西南大学《数理统计》作业及答案

F 列正确的是( )
(A) X ~ N(4®2
) (B) ∏X ~ N(* )
(C)
W(X i 」)2 〜2
(n)
(D)竺 )〜t(n)
σ2
G
S
7、设总体X 服从两点分布B (i, P),其中P 是未知参数，X i ,…,X 5是来自总体的简单随 机样本，则下列随机变量不是统计量为(
)
(A ) . X i X 2
( B ) maχfχi ,仁i 岂51
数理统计第一次
1设总体X 服从正态分布N(J,；
「2),其中J
已知，；「2
未知, X 1,X 2,…,X n 为其样本, n _ 2,则下列说法中正确的是( )。

(A ) ∙ (X j -■•二)2 是统计量 n i 1 (B)=J Xj2是统计量 n i =I
2、设两独立随机变量 X ~ N(O,i), Y~ 2(9),则 3X
服从( JY
)0
(A) N(0,i) (B)t(3) (C)t(9) (D) F(i,9) 3、设两独立随机变量 X 〜N(O,i),
2
4X Y~ 2(i6),则-服从
( )0 (A)N(O,i) (B)t ⑷
(C)t(i6)
(D) F(i,4)
(C)=J (X i 一)2是统计量
n —1 y (D ) X i 2是统计量 n i =I
4、设X i ,…，X n 是来自总体X 的样本，且EX 二，则下列是」的无偏估计的是(
)
I n-I
i n
i n
(A) X i (B) 一 X i (C)-^ X i
n — 1 i =
I n —1iτ
n^
(D)-X
X i
n
5、设X i ,X 2,X 3,X 4是总体N(0M 2
)的样本,
2
-未知，则下列随机变量是统计量的是
( ). (A) X 3/二；
(B )
4
(Di Xi 2 / ~2
i T
2
6、设总体
X ~ Ne I ^ ) , X i ,L ,X n 为样本,
X,S 分别为样本均值和标准差，则
1、( D )；
2、
(C) ； 3、(C) ; 4、(A) ；
5、( B )；
6、
(C) ； 7、( C )；
第二次
1、设总体X~N(*二
2
)，X 1, ,X n 为样本，X,S 分别为样本均值和标准差
)分布•
3、在假设检验中，下列说法正确的是(
如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误; 第一类错误和第二类错误同时都要犯；
如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

2
X~N(∙if )的均值，和作区间估计，得到置信度为 95%的
置信区
(B)平均含样本95%的值 (D)有95%的机
会的机会含 J
的值 E 勺=二，
贝y 孑是二
(C) X 5 2p
2
(D )
X 5 -X 1
8、设X 1,…,X n 为来自正态总体 计量为(
)。

2 2 2
NCIf )的一个样本，」，匚未知。

则二的最大似然估
(A ) 1
- (X i 」)2
(B )丄「
n i 4
n i 丄
X i∕( C )丄"厅(D )
n — 1 iu
丄E (Xi-X)2
n -1 iu
8 (B )。

(A) N(怙2)
(B)N
_ 2
L )
(C) t( n)
n
(D) t(n-1)
2、设…,X n 为来自正态总体 的区间估计的枢轴量为(
n
2
∑ (X ^i )
iz!
(A) ------------ 2 ----------
σ
2 2
二未知。

则二的置信度为
V
X i-I
(B)I
(C)
1 n
—I X^-X
Cr
n
V
X-X
(D) 4
2 ----------
σo
(A) (B) (C) (D) 4、 对总体 间，意义是指这个区间( (A)平均含总体95%的值 (C)有95%的机会含样本的值
5、 设7
?是未知参数二的一个估计量，若
(A)极大似然估计
(B)有偏估计
的()。

(D)矩法估计
X 的样本，则下列结论中
是」的极大似然估计量• 不是丄的估计量•
(C)相合估计 6、设总体X的数学期望为＜X1,X2J∣∣,X n为来自
正确的是().
(A) X1是∙1的无偏估计量. (B) X1
(C) X1是」的相合(一致)估计量.(D) X1
7、设总体X~N()f2),匚2未知，X1,X2,∣∣∣,X n为样本，S2为修正样本方差，则检验
冋题：H o :% , H i :% C-0已知)的检验统计量为( ).
、、n_1 X—* n_1 X — % 、n X」。

