平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积及其应用
自主梳理
1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量___.|a ||b |cos θ_____叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作__ a ·b ＝|a ||b |cos θ_____，其中向量的投影：︱b ︱cos θ=
||
a b
a ⋅∈R ，称为向量
b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；
注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

规定：零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即00a ⋅= （2）平面向量数量积的几何意义
数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____|b |cos θ_____的乘积.
(3) 平面向量数量积的重要性质： ①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__ |a |cos θ________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____a·b ＝0____________； ③当a 与b 同向时，a·b ＝__|a||b|___；（两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__ a·b ＝0__） 当a 与b 反向时，a·b ＝__－|a||b|______，a·a ＝__ a 2___＝_|a |2___，|a |＝___a·a ____； （两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__ a·b ＝±|a||b|___）
④cos θ＝__a·b |a||b|
________；
⑤|a·b |_≤___|a||b |.
2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝__ b·a ______； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝___________ a·c ＋b·c _____； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝__λ(a ·b )______________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y
(2) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (3) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝1212222
2
1
1
22
x y x y +⋅+_____.
C
(4)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 22
x y + 或|a |＝
x 2＋y 2 .
(5)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB →
＝______(x 2－x 1，y 2－y 1) ___，
所以|AB →|＝______2
22121x -x )+y -y )（（_____.
点评：
1.向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .
3.一般地，(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .
4.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.
5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°.
自我检测
1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝___－32 _____.
2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B 2(22)a b a b -=
-＝22
44a a b b -⋅+＝8＝2 2.
4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为___3
2_____.
5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为___
655
___. 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；
③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2.
7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，
2
y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →
，则动点C 的轨迹方程为________________．
解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭
⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝
⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 8.若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23
CA →，则MA →·MB →
＝________.
解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，
这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，
MB →＝⎝⎛⎭
⎫－32，52，所以MA →·MB →
＝－2.
题型一 平面向量的数量积的运算
例1 （1）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.2
(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →， |AD →|＝1，则AC →·AD →等于
( ) A.2 3
B.
3
2
C.
3
3
D . 3
解法1基底法: ∵BC →＝3BD →，∴AC →＝BC →－BA →＝3BD →－BA →＝3(AD →－AB →)＋AB → ＝3AD →＋(1－3)AB →. 又AD ⊥AB ，|AD →|＝1.
∴AC →·AD →＝3AD 2→＋(1－3)AB →·AD →＝ 3.
法2定义法设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ， 在Rt △ABD 与Rt △BEC 中， Rt △ABD ∽Rt △BEC 中，BD AD
BC EC
=
,CE ＝3， ∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACE ＝3
AC
.
∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠DAC ＝|AD →|·|AC →| cos ∠ACE ＝ 3.
法3坐标法
变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a |＝|b |＝1，则 (－3a )·(a ＋b )＝___－3___.
(2)如下图，在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则AC AD ⋅的值等于 （ ） A ．0
B ．
4
9
C ．4
D ．4
9-
【思路点拨】充分利用已知条件的3==BC AB ，︒=∠30ABC ，借助数量积的定义求出． 【答案】B 【解析】因为3==AC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的
高,2
3
=
AD 2
9cos 4
AD AC AD AC CAD AD ⋅=⋅∠==
.
（3）设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1
2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( )
A ．2 B.3 C.2 D ．1 【解析】 ∵a·b ＝－1
2，且|a|＝|b|＝1，
∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－1
2.
∴〈a ，b 〉＝120°.
如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，
则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →
，∠ACB ＝60°，于是四 点A ，O ，B ，C 共圆，即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA·OB·cos 〈a ，b 〉＝3，由正弦定理，得2R ＝AB
sin 120°
＝2，即|c|的最大
值为2.
题型二 向量的夹角与向量的模
例2 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积. 例2 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)可先平方转化为向量的数量积.
|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.
(3)∵AB →与BC →
的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.
又|AB →|＝|a |＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2＝3 3.
变式训练2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值； (2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角.
