)由题设知OC →=(-2,-1), AB →-tOC →
=(3+2t,5+t ). 由(AB →-tOC →)·OC →=0,得(3+2t,5+t )·(-2,-1)=0, 从而5t =-11,所以t =-115
.
17.已知OA →=(2,5),OB →=(3,1),OC →=(6,3),在线段OC 上是否存在点M ,使MA →⊥MB →
,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解 设存在点M ,且OM →=λOC →
=(6λ,3λ) (0≤λ≤1), MA →=(2-6λ,5-3λ),MB →
=(3-6λ,1-3λ).∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,
即45λ2-48λ+11=0,解得λ=13或λ=11
15
∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225,115. 故在线段OC 上存在点M ,使MA →⊥MB →
,且点M 的坐标为(2,1)或(225,115
).
平面向量的数量积及其应用练习二
一、选择题
1.设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===
c y b x a ,且c b c a //,⊥,_______=b a ( ) A 5
B 10
C .25
D .10
【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故
22||(21)(12)10a b +=++-=
2、定义:=sin θ⨯⋅⋅a b a b ,其中θ为向量a 与b 的夹角,若2=a ,5=b ,6⋅=-a b ,
则⨯a b 等于( )
A .8-
B .8
C .8-或8
D .6
【解析】由2=a ,5=b ,6⋅=-a b ,得5
4
sin ,53
cos =
-=θθ,所以=sin θ⨯⋅⋅a b a b =85
452=⨯
⨯ 3.若向量a 与b 不共线,a ·b ≠0,且c =a -⎝⎛⎭⎫
a ·a a ·
b b ,则向量a 与
c 的夹角为________. 解析:由于a ·c =a ·⎝⎛⎭⎫a -a ·a a ·b b =a ·a -a ·a a ·b a ·b , 又a ·b ≠0,∴a ·c =|a |2-|a |2=0,所以a ⊥c . 答案:90°
4.如图,非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,a OC C OA BC
( )
A .
2
|
|a b a B .
||||b a b a
C .
2
|
|b D .
b
a b a ⋅
5.在OAB ∆中,OA a =,OB b =,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=,则实数λ等 于( ) A .2
()a b a a b
⋅--
B .2
()a a b a b
⋅--
C .()a b a a b
⋅--
D .()a a b a b
⋅--
6.已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范
围是 A. [0,
6π] B. [,]3ππ C. 2[,]33ππ D. [,]6
π
π 解:,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根,则2
||4a a b -⋅≥0,设
向量
,a b 的夹角为θ,cosθ=||||a b
a b ⋅⋅≤2
21||1412
||2
a a =,∴θ∈],3[ππ,选B.
7.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||,则>=<b a ,( )
A .150° B.120° C.60° D.30°
8、(2012湖南理)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. ( )
A .3
B .7
C .22
D .23
【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.
1
cos 2B BC
∴=
-.又由余弦定理知
222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=⋅,解得3BC =.
9.在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时
针旋转
34
π
后,得向量OQ ,则点Q 的坐标是( )
A .(-
B .(-
C .(2)--
D .(2)-
二、填空题
10.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为1
2,则α
与β的夹角θ的取值范围是__⎣⎡⎦⎤
π6,5π6______.
11.已知向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是_____4 ___.
12.已知在平面直角坐标系中,O (0,0),M (1,1),N (0,1),Q (2,3),动点P (x ,y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1,则z =OQ →·OP →的最大值为__3______. 三、解答题
13.设平面上有两个向量a =(cos α,sin α) (0°≤α<360°),b =⎝⎛⎭⎫-12,32.
(1)求证:向量a +b 与a -b 垂直;
(2)当向量3a +b 与a -3b 的模相等时,求α的大小. 证明 ∵(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2
=(cos 2α+sin 2α)-⎝⎛⎭⎫14+34=0,故a +b 与a -b 垂直. (2)解 由|3a +b |=|a -3b |,两边平方得
3|a |2+23a·b +|b |2=|a |2-23a·b +3|b |2,所以2(|a |2-|b |2)+43a·b =0, 而|a |=|b |,所以a·b =0,则⎝⎛⎭⎫-12·cos α+3
2
·sin α=0, 即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k ·180°+90°, 即α=k ·180°+30°,k ∈Z , 又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.
14.已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =(cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ,sin ⎝⎛⎭⎫π
2-θ). (1)求证:a ⊥b ;
(2)若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b ,满足
x ⊥y ,试求此时
k +t 2
t
的最小值.