.n X-S
(A) —( B) — ( C) — ( D) -.
Sb CrS
1、(D) ； 2 (C) ；3、(A) ；4、(D) ； 5、(B) ；6、( A); 7、( D).
第三次
1、设总体X服从参数为■的泊松分布PC)，X1, X2 ,…,X n是来自总体X的简单随机
样本，则DX=___________ •
2、设X1,X2,X3为来自正态总体X~N(J O2)的样本，若aX1 bX2 cX3为)的一个
无偏估计，则a +b + c = ________ 。

3、设X ~ NCV"2),而1.70, 1.75 , 1.70, 1.65, 1.75是从总体X中抽取的样本，则J的
矩估计值为 ________ 。

4、设总体X服从正态分布N(∙lQ2) , J未知。

X1, X2,…，X n为来自总体的样本，贝U
对假设H。

：二2; H1：二2H^;进行假设检验时，通常采用的统计量是
____________ ,它服从______________ 分布，自由度为_______________ 。

—I10
5、设总体X ~ N(1,4) , X1, X2JH, X10为来自该总体的样本，X X i,则
10 7
D(X) - _____ .
6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是______________________________ •
7、已知F°.9(8,20) =2 ,贝卩F0.1 (20,8 _________________ •
8、设X ~U[a,1], X1,…,X n是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为___________________ •
9、检验问题：H o：FX=FX O , H o：FX=FX O ( F°x含有I个未知参数)的皮
尔逊2检验拒绝域为___________________________
10、设X1,X2, N为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本，设
^(X√X2 X3)2 (X4 X5 X6)2
若使随机变量CY服从2分布，则常数C= _________________•
11、设由来自总体 N(∙i, 0.92
)的容量为9的简单随机样本其样本均值为 M = 5 ,则的置
信度为0.95的置信区间是 ____________ ( μO 975 =1.96)
Y = X0 +E
( 2 ，
E ； =0,COV ；, = I n
r
口 一 n? 2
7、1/2； 8、2X -1； 9、
-
—
1
2-. n-1-1 ; 10、1/3; 11、(4.412,
5.588)；
严
n
?
12、？=XX J
XY 。

.
第四次
1、设总体X 服从两点分布B( 1, P),其中P 是未知参数，X 1,L ,X 5是来自总体的简单随 机样本。

指出X 1 ∙ X 2, max ：X i ,1乞i 乞5』，X 5 ∙ 2p, X 5「X 1之中哪些是统计量， 哪些不 是统计量，为什么？
2、 设总体X 服从参数为(N ，P)的二项分布，其中(N ，P)为未知参数，X 1,X 2,L ,X n 为来自总体X 的一个样本，求(N ，P)的矩法估计。

2
2
I n _ 2
3、 设X 1,X 2,L ,X n 是取自正态总体N [∙L ,■]的一个样本，试问S
X i-X
n —1 iτ
是二2
的相合估计吗？
∖
X 2
I Xe 网 x A 0
4、 设连续型总体X 的概率密度为p (x,B)=%
,
(B A 0), X 1,X 2,L ,X n 来自总
Q X"
体X 的一个样本，求未知参数 二的极大似然估计量 习，并讨论的无偏性。

5、 随机地从一批钉子中抽取 16枚，测得其长度(以厘米计)为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布。

若已知σ =0. 01 (厘米)，试求总体均值 卩的0.9的置信区间。

(u 0.95 =1.65)
6、甲、乙两台机床分别加工某种轴， 轴的直径分别服从正态分布 N j
1^12与N J
2Λ 22
，
12、若线性模型为
则最小二乘估计量为
1、 ■ / n ，
2、1，
3、1.71，
4、 (n -1)S 2
2
，n-1,5、2/5，6、独立性，代表性;
2
为比较两台机床的加工精度有无显著差异。