解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝1
2.
∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.
∴|2α＋β|＝10.
(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a·b ＋a·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，
|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c
2＝
a 2＋
b 2＋
c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c
＝
1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120°＝ 3.
设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，
则cos θ＝a ＋b ＋c ·a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－3
2，即θ＝150°，
故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.
(3)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．
解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π
2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．
即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<1
2
.
当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<1
2
且λ≠－2.
（4）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →
|的最小值为________
解 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .
∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， P A →＝(2，－y )，PB →
＝(1，a －y )， ∴P A →＋3PB →
＝(5,3a －4y )， |P A →＋3PB →
|2＝25＋(3a －4y )2，
∵点P 是腰DC 上的动点，∴0≤y ≤a ，
因此当y ＝34
a 时，|P A →＋3PB →
|2的最小值为25，
∴|P A →＋3PB →
|的最小值为5.
题型三 平面向量的垂直问题
例3 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；
(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数) (1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直.
(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，
|k a ＋b |
|a －k b |∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α). 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.
而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2
.
变式训练3 (1) 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，3
2.
①证明：a ⊥b ；
② 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ).
① 证明 ∵a·b ＝3×12－1×3
2＝0，∴a ⊥b .
②解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，
∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0，
∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t
4
(t ≠0).
（2） 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．
① 求证：a ＋b 与a －b 垂直； ②用k 表示a ·b ； ③ 求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.
点拨： 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．
解 ①由题意得，|a |＝|b |＝1，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．
②|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .
由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ， 从而有，a ·b ＝1＋k 24k (k >0)．
③由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥1
2
，
当k ＝1
k
时，等号成立，即k ＝±1.
∵k >0，∴k ＝1.
此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π
3
.
故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π
3
.
（3）设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． ① 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； ②求|b ＋c |的最大值；
③ 若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . ① 解 因为a 与b －2c 垂直，
所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.
②解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝22sin cos )(4cos 4sin )ββββ++-（ ＝
17－15sin 2β≤4 2.
又当β＝－π
4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.
③证明 由tan αtan β＝16得sin sin 16cos cos αβ
αβ
=即16cos cos sin sin 0αβαβ-=
所以a ∥b .
（4）如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE . 解 AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23
AB →)
＝－|AC →
|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13
AB →·CB →
＝－|AC →
|2＋12|CB →||CA →|cos 90°＋223|AC →|2cos 45°＋23|AC →|2cos 45°
＝－|AC →|2＋|AC →
|2＝0， ∴AD →⊥CE →
，即AD ⊥CE .,
（5） 在△ABC 中，
AB =(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，
求k 值
解：当A = 90︒时，AB ⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3
-
当B = 90︒时，AB ⋅= 0，=-AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
3
11
当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2
13
3±
题型四 向量的数量积在三角函数中的应用
例4 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32
x ，sin 3
2x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．
解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x
2＝cos 2x ，
|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝
2＋2cos 2x ＝2|cos x |， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π
4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .
(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1
＝2⎝
⎛⎭⎫cos x －122－3
2. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴1
2
≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－3
2；
当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.
变式迁移4 （1）已知△ABC 的面积S ， 12
AB →·AC →＝3S ，且cos B ＝3
5
，求cos C .
解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，
则S ＝1
2
bc sin A
12AB →·AC →＝1
2bc cos A ＝3S ＝32
bc sin A >0， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin A ＝
1010，cos A ＝310
10
. 由题意cos B ＝35，得sin B ＝4
5.
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010
. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－
10
10
. （2）．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重 心，且56sin A ·GA ＋40sin B ·GB ＋35sin C ·GC ＝0. (1)求角B 的大小；
(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值． 解：(1)由G 是△ABC 的重心，得GA ＋GB ＋GC ＝0， ∴GC =-(GA +GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为
GA +40b GB +35c (-GA -GB)=0a ⋅⋅⋅56
整理，得(56a －35c )·
GA ＋(40b －35c )·GB ＝0. ∵GA ，GB 不共线，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，
得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.
