九年级数学上册专题突破讲练剖析与圆有关的计算试题新版青岛版

剖析与圆有关的计算

圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：

1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；

2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；

注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。

3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因此要善于发现和构造相似三角形。

常见的相似三角形模型有：

例题（南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG，

（1）求证：直线EP为⊙O的切线；

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO。试证明BG＝PG；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝

3

3

。求弦CD的长。

解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。

（2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。

（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝3

，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，

再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。

解答：（1）证明：连结OP，

∵EP＝EG，

∴∠EPG＝∠EGP，

又∵∠EGP＝∠BGF，

∴∠EPG＝∠BGF，

∵OP＝OB，

∴∠OPB＝∠OBP，

∵CD⊥AB，

∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，

∴∠EPG＋∠OPB＝90°，

∴直线EP为⊙O的切线；

（2）证明：如图，连结OG，OP，

∵BG2＝BF•BO，

∴BG BF BO BG

，

∴△BFG∽△BGO，

∴∠BGO＝∠BFG＝90°，

由垂线定理知：BG ＝PG ；

（3）解：如图，连结AC 、BC 、OG 、OP ，

∵sinB

∴3

OG OB =， ∵OB ＝r ＝3，

∴OG

由（2）得∠EPG ＋∠OPB ＝90°， ∠B ＋∠BGF ＝∠OGF ＋∠BGF ＝90°， ∴∠B ＝∠OGF ，

∴sin ∠OGF ＝OF

OG ∴OF ＝1，

∴BF ＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4， 在Rt △BCA 中，

CF 2＝BF •FA ，

∴CF =

∴CD ＝2CF ＝

点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。

【解题技巧】

1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。

2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。

3. 善于利用相似三角形对应边成比例解决问题。

例题 （北京）如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。

（1）求证：∠EPD ＝∠EDO ； （2）若PC ＝6，tan ∠PDA ＝

4

3

，求OE 的长。

解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD＝∠EDO；

（2）连接OC，利用

3

4

tan PDA

∠=，可求出CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似

三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。

答案：（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C ∴PA＝PC，∠APO＝∠EPD

∵AB是⊙O的直径

∴PA⊥AB

∵DE⊥PO

∴∠A＝∠E＝90°

∵∠POA＝∠DOE

∴∠APO＝∠EDO

∴∠EPO＝∠EDO

（2）解：连结OC，则OC⊥PD

在Rt△PAD中，∠A＝90°，PA＝PC＝6，tan∠PDA＝3 4

可得AD＝8，PD＝10 ∴CD＝4

在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，CD＝4，tan∠ODC＝3 4

可得OC＝3，OD＝5

在Rt△PCO中，由勾股定理得

PO＝

可证Rt△DEO∽Rt△PCO

∴OE OD

OC OP

=，即

3

OE

=

∴OE

点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（－4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（－2，0）。点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q。当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）

A. 1

2

B.

1

3

C.

1

4

D.

2

3

2. （梧州一模）如图，过等腰△ABC三边的中点D、F、G作⊙O，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若∠B＝72°，则∠BDH＝（）

A. 32°

B. 34°

C. 36°

D. 72°

3. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN。△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，

则PN

QN

＝（）