从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，
2
试问在 α =0.05水平上可否认为两台机床加工精度一致？
(has (
6
,7 )=5.i2
,F 0.975 (7,6 ) = 5
∙70.)
7、为了检验某药物是否会改变人的血压， 挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压， 如
F 表所列:
取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出
该药物会改变血压的结论?
是未知参数。

2 a - IiI JI -
2、解：因为 EX=NP, EX =DX EX =NPI - P NP ,只需以
V 2 (S 2
别代EX ,EX 2
解方程组得N?
J,∣y = 1-2。

X —S n X
从而根据车贝晓夫不等式有
、.DS 2
2“
2 2
E （n_1 戶
的相合估计。

1、解：X i X 2,maχ1X i ,1G 乞5?, X 5
2
-X i 都是统计量，X 5 2p 不是统计量，因
X±n X i 2
n i T
2
3、解：由于
（n _12
）S
服从自由度为
n-1的2-分布，故
ES 2 K 2, DS 2
；「
2；二4
廿小1—，
0 汗 S 2 _二2
X i
4解:似然函数为
因此二的极大似然估计量 ？是d 的无偏估计量。

2 2
1
5、解：匚-0.012
,X
2.14 2.10 L 2.11 =2.125 ,置信度 0.9,即 α =0.1 ,查
16
正态分布数值表，知
①（1.65） =①（u 1七2 ） = 0.95,即P （U ≤1.65） = 1-a
=0.90 ,从
信区间为
X =U 1",X =u 1=∕2 -〔2.125-0∙004,2∙125 0.004 - ∣2∙121,2∙1291∙ _ 、n n
6、 解：首先建立假设：
H 。

：二12 =爲,已：二12
在 n=8， m=7, α =0.05时,
1
1
F 0.025 7,6
0.195,F °.975 7,6 = 5.70.
F 0.975 6,7 5.12
故拒绝域为 T ：0.195,or F 5.70 ,现由样本求得 £=0.2164 , S ； =0.2729 ,从而 F=0.793， 未落入拒绝域，因而在 α =0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。

7、 、解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则
X 服从N （巴^2
），其中k σ2
均未知，这 些
资料中可以得出 X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2 待检验的假设为
H 0」=0,H 1 ：0
这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用
n -1时，接受原假设，反之，拒绝原假设。

依次计算有
1 2 1 2 2
2
X i X
丨丨X i
,亍..丄
J 2
丄亠—
e 2= ,In L J - -n In J In i ] X
i =I P 2
X i
i 4
2θ
d In L 二 dr
n
Σ i 丄
2
2 X
i
2
n
Σ 得
i -
2n
X i 2
.由于
n
Σ
E T ? =鼻
2n
EX i 2 2 X 2
X 2 「X 2 严".0”
2
I 2",
而
u
1 _ /
2 =Z u 0.95
=Z 1
∙65，
σ
—U 1 - /2
n
= °.°l
1.65=0.004，
16
所以总体均值
J
的0.9的置
t 检验法当
X =-(6+8+L +7+2 ) = 3.1,s =---------- ((6—3.1 ) +L +(2 — 3.1 ) ) = 17.6556，
10 10-1
3.1—0
t =』=2.3228，
17.6556/10
由于ti"（n- I）= t0.975（9 ）=2.2622 , T 的观察值的绝对值t = 2.3228 a 2.2622.所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
求样本容量n,样本均值和样本方差。

L 2
2、设X1,L ,X7为总体X服从N O , 0. 2的一个样本，求X i2 4
I i V
（爲5 7 =16.0128）
3、设总体X具有分布律
X123
(1 - θ) 2
P kθ 2 θ1 —
θ)
其中θ0< θ<1）为未知参数。

已知取得了样本值 x1=1，χ2=2，x3=1 ,试求θ的最大似然估计值。

4、求均匀分布Up1√^2]中参数円门2的极大似然估计.
5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为X A =81.31 ,方差为SA = 60.76；随机地抽取学校 B的15个学生，得分数的
平均值为X B = 78.61 ,方差为S B =48.24。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未
知，两样本独立。

