定积分的概念解析

y y f (x)
设 f (x) 0, f (x) C([a,b]) .
O a x1
xi1 xi
b
x
第一步：分划 任意引入分点 称为区间的一个分法 T
a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b , 将[a, b]分 成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2,,n).
任意引入分点
a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b , 将区间 [a, b] 分 成 n 个小区间 [xi1, xi ] (i 1,2,,n).
用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度. i [xi1, xi ],
n
若
lim
||x|| 0
i1
f
(i )xi
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x lim ||x||0 i1
f (i )xi .
b —定积分号；a —积分下限；b —积分上限； a
f (x)d x — 被积表达式； f (x) — 被积函数；
d x中的 x —积分变量； [a,b]—积分区间. ( 积分变量的取值范围)
关于定积分定义的几点说明
存在, 且该极限值与对区间[a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 f (x) R( [a, b] ), 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定
积分值:
b
n
a
f
(x)d x
lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
第三步：求和
n
n
曲边梯形面积 : S Si f (i )xi .
i 1
i 1
S 与分法 T 及点i 的选择有关.
y y f (x)
O a x1
xi1 xi
b
x
第四步：取极限 令 || x || m1iaxn {xi}, 则
n
曲边梯形面积 :
S
lim
0
i1
f
(i )xi
.
极限存在与否，与分法T 及点i 的选择无关.
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念和性质
请点击
一. 曲边梯形的面积 二. 定积分的定义 三. 定积分的性质
一. 曲边梯形的面积
在我国古代南北朝（公元 429 — 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了π 近似值.
A3 d f (x)d x.
由极限保号性：
c
d
a f (x)d x 0, c f (x)d x 0,
b
d f (x)d x 0.

定积分的几何意义
y y f (x)
A1 a c A2 O d
A3 bx
b
f (x)d x
等于曲线 y
(1) 定积分 b f (x)d x 是一个极限值(具体的数), a 它与分法 T 及点i 的选择无关, 只与f (x) 及 区间[a, b] 有关.
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t)dt .
a
a
a
(3) || x || 0时, 分点个数 n , 但是, 当分点 个数 n 时, 却不一定有|| x || 0.
在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采 用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三 角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得 到任意多边形的面积。
阿基米德运用这种方法，求得抛物线 y x2 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.
就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将 它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出 各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面 积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.
如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
1. 曲边梯形
曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.
2. 求曲边梯形的面积
首先，我们重复阿基米德的做法： 分划—代替—求和
得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.
(4) 若将非均匀变化的事物看成是均匀变化时, 可以表示为两个变量的乘积形式, 则该非均 匀变化问题可以用定积分方法处理： 分划— 代替 —求和— 取极限
定积分的几何意义
y y f (x)
A1 面积： a c A2 O d
A3 bx
c
A1
f (x)d x,
a
d
A2
f (x)d x ,
c
b
用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度.
第二步：代替
i [xi1, xi ], 则
小曲边梯形面积: Si f (i )xi . Si 与i 的选择有关.
xi1
• i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y y f (x)
如何求精确值？ 极限过程是什么？
O a x1
xi1 xi
b
x
该过程告诉了我们求复杂平面图形面积的方法， 同时，也告知了平面图形面积的定义.
解决曲边梯形面积的思想方法是： 分划—代替 —求和— 取极限.
通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即 这种极限值，称为函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分.
二. 定积分的定义
设函数 f (x) 在[a,b] 上有定义, 且有界.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十二讲 定积分的概念
第五章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。