信号与系统 刘树棠 第二版 中文答案 第2章

Charpt 2

2.21 计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]:

(a):

][][][][n u n h n u n x n

n βα==}βα≠

∑∑∑--===-==++==-k

n n n

k n

k k n k

n k

n u n u n u k n h k x n h n x n y ]

[][][)(][][][][*][][1

10

αβαββαββ

α (c):x[n]=],4[)21

(--n u n h[n]=]2[4n u n

-

y[n]=x[n]*h[n]=∑

∞

-∞=-+---k k n k k n u k u ]2[4]4[)21(

所以1)n<6时 y[n]=∑∞+=-=-=-4

34)(8*9481181

44)21(k n n k n k

2)n ∑∞

-=---=-=≥22

)

81(98*44)21(,6n k n n k n k 时

2.22 对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI 系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画

出结果。

(a)

)()(t u e t x t

α-= )()(t u e t h t

β-= (分别

在βα≠和βα=下完成)

y(t)=x(t)*h(t)=⎰⎰>=------t t t t t d e

e

d e

e 0

0)()

()

0(τττ

βαβτβατ

当)

(1)(,)(t u e e t y t t ββααββα-----=≠时

当)()(,t u te

t y t

αβα-==时

(c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。 )(*)()(*)()(t x t h t h t x t y == when t<1 y(t)=0; when ))

cos(1(2

)sin(2)(,311

0t d t y t t ππ

ττ+=

=<≤⎰- when

⎰-+-==<≤23

)

1))(cos(2

()sin(2)(,53t t d t y t ππ

ττ

2.23 设h(t)是如图P2.23(a)所示的三角脉冲，x(t)为图P2.23(b)所示的单位冲击串，即

∑+∞

-∞=-=

k kT t t x )

()(δ

对下列T 值，求出并画出y(t)=x(t)*h(t): (a)T=4 (b)T=2 (c) T=3/2 (4)T=1 解答：

因为)()(*)(ττδ-=-t x t t x ，据此可得

(b) T=4时，y(t)=x(t)*h(t)=∑∞

-∞=-k k t x )

4(,如图(a)

(c) T=2时，y(t)=∑∞

-∞

=-k k t x )

2(,如图(b)

(d) T=3/2时，y(t)=∑∞

-∞=-k k t x )23(如图(c) (e) T=1时，y(t)=∑∞

-∞

==-k k t x 1

)(,如图(d)

2.27定义一个连续时间信号v(t)下面的面积为

A v ＝⎰+∞

∞-dt

t v )(

证明：若y(t)=x(t)*h(t),则Ay=AxAh 因为y(t)=x(t)*h(t)=⎰+∞

∞--τ

ττd t h x )()(

Ay=

⎰

⎰⎰

∞

+∞

-+∞

∞

-∞

+∞

--=

dt

d t h x dt t y τττ)()()(

=⎰⎰+∞

∞-+∞

∞-=-h

x A A dt t h d x *)()(τττ

2.28 下面均为离散时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的，陈述理由

(a) h[n]=]

[)51

(n u n

因果，稳定。n 0≥,h[n]=n

)51(收敛。

(b) h[n]=

]2[)8.0(+n u n

非因果，稳定

(c) h[n]=]

[)21

(n u n -

非因果，不稳定。

n

n )21

(,0≤不收敛 2.29 下面均是连续时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的.陈述理由

(a)h(t)=)2(4--t u e t

因果，稳定 ,2≥t t

e 4-收敛。

(b) h(t)=)3(6t u e t

--

非因果，不稳定。t

e t 6,3-≤不收敛 (c) h(t)=

)50(2+-t u e t

非因果，稳定。t

e t 2,50--≥收敛

2.36 考虑一离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由下列差分方程给出：

y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n]

(a)证明：若该系统满足初始松弛条件（即若n

参考

证明：1)证明该式是线性

(i)

当n ＝0

n 时 ][]1[)21

(][000n x n y n y +-= 在满足初始松弛条件时

][][00n x n y =

显然线性即满足：当]

[][][02010n bx n ax n x +=时][][][02010n by n ay n y +=

(ii)

假设在n=k(>n0)时满足线性。即当 ][][][21k bx k ax k x +=时

][][][21k by k ay k y +=

(iii) 当n=k+1时

假设：]1[]1[]1[21+++=+k bx k ax k x

]

1[]1[]}

1[][)21

{(]}1[][)21{(]

1[]1[]}[][){21

(]1[][)21(]1[]2122112121+++=+++++=+++++=++=+k by k ay k x k y b k x k y a k bx k ax k by k ay k x k y k y ∴对于∞+=,......0n k 都满足线性即]

[]1[)21

(][000n x n y n y +-=线