求均值差叫-μB的置信水平为0.95的置信区间。

（t0.975（ 22 ）= 7.266）6、设A , B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修正方差分别为s A =0.5419,s B =0.6065 ,设▽ A和坊B分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比的0. 95的置信区间。

7、某种标准类型电池的容量（以安 -时计）的标准差匚=1.66 ,随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146, 141, 135, 142, 140, 143, 138, 137, 142, 136
设样本来自正态总体N（∙if2）, J,二2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取
G =0.05）： H 0 ：b 2 =1.662, H 1[b 2H1.662。

8、 某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
试在α =0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。

V 0.95（3）=7.815）
第五次1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
求样本容量n,样本均值和样本方差。

（7
2
2、 设X 1,L ,X 7为总体X 服从N O , 0. 2的一个样本，求X i 2
4
（爲5 7 =16.0128） 3、 设总体X 具有分布律
X
1
2
3 P k
θ 2 θ1 — θ) 2
(1 —
θ
其中θ0< θ<1）为未知参数。

已知取得了样本值 x 1=1，χ2=2，X 3=1 ,试求θ的最大似然估计值。

4、 求均匀分布Up 1√^2］中参数円门2的极大似然估计.
5、 为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校
A 的9个学生，得分数 的
平均值为X A =81.31 ,方差为S A= 60.76 ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的 平均值为X B =78.61 ,方差为S B =48.24。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未 知，两样本独立。

求均值差
叫- μ
B 的置信水平为0.95的置信区间。

（t 0.975（ 22 ） = 7.266）
6、 设A , B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10次测定，其测量
值的修正方差分别为 s A =0.5419,s B =0.6065 ,设▽ A 和tτ
B 分别为所测量的数据总体（设
为正态总体）的方差，求方差比
二A /二B 的0. 95的置信区间。

7、 某种标准类型电池的容量（以安 -时计）的标准差=1.66 ,随机地取10只新类型的电 池测得它们的容量如下
146, 141, 135, 142, 140, 143, 138, 137, 142, 136
设样本来自正态总体NLf2）, J,二2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取
of =0.05）：H0：b2 =1.662, H1I<Γ2≠1.662。

8、某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
2 2
=θ 2θ(1 - θ) θ = 2θ5
(1 - θ)
Ih L( θ)=lh2+5lh θ+lh(1 — 求导 d I∏L(θ)
5
d θ
得到唯-解为吩
4、解：由X 服从［a ，b ］上的均匀分布，易知
1、解：样本容量为 n=100
样本均值，样本方差，样本修正方差分别为
- 1
X 2 20+3 30+L +6 15严3.85, 1
22 20+32 30+L +62 15 -3.852 =1.9275, 100 100 2 100
S ? 1.9275 =1.946969L . 99
2 S
h
2、
99
解：因每个X i 与总体X 有相同分布，故 X~5° =2X i 服从N 0,1 ,则
XT
0.5
2
7
= 4'∙ X i 2服从自由度n=7的2 -分布。

因为
i 4
P lf Xi 2 >4 1=P ∣4∑ Xi 2 =16 =1 — p!^ X^ ≤16 ,查表可知 1
2 0.975
7 =16.0128,
C 7 2
)
故 P lM X i 4 =0.025.
7
3、解：似然函数 3
L(θW..l P{X i
i
A
=xj =P{X 1 =1}P{X 2 =2}P{X 3 =1}
=0
2 2
,EX 2
=DX +(EX )=
2
bτ ■ 2
求a ， b 的矩法估计量只需解方程
X -旦 S ?
X 一
I S h
12
,得自=X - 3ShB = X
3s
试在α =0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。

(0.95
3
=7-815)
检验的临界值为 爲5 (9) = 19.022。

因为
2
=39.193 19.022 ,所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设
H 0,即认为电
池容量的标准差发生了显著的变化，不再为
1.66 o
8、解：这是列联表的独立性检验问题。

