1简谐振动的动力学特征及运动学

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第4章 机械振动 目录 4-1 简谐振动的动力学特征 4-2 简谐振动的运动学 4-3 简谐振动的能量 4-4 简谐振动的合成 4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
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§4-1 简谐振动的动力学特征
振动是一种普遍的运动形式
心跳 自然界的振动
机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动. 广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随
§4-2 简谐振动的运动学
简谐运动中， x和 v
间存在一一对应的关系.
x A cos(t 0 )
v A sin(t 0 )
x
A
o
A
v x t 图
v
T
v T
t
2
位相和初位相 t 0
1） t 0 (x, v) 存在一一对应的关系;
2）位相在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；

π) 2
a A 2 cos(t 0 )
29
§4-2 简谐振动的运动学
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x A
0
x
x

A cos(t
0 )
0

π 4
A
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
•0<<
2 超前于1 或 1滞后于2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
•谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x

Acos( t
A sin(
0 )
t 0)

m
cos(
t

0


2
)
a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 ) 24
x＝Acos(t＋0)
运动学方程 x 可作广义理解:
位移、电流、场强、温度…
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§4-1 简谐振动的动力学特征
一 弹簧振子模型
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
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§4-1 简谐振动的动力学特征

Fm
ox
x
• 平衡位置为坐标原点 • 弹性恢复力(线性回复力)
F= -kx
m
d2x dt 2

kx
2 2
T
A
xo 2

o2 2
2
cos 2
2
sin 2
2
3
4
得x 2cos( 2t 3 )m
4 32
x 端点在
轴上的投
影点的运
Hale Waihona Puke Baidu动为简谐
运动.
§4-2 简谐振动的运动学
x A cos(t 0 )
28
§4-2 简谐振动的运动学
t 0
y vm
an
t
0
A

π 2

0 a v
x
vm A an A 2
x Acos(t 0 )
v

A
cos(t
0

x0

A cos 0
0

A s in 0
tan 0


0 x0
23
(3)位相差
§4-2 简谐振动的运动学
两振动位相之差
＝2－ 1
•当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
•当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
A
l
m
o
5
21
§4-2 简谐振动的运动学
解 5 时 ,sin
M mglsin mgl
mgl J d2
dt 2
d2 g
dt 2 l
令2 g
l
d 2
dt 2
2
m cos(t )
T 2π l g
时间作周期性变化. 振动分类
振动
受迫振动 自由振动
共振 阻 尼 自由 振 动 无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由谐振动 (简谐振动)
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§4-1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:
一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移
x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)规律变化的振动
x0 x
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
26
§4-2 简谐振动的运动学
2π
T
t t 时
o
A

t 0
x x0 x
x A cos(t 0 )
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
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旋转 矢量 A的
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初位相 0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 0 取 [ π π] 或 [0 2 π] ) 25
§4-2 简谐振动的运动学
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π
T

当 t 0时
A
0
o
x0 Acos0
2
周期 T 2π

频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
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§4-2 简谐振动的运动学
固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率 固有圆频率 固有周期
弹簧振子 k
m
T 2 m
k
单摆
g
l
T 2 l
g
复摆
mgh T 2 I
I
m gh
0

x Acos(t 0 )
Q
cos(t
0 )

sin(t
0


) 2
令
'

0


2
x Asin(t ' )
简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.
§4-2 简谐振动的运动学
二 描述简谐振动的三个重要参量 x Acos(t 0 )
1、振幅 A A xmax
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关 20
§4-2 简谐振动的运动学
例 如图所示系统（细线的质 量和伸长可忽略不计），细线 静止地处于铅直位置，重物位 于O 点时为平衡位置.
若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动．这一振 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期．
3! 5!
线性恢复力矩 M mgl
M I I m l2
ml
2

d 2
dt 2
mgl
2 g
l
动力学方程
d 2
dt 2
2

0
11
2.复 摆
M mghsin
M mgh
I
d 2
dt 2
mgh
令2 mgh
I
d 2
dt 2
30
§4-2 简谐振动的运动学
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间） 31
§4-2 简谐振动的运动学
例题 质点沿x轴作谐振动, 周期T=s, t=0时，
xo 2m ,o 2 2m / s,求振动方程。
解： x =Acos( t+ )
由初始条件决定
x0 Acos0
t=0
v0 Asin0
A
x02

v02
2
对给定振动系统，振幅和初相由初始条件决定.
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§4-2 简谐振动的运动学
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求 0
0 A cos0
0


π 2
Q v0 A sin 0 0
主讲教师：崔海瑛
Email:hyingcui@163.com
1
学习成绩
• 平时成绩（30％）+期末（70%） • 期末考试：闭卷 • 平时成绩:作业+课堂表现+出勤率
2
学习要求
1. 尽量做到课前预习要讲的内容，提高听课效率。 2. 上课认真听课做笔记。对于不清楚的地方大胆
提问。
3. 独立完成作业。目前我校图书馆有各种大学物 理书，可以根据实际情况借阅。如果自己有电 脑，可以通过我校图书馆下载有关大学物理的 电子图书。
2

0
o
h c
F
任何一个物理量的变化规律凡满足上式，且常量ω 决定于系统本身的性质，则该物理量作简谐振动.
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§4-1 简谐振动的动力学特征
➢ 简谐振动的判断（满足其中一条即可）
1）物体受力特征（线性回复力）
F kx
2）动力学方程
d2x dt 2


2x
3）简谐振动的运动学描述 x Acos(t )
4. 注意:学习大学物理课程更重要的是对物理概念 的掌握与理解，学习处理问题的思想与方法， 仅盲目的做题目或者阅读现成的答案，很难达 到理想的结果 )
3
大学物理教程
推荐参考书：
1.《大学物理学》 赵近芳主编 北京邮电大学出版社 2.《大学物理教程》 吴锡珑主编 高教出版社 3.《物理学》第四版 习题分析与解答 马文蔚主编 高教出版社 4.《大学物理学学习指导》 赵近芳主编 北京邮电大学出版社
令 2 k
m
• 动力学方程
d2 dt
x
2


2
x

0
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§4-1 简谐振动的动力学特征
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
转动
A
正向
l

FT m
o
P
J ml2
22
§4-2 简谐振动的运动学 3. 位相和初位相
x Acos(t 0 ) Asin(t 0 )
(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的的 物理量
=t+ 0
叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量 (2)初位相: t=0时的位相0
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
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§4-1 简谐振动的动力学特征
二 微振动的简谐近似
1. 单摆 平衡位置为坐标原点(θ≤5°)
力矩 M mglsin
泰勒级数展开
sin 1 3 1 5
sin 0 0 取
0

π 2
x Acos(t π)
A
o
A
x
2
v
x
o
Tt
T 2
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§4-2 简谐振动的运动学
2、周期、频率、圆频率
x xt图
x Acos(t 0 )
A
Acos[(t T ) 0 ] o
Tt
T
Acos(t 0 2 ) A

l)

mg
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§4-1 简谐振动的动力学特征
式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg＝kl，
所以上式为
m
d2x dt 2

kx
即为
d2 dt
x
2


2
x

0
式中 2 k . 于是该系统作简谐振动.
m
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§4-2 简谐振动的运动学
一 简谐振动的运动学方程
微分方程
d2 dt
x
2


2
x

（在无外驱动力的情况下）
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§4-1 简谐振动的动力学特征
例4.1 一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空 气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动.
证 如图所示，以平衡 位置A为原点，向下为x 轴正向，设某一瞬时振 子的坐标为x，则物体 在振动过程中的运动方 程为
m
d2x dt 2

k(x