不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝1
2.
∵0<B <π，∴B ＝π
3
.
(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，
由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝2
3π，故得A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．
令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当
t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝3
2
.
（3）已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，
①判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；
②求BP CQ ⋅的最大值。

1．一些常见的错误结论：
(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．
2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：
向量表示 坐标表示 向量a 的模 |a |＝a·a ＝a 2 |a |＝
x 21＋y 2
1
a 与
b 的数量积 a·b ＝|a||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 a 与b 共线的充要条件 A ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0 非零向量a ，b 垂直的充要条件
a ⊥
b ⇔a·b ＝0 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 向量a 与b 的夹角
cos θ＝a·b
|a||b|
cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21
x 22＋y 2
2
3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：
（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →
|.
（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数 ≠0，使等式AB →＝λCD →
成立即可．
（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →
＝0.
平面向量的数量积及其应用练习一
一、选择题
1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )
A ．－32 B.32
C ．2
D ．6
1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.]
2．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]
3.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154
，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )
A ．30°
B ．－150°
C ．150°
D ．30°或150°
3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝15
4，
∴sin ∠BAC ＝1
2
.又a·b <0，
∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.]
4．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.
cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a||b |＝－12|b |2
|b |2
＝－12
. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.]
5.设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－1
2，则|a ＋2b |等于
( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.7
6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－79
C.⎝⎛⎭
⎫73，7
9 D .⎝⎛⎭⎫－79
，－7
3 7.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →
等于
( )
A.－32
B.－23
C.23
D .32
8.若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1
B .1
C. 2
D.2
9.已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是
( )
A.－4
B.4
C.－2
D.2
10.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是
( )
A.(－∞，0)
B.(2，＋∞) C .(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.(0,2)
二、填空题
11．设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝2
5
，则sin α＝________. 解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝2
5
，
∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝3
5
12．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.
∴cos θ＝－1
2
，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
13．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π
4
，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.
解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①
由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π
4，
∴|n |＝1，则
x 2＋y 2＝1.②由①②解得
⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0
y ＝－1
， ∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．
14.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝____
－6____.
三、解答题
15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
解 e 21＝4，e 22＝1，
e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1，
∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.
∵向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴2t 2＋15t ＋7<0.∴－7<t <－12
.
假设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧
2t ＝λ
7＝tλ
⇒2t 2＝7⇒t ＝－14
2
，λ＝－14. ∴当t ＝－
14
2
时，2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π，不符合题意. ∴t 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－7，－
142∪⎝⎛⎭
⎫－142，－12. 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值.
解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →
＝(4,4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.
(2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →
＝(3＋2t,5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115
.
17.已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →
，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 设存在点M ，且OM →＝λOC →
＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →
＝(3－6λ，1－3λ)．∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝11
15
∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115. 故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →
，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115
)．
平面向量的数量积及其应用练习二
一、选择题
1．设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===
c y b x a ,且c b c a //,⊥,_______=b a （ ） A 5
B 10
C ．25
D ．10
【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故
22||(21)(12)10a b +=++-=
2、定义：=sin θ⨯⋅⋅a b a b ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若2=a ，5=b ，6⋅=-a b ，
则⨯a b 等于（ ）
A ．8-
B ．8
C ．8-或8
D ．6
【解析】由2=a ，5=b ，6⋅=-a b ，得5
4
sin ,53
cos =
-=θθ，所以=sin θ⨯⋅⋅a b a b =85
452=⨯
⨯ 3．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫
a ·a a ·
b b ，则向量a 与
c 的夹角为________． 解析：由于a ·c ＝a ·⎝⎛⎭⎫a －a ·a a ·b b ＝a ·a －a ·a a ·b a ·b ， 又a ·b ≠0，∴a ·c ＝|a |2－|a |2＝0，所以a ⊥c . 答案：90°
4．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,a OC C OA BC
（ ）
A ．
2
|
|a b a B ．
||||b a b a
C ．
2
|
|b D ．
b
a b a ⋅
5．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于（ ） A ．2
()a b a a b
⋅--
B ．2
()a a b a b
⋅--
C ．()a b a a b
⋅--
D ．()a a b a b
⋅--
6．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范
围是 A. [0,
6π] B. [,]3ππ C. 2[,]33ππ D. [,]6
π
π 解：,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，则2
||4a a b -⋅≥0，设
向量
,a b 的夹角为θ，cosθ=||||a b
a b ⋅⋅≤2
21||1412
||2
a a =，∴θ∈],3[ππ，选B.