在本题中
r=2 , c=4 ,在α =0.05下，
益5 ((r T X C-1 ))=逬.95(3 )=7.815,因而拒绝域为： W =G 2
≥7.815}.为了计
算统计量(3.4),可列成如下表格计算
n . r.j ∕ n :
从而得
2 2
Z 2 _ (40-36.8) +(20-23.2)
36.8 23.2 由于2
=7.326<7.815 ,样本落入接受域，从而在 化程度无关。

5、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论,
的置信区间为
均值差^A -亠B 的置信水平为0∙95
--.:1 1
(X A-XB)H S W J ------- + --- 10.975 ( n <∣ + n
2 -2)
Y n I n 2
/
11
1>
75
(22)
=2.7 二 6.35 - -3.65, 9.05
6、解：n=m=10, 1- α =0.95 , α =0.05,
2.7±S w 4+11∙t 0∙975 (22)
V 9 15
2.7 ±7.266 汇」1 +丄 X 2.0739
\
9 15
丿
F
1 _/2
n- 1,m-1 =F 0.975 9,9 - 4.03, F -/2 ∖n - 1,m -1
0.2418,
Fg 2 ( m-1,n -1)
从而
TSA ____ 1 _______ SA 1 ］ _ ^0.5419 S B F I ^2 (n - 1,m -1 ), S B FM (n —1,m —1 ) —〔0.6065 4.03’ 0.6065 0.2418」 故
方差比∙σAMB 的0.95的置信区间为［0.222 , 3.601］。

7、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

检验统计量为
1
0.5419
1
-[0.222 3601]
代入本题中的具体数据得到
2
2
(n -1)S = 2 。

1.66
^(^^= 39.193 O
1.66
2
L 625 S =7.236, 644.4
α =0.05水平上可认为失业人员的性别与文
2√
0≤P
DS 2
侶—冲词
≤g -二任可F
，所以
1设X 1,X 2是取自正态总体 N ∙l,1的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是 μ的
2 1
3 III
无偏估计量：—Xi •— X2,— Xi •— X2,— Xi • — X2,并指出其中哪一个估计量更有效。

3 3
4 4 2 2
X 1+^X 2 )+∣=
-X τ‰ 丄 EW J÷ 丄剧KJ = M
故知ft ?t 必郡址H 的几偏怙计呈
D(A t )=D(IX i ^X
\ 3
3
O ½)=D ∣-^I +→
可见第三个估计量更有效。

2设X 1,X 2,L ,X n 是取自正态总体N （巴b
2
）的一个样本，试证S 2
= 丄 ∑ （X i —X ）2是
n —1 y
二2
的相合估计。

从而根据车贝晓夫不等式有
OS 7H D R
耐+扌兀卜
DX l t JOX 2 IO
"∣6^+ 19 ^lθ
（旷
1）炉
证明：由于
服从自由度为n-1的
-分布，故
E 护= c 2
,D 巒=
令
2(T 吕
WT)
相合估计。

3随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13
2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布，
试求总体均值」的0. 9的置信区间。

（1）若已知σ =0.01 （厘米），（2）若σ未知。

Cr J= 0.0I a J 二丄f214÷210+-..÷2 1Γ∣ = 2.125
解：(1 ) _[ ,置信度0.9 ,即α=0.1,查正
皿6年叽a）"95,即P側皿护M沙90,从而
态分布数值表，知
Cr
^ = 2_21xi.65= 0.004
I
" ∖f- ' ,所以总体均值d的0.9的置信区间
= [2.125-0.004,2.125+0.004] = [2.12X2,129]
为.
（2）σ未知
无二212牯二右(亿14-2 125)2+(2.10 - 2.125)*+…+(2.11-2125)。

= O
OOO29
J
置信度0.9，即α=0.1 ,自由度n-1=15 ,查t-分布的临界值表
^×1∙753=0∙≡
4一讷WlI) = A)时(15) = 1/753「丁纪M (科-1)=
所以置信度为0。