(1)证明 ∵a·b =cos(-θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ+sin ()
-θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ =sin θcos θ-sin θcos θ=0.∴a ⊥b .
(2)解 由x ⊥y 得,x·y =0,即[a +(t 2+3)b ]·(-k a +t b )=0, ∴-k a 2+(t 3+3t )b 2+[t -k (t 2+3)]a·b =0,∴-k |a |2+(t 3+3t )|b |2=0. 又|a |2=1,|b |2=1,∴-k +t 3+3t =0,∴k =t 3+3t .
∴k +t 2t =t 3+t 2+3t t =t 2+t +3=⎝⎛⎭⎫t +122+114.故当t =-12时,k +t 2t 有最小值114.
15.已知a =(1,2sin x ),b =⎝⎛⎭
⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6,1,函数f (x )=a·b (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递减区间;
(2)若f (x )=8
5
,求cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3的值. 解 (1)f (x )=a·b =2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6+2sin x =2cos x cos π6-2sin x sin π
6
+2sin x =3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭
⎫x +π3. 由π2+2k π≤x +π3≤3π2+2k π,k ∈Z ,得π6+2k π≤x ≤7π
6
+2k π,k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6+2k π,7π
6+2k π (k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3.又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=85
, 所以sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=45,即sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=cos ⎝⎛⎭⎫π6-x =cos ⎝⎛⎭⎫x -π6=45
. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3=2cos 2⎝⎛⎭⎫x -π6-1=725
.
平面向量的数量积及其应用练习三
1.在直角ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是( )
A .2AC AC A
B =⋅ B . 2
AB AC CD =⋅ C .2
BC BA BC =⋅ D .2
2
()()
AC AB BA BC CD AB
⋅⨯⋅=
2.平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA →=a ,OB →
=b ,则△OAB 的面积等于( ) A.
222()a b a b -⋅ B.22
2()a b a b +⋅
C.
2
2
2
1()2
a
b a b -⋅ D.1
2
22
2()a b a b +⋅
【解析】 ∵cos 〈a ,b 〉=a ·b
|a ||b |
, ∴sin 〈a ,b 〉=
1-cos 2〈a ,b 〉=
1-
a ·
b |a ||b |
2=
|a |2|b |2-a ·b
2
|a ||b |

S △OAB =12|OA →||OB →|sin 〈OA →,OB →
〉=12|a ||b |sin 〈a ,b 〉
=12
|a |2|b |2-a ·b 2.
3.已知非零向量AC AB ,和BC 满足(
)0||||AB AC BC AB AC +⋅=,且1
2
||||AC BC AC BC ⋅=,则△ABC 为( )
A.等边三角形
B. 等腰非直角三角形
C.非等腰三角形
D.等腰直角三角形
4.己知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,a 与b 的夹角为60°,直线
cos sin 0x y αα-=与圆221
(cos )(sin )2
x y ββ-++=的位置关系是 ( )
A .相切
B .相交
C .相离
D .随,αβ的值而定
解析:a 与b 的夹角为60°所以
0cos cos sin sin 1
cos6012||||
a b a b αβαβ+=
==
圆心(cos ,sin )ββ-到直线cos sin 0x y αα-=距离为cos cos sin sin 1
12
αβαβ+=
故选C
二、填空题
5.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量k a -b 垂直,则k =___1_____.
6.已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__(-∞,-6)∪⎝
⎛⎭⎫-6,3
2__________. 7.已知平面上直线l 的方向向量e =⎝⎛⎭⎫-45,3
5,点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1,则O 1A 1=λe ,其中λ=________. 解析:由向量在已知向量上的射影定义知:
λ=||·cos 〈e ,〉=5×e ·OA |e ||OA |=5×-45-651×5=-45-6
5=-2.
答案:-2
三、解答题
8.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;
(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .
解 (1)a·b =2n -2,|a |=5, |b |=
n 2+4,∴cos 45°=
2n -2
5·n 2+4=2
2
, ∴3n 2-16n -12=0 (n >1),∴n =6或n =-2
3(舍),∴b =(-2,6).
(2)由(1)知,a·b =10,|a |2=5.
又c 与b 同向,故可设c =λb (λ>0), (c -a )·a =0, ∴λb·a -|a |2=0,∴λ=|a |2b·a =510=12,∴c =1
2
b =(-1,3).。

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