拉格朗日乘数法的原理说明

拉格朗日乘数法相关理论

--------陈小胖整理于20190413中午

问题：设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 .

分析：当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =。（注意到此时(,)()(,)

x y x y g x x y φφ'=-）。于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极值点（同时也必然是驻点） , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 )

,(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0)

,(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, 简写成 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .

可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)平行, 即存在实数λ,

使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y y

x x f f λϕλϕ 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的可能的条件极值点应是

方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.

0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.

引进所谓Lagrange 函数：

),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )

则上述方程组即为方程组

⎪⎩⎪⎨⎧===.

0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 此时该方程的解即为约束条件0),(=y x ϕ之下，

函数=z ),(y x f 的可能的极值点。【为什么有可能二字呢，因为归根到底，我们求的还是驻点，而驻点未必是极值点，不过往往在实际问题中，由于最值存在性容易判定，故如果所求驻点唯一，即为所求极值点或者最值点。】