高考数学高三模拟试卷试题压轴押题文科数学高考前模拟试题

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题文科数学高考前模拟试题
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.设全集{1,2,3,4}U =,集合}2,1{=P ,}3,1{=Q ,则()U P C Q ⋃= ( )
A ．{1}
B.{2}
C.{4}
D.{1,2,4}
2.抛物线2
4y x =-的焦点坐标为 ( ) A.(0,2)- B.(2,0)- C.(0,1)- D.(1,0)-
3.已知复数2
(4)(3)(,)z a a i a b R =-+-∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的 ( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
4.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图， 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 ( ) C
A ．85
B ．86
C ．87
D ．88
5.已知等比数列{}n a 的前三项依次为t ,2t -,3t -.则n a = ( )
A ．142n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
B ．42n
⋅C ．1
142n -⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
D ．1
42
n -⋅
6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A.23ππ+
B.8
3
π
C.32π
D.23
4π+
７.已知向量()1,1a =，()1,b n =，若||a b a b -=⋅，则n =( )
A.3-
B.1-
C.0
D.1 ８.ABC ∆中,3
A π
=
,3BC =,6AB =则C = ( )
2 2
2
侧（左）视
2 2 2
正（主）视
俯视图
A.
6πB.4π C.34π D.4
π或34π
９.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的
距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( )
A.
827 B.271 C.2627
D.15
27 10.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1
()22
x f x <+的解集为 ( )
A.{}11x x -<<
B.{}1x x <-
C.{}11x x x <->或
D.{}
1x x >
第II 卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) (一)必做题(1113题)
11.如图所示的算法流程图中,若2
()2,(),x
f x
g x x ==则(3)
h 的值等于.
12.()P x y ,是满足24,
0,0.x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
的区域上的动点.那么
z x y =+的最大值是.
13.已知函数2
π()cos 212x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，()sin 2g x x =. 设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，则0()g x 的值等于． (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题) 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，该圆的面积为．
15.(几何证明选讲选做题)如右图:PA 切
O 于点A ，4PA =,PBC 过圆
心O ,且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为．
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
开始输入x f(x)>g(x)
h(x)=f(x)h(x)=g(x)
输出h(x)结束
是
否
16.(本小题满分12分)已知向量3(sin ,),2
a x =(cos ,1)
b x =- (1)当向量a 与向量b 共线时，求tan x 的值；
(2)求函数()2()f x a b b =+⋅的最大值,并求函数取得最大值时的x 的值.
17.(本小题满分12分) 某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.
18.(本小题满分14分) 如图,已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为4的正方形，S 在底面上的射影O 落在正方形ABCD 内，且O 到AB 、AD 的距离分别为2和1. P 是SC 上的点,
1
3
SP PC =. (1)求证:OP ∥平面SAD ； (2)求证：⋅是定值.
S
A
C
D B
P
O
频率分数
90100110120130
0.05
0.100.150.200.250.300.350.4080
70
x
y
19.(本小题满分14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的
左右两个焦点
分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为
(
)
1,2M
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.
20.(本小题满分14分)已知函数2(2),0
(),12,
0,x x ax e x f x x x x ⎧->==⎨≤⎩是函数)(x f y =的极值
点.
(1)求实数a 的值；
(2)若方程0)(=-m x f 有两个不相等的实数根,求实数m 的取值.
21.(本小题满分14分)已知正数数列{an }中，a1 =2.若关于x 的方程
04
1
2)(12=++
-+n n a x a x （*N n ∈）对任意自然数n 都有相等的实根． (1)求a2 ,a3的值； (2)求证
3
2
11111111321<++++++++n a a a a （*N n ∈）．
高三文科数学3参考答案
一、选择题 1.
{2,4}U C Q =,()U P C Q ∴⋃={1,2,4}.选D.
2.抛物线的开口向左,且24p =,12
p
∴
=.选D. 3.2a =时, z i =-是纯虚数; z 为纯虚数时2
4a -=0,解出2a =±.选A.
4.所求平均分84848486879193
877
x ++++++=
=.选C.
5.
t ,2t -,3t -成等比数列,2
(2)(3)t t t ∴-=-,解得 4.t =∴数列{}n a 的首项为4,公比
为
1
2
.其通项 n a =1
142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
.选C.
6.所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.其中圆锥的高为
22213-=.体积
221
12133
V ππ=⋅⋅+⋅=3
23
π+
.选C. 7.a b ⋅=1n +,||a b -2
2
0(1)n +-2
2
0(1)n +-1n +得n =0.选C.