7.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )
A ．150° B.120° C.60° D.30°
8、（2012湖南理）在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. （ ）
A ．3
B ．7
C ．22
D ．23
【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.
1
cos 2B BC
∴=
-.又由余弦定理知
222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=⋅,解得3BC =.
9．在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时
针旋转
34
π
后,得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ）
A ．(-
B ．(-
C ．(2)--
D ．(2)-
二、填空题
10.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1
2，则α
与β的夹角θ的取值范围是__⎣⎡⎦⎤
π6，5π6______.
11.已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是_____4 ___.
12.已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为__3______. 三、解答题
13.设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.
(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小. 证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2
＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直. (2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得
3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋3
2
·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.
14．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π
2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；
(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足
x ⊥y ，试求此时
k ＋t 2
t
的最小值．
(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()
－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .
(2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0. 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .
∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.
15．已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭
⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )＝8
5
，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值． 解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π
6
＋2sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3. 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤x ≤7π
6
＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π
6＋2k π (k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85
， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45
. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725
.
平面向量的数量积及其应用练习三
1．在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A ．2AC AC A
B =⋅ B ． 2
AB AC CD =⋅ C ．2
BC BA BC =⋅ D ．2
2
()()
AC AB BA BC CD AB
⋅⨯⋅=
2．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →
＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.
222()a b a b -⋅ B.22
2()a b a b +⋅
C.
2
2
2
1()2
a
b a b -⋅ D.1
2
22
2()a b a b +⋅
【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
， ∴sin 〈a ，b 〉＝
1－cos 2〈a ，b 〉＝
1－
a ·
b |a ||b |
2＝
|a |2|b |2－a ·b
2
|a ||b |
，
S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin 〈OA →，OB →
〉＝12|a ||b |sin 〈a ，b 〉
＝12
|a |2|b |2－a ·b 2.
3．已知非零向量AC AB ,和BC 满足(
)0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1
2
||||AC BC AC BC ⋅=，则△ABC 为（ ）
A.等边三角形
B. 等腰非直角三角形
C.非等腰三角形
D.等腰直角三角形
4.己知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，a 与b 的夹角为60°，直线
cos sin 0x y αα-=与圆221
(cos )(sin )2
x y ββ-++=的位置关系是 （ ）
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．随,αβ的值而定
解析：a 与b 的夹角为60°所以
0cos cos sin sin 1
cos6012||||
a b a b αβαβ+=
==
圆心(cos ,sin )ββ-到直线cos sin 0x y αα-=距离为cos cos sin sin 1
12
αβαβ+=
故选C
二、填空题
5.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝___1_____.
6.已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__(－∞，－6)∪⎝
⎛⎭⎫－6，3
2__________. 7．已知平面上直线l 的方向向量e ＝⎝⎛⎭⎫－45，3
5，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则O 1A 1＝λe ，其中λ＝________. 解析：由向量在已知向量上的射影定义知：
λ＝||·cos 〈e ，〉＝5×e ·OA |e ||OA |＝5×－45－651×5＝－45－6
5＝－2.
答案：－2
三、解答题
8.已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5， |b |＝
n 2＋4，∴cos 45°＝
2n －2
5·n 2＋4＝2
2
， ∴3n 2－16n －12＝0 (n >1)，∴n ＝6或n ＝－2
3(舍)，∴b ＝(－2,6).
(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.
又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)， (c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝1
2
b ＝(－1,3).。