第二讲函数的图像与奇偶性(学生用)

第二讲 函数（二）

一、函数的图象

1，图象的变换

（1）平移变换（2）对称变换（3）伸缩变换 例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数x

y -=3

的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；

（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；

（3）将函数3

)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 例2.已知函数,1

-=

x x

y 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数x

y 1

=

重合. 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对

称，则D 对应的函数是

（ ）

A ．)2(--=x f y

B ．)2(-=x f y

C ．)2(+-=x f y

D ．)2(+=x f y

例4．已知f(x+199)=4x 2

＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

2.利用图象解决函数问题

熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能。 例5.（1）已知0

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．1个或2个或3个 （2）．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞) （3）已知,1

3

2)(-+=

x x x f 函数)(x g y =的图象与函数与)1(1

+=-x f

y 的图象关于直线x y =对称，则)11(g 等于

（ ）

A ．

23 B ．25 C ．27 D ．8

21 例6．设函数)),0()0,((1

)(+∞⋃-∞∈+=x x

x x f 的图象为1C ，1C 关于点A （2，1）的对称的图象为

2C ，2C 对应的函数为)(x g ，

（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式，并确定其定义域；

（Ⅱ）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标.

二、函数的奇偶性

定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；若都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数.

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 例7.讨论下述函数的奇偶性：

);

111(1)()3(;

)

0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;2

2

116)()1(222+-+-=⎪

⎩⎪

⎨⎧<-+-=>++=++=

x x og x f x x x n x x x x n x f x f x

x

x

例8.(1)下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 （2）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x )3

1

()x (f =，那么)9(f 1--的值为（ ）

A ．2

B ．-2

C ．3

D ．-3

（3）设ax )110lg()x (f x

++=是偶函数，x

x 2b

4)x (g -=是奇函数，那么a+b 的值为（ ）

A ．1

B ．-1

C ．21-

D ．2

1 例9.已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式.

例10.设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)

+a +1), 求实数a 的取值范围.

函数（二）强化训练

一、选择题

1．函数)32(-x f 的图象，可由

)

32(+x f 的图象经过下述变换得到 （ ）

A ．向左平移6个单位

B ．向右平移6个单位

C ．向左平移3个单位

D ．向右平移3个单位

2．设函数)(x f y =与函数)(x g y =的图 象如右图所示，则函数)()(x g x f y ⋅= 的图象可能是下面的（ ）

3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A ．)1()43(2+-≥-a a f f

B ．)1()4

3(2

+-≤-a a f f

C ．)1()4

3(2

+-=-a a f f

D ．以上关系均不确定

4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),2

1

(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是

（ ）

A ．a >b>c

B ．a > c > b

C ．b>a > c

D ．c> a >b

5．下列4个函数中：①y=3x －1 ②);10(11log ≠>+-=a a x

x

y a 且 ③123++=x x x y

④).10)(2

1

11(≠>+-=-a a a

x y x 且则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是 （ ）

A ．①

B ．②③

C ．①③

D ．①④

6．如果函数f(x)＝x 2

＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）

A. f(2)

B. f(1)

C. f(2)

D. f(4)

7．设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)的值为 。

8．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+

g(x )=

x

-11

，则f (x )= ，g(x )= 。 9．已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域[-π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式

0)

x (g )

x (f <的解集是________________。 10.若方程m x x 12+=-无实数解，则实数m 的取值范围是_________。 三、解答题：

11.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,求a 的取值范围。

12．已知∈++=

c b a c

bx ax x f ,,(1

)(2Z ）是奇函数，又f (1)=2，f (2)<3, 求a ,b ,c 的值.