天然气产量的预测

1、 天然气产量的预测

工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然

气开采后的第t 个月的月产量的函数给出： k ke t P 02.00849.0)(-=(百万立方米), 试估计前24个月的总产量。

提示：前24个月的总产量为∑=-=24

1

02.00849.0k k

ke

P ，因为计算这个和式比较难，应用

定积分来估计它。

令

k

te

t f 02.00849.0)(-=,

24

0≤≤t ,则

∑==24

1

)

(k k f P ，且

k te t f 02.00849.0)('-=0)02.01(≥-t ，

从而)(t f 为递增函数。答案： 4878.18≈P (百万立方米) 2、终身供应润滑油所需的数量

某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：

2

3300)(t

t r =

其中t 表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？ 提示: )(t r 是该批分级一年后的用油率，所以⎰

x

dt t r 1

)(等于第一年到第n 年间该批飞

机所需的润滑油的数量，那么⎰

∞

1

)(dt t r 就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。 答案：

600(L)

3、地球环带的面积

地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是hd S π=,这里h 是构成环带的两条纬线间的距离，d 是地球直径（约13000公里）。

4、高尔夫球座的体积

一个木制高尔夫球座大体上具有以)(x f 与)(x g 的图象为边界的区域绕Ox 轴旋转一周形成的立体。这里

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=529,292

90,0)(x x x x g ，⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧

≤<≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤<≤≤=529,212927,271412721,412

10,21)(2

x x x x x x x f 问这个高尔夫球座的体积是多少？ 答案：

)(480

191

3cm π 5、转售机器的最佳时间

由于折旧等原因，某机器转售价格)(t R 是时间t (周)的减函数96

43)(t

e A t R -=，

其中A 是机器的最初价格。在任何时间 t ，机器开动就能产生484

t

e A P -

=的利润。问机器使

用了多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？

提示：假设机器使用了x 周后出售，此时的售价是96

4

3)(t

e A t R -=，在这段时间内机

器创造的利润是

⎰

-x

t dt e A 0

484 。于是，问题就成了求总收入+

=-96

4

3)(t

e A x

f ⎰

-x

t

dt e A 0

48

4

，),0(+∞∈x 的最大值。

答案：总利润A P 01.11=, 机器卖了

128

3A

元。 6、人口统计模型

人口统计模型（1）： 某城市1990年的人口密度近似为

204

)(2+=r r P ，)(r P 表

示距市中心r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km 区域内的人口数。

人口统计模型（2）若人口密度近似为r e r P 2.02.1)(-=单位不变，试求距市中心2km 区域内的人口数。

答案：（1）291.2≈N (十万), （2）602.11≈N (十万) 6、心脏输出量的测定

小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟数输出的血量。使用的方法为“染色稀释法”：程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t 变化，从而可测得一个关于t 的函数)(t C (mg/L).设注射的染色的量为D ，试求小王的心脏输出量R (L/min).

提示：理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[]dt t t +,内通过取样点的染色量等于浓度dt R t C **)(。因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：

⎰⎰==0

00

)()(T T dt t C R Rdt t C D

其中0T 是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：

⎰

=

)(T dt

t C D

R

7、呼出或吸入空气的速率

当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率)(t V (升/秒)可用一个正弦曲线来描述：

)2sin(

)(t T

A t V π

=,其中时间t(单位为秒)从某次吸气开始计算起，A 是最大的气流速率，T 为一次呼吸所需得的时间。当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：反之，你正在呼气。在你呼气的某时间段[]21,t t 上，曲线y=V(t) 与t=1t ,t=2t 及t 轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。

提示：每次吸气所有时间为

2T ,由V(t)的周期性，只需考虑[0, 2

T

] 时间段上吸入的空