8.由正弦定理
sin sin BC AB A C =,即36sin 3
π=解出2sin 2C =.4C π∴=(34C π
=时，三角形内角和大于π，不合题意舍去).选B ．
9.蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体,其体积为1.而棱长为3的正方体的体积为27.故所求概率为
27
1
.选B.
10.1()()22x x f x φ=-
-,则//1()()02
x f x φ=-<,()x φ∴在R 上是减函
数.11
(1)(1)11022
f φ=-
-=-=, 1
()()022
x x f x φ∴=-
-<的解集为{}1x x >.选D. 二、填空题
11.32
(3)28,(3)39.
98,(3)9.f g h ====>∴=
12.直线y x z =-+经过点P(0,4)时,z x y =+最得最大值,最大值是4. 13.由题设知1π
()[1cos()]26
f x x =
+-．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π6x -
πk =，即0 π
22π3
x k =+(k ∈Z )．所以00π()sin 2sin(2π)3g x x k ==+=32． 14.(坐标系与参数方程选做题)将方程2cos ρθ=两边都乘以ρ得: 2
2cos ρρθ=,化成直
角坐标方程为
2220x y x +-=.半径为1,面积为π.
15.(几何证明选讲选做题)
PA 是切线,,,,BAP ACP P P PAB PCA ∴∠=∠∠=∠∴∆∆则
,AB PA
AC PC
= 即
14,2PC
=8.PC ∴=设圆的半径为r ,由切割线定理2PA PB PC =⋅得,16(82)8r =-⨯.解出 3.r = 三、解答题 16.(1)与 共线,∴
3cos sin 02x x +=,∴3tan 2
x =-. (2))21,cos (sin x x b a +=+ ,1
()2()2(sin cos ,)(cos ,1)2
f x a b b x x x =+⋅=+⋅-
22sin cos 2cos 1sin2cos2x x x x x =+-=+2)4
x π
=+，∴函数()f x 的最大值
2,
22(Z),4
2
x k k π
π
π+
=+
∈得.28k x ππ=
+函数取得最大值时().28
k x k Z ππ=+∈ 17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
5
1000.05
=人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d ,由51810d ⨯+=100,解得1d =.
∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人.
(2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 18.(1)证明:在SD 上取一点Q,使1
3
SQ QD =,设点O 向AD 所引的垂线段为OM.则OM=1.连接PQ,QM.
SQ QD =13
SP PC =,.,.PQ CD OM CD PQ OM ∴∴1
4
PQ CD =, 1.PQ ∴=∴四边形PQMO 是平行四边形.OP QM ∴,QM ⊂平面SAD, PO ⊄平面SAD,∴OP ∥平面
SAD.
(2)设点O 向BC 所引的垂线段为ON.则
ON=3.⋅=()AB OC OS AB OC AB OS AB OC ⋅-=⋅-⋅=⋅ =||||cos ||||12AB OC CON AB ON ∠==.⋅∴是定值. 19.(1)由椭圆定义可知a MF MF 221=+. 由题意12=MF ,121-=∴
a MF .又由
Rt △21F MF 可知 ()
12
2)12(2
2+=-a ，0>a ,2=∴a ，又222=-b a ，得22=b .∴
椭圆C 的方程为12
42
2=+y x . (2)直线2BF 的方程为2-=x y . 由 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=,124,
222y x x y 得点N 的纵坐标为32. 又
2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯=
∴∆BN F S . 20.(1)x
e ax x x
f x )2()(,02
-=>时,
x x x e a x a x e ax x e a x x f ]2)1(2[)2()22()('22--+=-+-=∴,由已知，
'(1)0,f =[12(1)2]0,12220,a a e a a ∴+--=∴+--=3
4
a ∴=
. (2)由
(1)2
3
0,()(),2
x x f x x x e >=-
时2331
'()(2)()(1)(23)222
x x x f x x e x x e x x e ∴=-+-=-+.
令3
'()01()f x x x ===-
得舍去,当0>x 时: x
(0,1)
1 (1,)+∞
)('x f
+
)(x f
极小值1
2
e -
所以，要使方程0)(=-m x f 有两不相等的实数根，即函数)(x f y =的图象与直线
m y =有两个不同的交点, m=0或1
2
m e =-.
21.(1)由题意得△0121=--=+n n a a ，即121+=+n n a a ,进而可得52=a ,113=a . (2)由于121+=+n n a a ，所以)1(211+=++n n a a ，因为0311≠=+a ，所以数列}1{+n a 是以311=+a 为首项，公比为2的等比数列，知数列}11{+n a 是以31为首项，公比为2
1的等比数列，于是
n a a a a ++++++++11111111321 )2
1
21211(3112-++++=n
3
2])21(1[322
11)21(131<-=--⋅
=n n ,所以3211111111321<++++++++n a a a a .
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。