平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积及其应用

自主梳理

1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量___.|a ||b |cos θ_____叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作__ a ·b ＝|a ||b |cos θ_____，其中向量的投影：︱b ︱cos θ=

||

a b

a ⋅∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

规定：零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即00a ⋅= （2）平面向量数量积的几何意义

数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____|b |cos θ_____的乘积.

(3) 平面向量数量积的重要性质： ①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__ |a |cos θ________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____a·b ＝0____________； ③当a 与b 同向时，a·b ＝__|a||b|___；（两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__ a·b ＝0__） 当a 与b 反向时，a·b ＝__－|a||b|______，a·a ＝__ a 2___＝_|a |2___，|a |＝___a·a ____； （两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__ a·b ＝±|a||b|___）

④cos θ＝__a·b |a||b|

________；

⑤|a·b |_≤___|a||b |.

2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝__ b·a ______； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝___________ a·c ＋b·c _____； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝__λ(a ·b )______________.

3．向量数量积的坐标运算与度量公式

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y

(2) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (3) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝1212222

2

1

1

22

x y x y +⋅+_____.

C

(4)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 22

x y + 或|a |＝

x 2＋y 2 .

(5)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB →

＝______(x 2－x 1，y 2－y 1) ___，

所以|AB →|＝______2

22121x -x )+y -y )（（_____.

点评：

1.向量的数量积是一个实数

两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .

3.一般地，(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .

4.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.

5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°.

自我检测

1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝___－32 _____.

2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16

3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B 2(22)a b a b -=

-＝22

44a a b b -⋅+＝8＝2 2.

4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为___3

2_____.

5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为___

655

___. 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；

③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2.

7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，

2

y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →

，则动点C 的轨迹方程为________________．

解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭

⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝

⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 8.若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23

CA →，则MA →·MB →

＝________.

解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，

这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，

MB →＝⎝⎛⎭

⎫－32，52，所以MA →·MB →

＝－2.

题型一 平面向量的数量积的运算

例1 （1）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.2

(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →， |AD →|＝1，则AC →·AD →等于

( ) A.2 3

B.

3

2

C.

3

3

D . 3

解法1基底法: ∵BC →＝3BD →，∴AC →＝BC →－BA →＝3BD →－BA →＝3(AD →－AB →)＋AB → ＝3AD →＋(1－3)AB →. 又AD ⊥AB ，|AD →|＝1.

∴AC →·AD →＝3AD 2→＋(1－3)AB →·AD →＝ 3.

法2定义法设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ， 在Rt △ABD 与Rt △BEC 中， Rt △ABD ∽Rt △BEC 中，BD AD

BC EC

=

,CE ＝3， ∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACE ＝3

AC

.

∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠DAC ＝|AD →|·|AC →| cos ∠ACE ＝ 3.

法3坐标法