高中数学联赛几何定理.

高中数学联赛几何定理
梅涅劳斯定理
一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 则
1BD
CD EC AE FA BF =••。

逆定理：一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 若1BD CD EC AE FA BF =••，则D,E,F 三点共线。

塞瓦定理
在△ABC 内任取一点O,直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 AF CE BD ••=1。

托勒密定理
ABCD 为任意一个圆内接四边形，则B D AC B C AD CD AB •=•+•。

逆定理：若四边形ABCD 满足B D AC B C AD CD AB •=•+•，则A 、B 、C 、D 四点共圆
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）。

西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H 。

西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟P 的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

斯特瓦尔特定理
设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2
·BC ＝BC ·DC ·BD 。

三角形旁心
1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。

通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

几何不等式
1托勒密不等式:任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。

则x+y+z≥2(p+q+r)
3外森比克不等式:设△ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c2≥4S3
4欧拉不等式:设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC 为正三角形时取等号。

圆幂
假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；
根轴
1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。

相关定理
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；。