9的μ的置信区间是
C C
-T(皿一1)，灵+丁7 -1)
= [2.125-0.0075,2.125+0.0075]= [2.1175F 2.1325]
4某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进
行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6, 7.9 , 9.3, 10.7, 11.2, 11.4,
9.8, 9.5, 10.1, 8.5 （单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三
次氮肥，其收获量分别为12.6, 10.2, 11.7, 12.3, 11.1, 10.5, 10.6, 12.2。

假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平
均收获量施肥比不施肥增产的幅度。

答： 设正态总体 -；；分别表示施肥和不施肥的每 1/20亩的水稻收获量，据题意，有
1某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布
工后，随机抽查 10 箱，重量如下（单位：斤）：99.3, 98.9，100.5, 100.1，99.9, 99.7, 100.0， 100.2，99.5，100.9 ,问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与 100有显著差
异（给定水平α =0.05 ,并认为该日的 匚0仍为1.15）?
察值对方差已知的正态总体检验 j
√ il
-…，可采用U-检验法。

原假设
；：
I ,由所给样本观察值算得
-V ,于是
2设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为 500克，标准差不得超过 10克，
某天开工后从包装好的食盐中随机抽取 9袋，测得其净重如下（单位：克）497 , 507 , 510 ,
解:均值只未规检验仏心
Y=ILG 禺:云
M = &〒=11.4二 5.96; W = 10j γ = = 12,4
L Β (Λ+W -2) = 2,12 对1-α =0.95 ,即α =0.05 ,查t 分布表(自由度为 n+m-2=16)，得 七
于是
C8+10)(5.9⅛÷1Z4) Q 6
8x10x16
咒一J7T
nm + w-2)
=IH _97_2i2x
伤+呦归図+圈)
nm ∖n-∖-m- 2) = 11.4-9.7+2 12x ,(8+10)(5.96+12.4)
V 8×
10×16 =28 所以在置信概率 0。

95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产
0.6到2.8市斤。

2
N 100,1.15 ,某日开
答：以该日每箱重量作为总体 ',它服从
φl -!5a
)
问题就归结为根据所给的样本观
对于α =0.05 ,查标准正态分布表得 即可以认为该日每箱重量的数学期望与 认厂99.9-100而亡“
U = ------ ∖∣n = -------- X （Io= 7.27
% 115
u 口二 196 L
~2
,因为
U - QW d6 ,所以接受月O ， 100无显著差异，包装机工作正常。

475,484,488,524,491 , 515 .
问此时包装机工作是否正常
？ C = 0.01）
计算得 •
「-,在n=9, α =0.05时,
心⑵二15 707。

拒绝域（/ ≤心E - I ）M 於≥汇W - W
因此此时包装机工作是
正常的
1——
选取检验统计量:
n=5, m=4个试件，分析其含灰率为（％）
问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望 S,.,有无显著差异（显著水平
α
=0.05）？
答：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体 「和总体J ,问题归结为根据所给的样本观察
值对方差已知的两个正态总体检验 J
- , - IL ,可采用U-检验法。

U a -1.64
对于α =0.10,查标准正态分布表得 〔
，因为
即可以认为
有显著差异。

<
4两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布见下表） 比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（
α =0.05）？
答：已知 n=8，m=9， α =0.05，假设 HO & = E J α =0.05， α /2 =0.025，第一自由度 n-1=7,
第二自由度m-1=8 ,在二一成立的条件下选取统计量 服从自由度分别为 7，8的F
分布
X = 15.0↑t s^ 0.096J = 1499 卫;=0,026# £ =器-3.69
3由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从
N 叫,7.5 N ・26 .现从两矿各抽
原假设
由所给样本观察值算得
于是
无-戸 mis
WW 7?
= 2.39
M 二2一 39 >1.64 ,所以拒绝血，
,从中分别抽取8个和9个产品,
查表：J.'1 ■,因为F=3∙69<4∙53,所以接受假设,即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差相等。

总体N(∙L,∙T2),」,二2均未知。

试依据这一样本取显著性水平
H0 :」_8.42, H1 :「8.42。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题, 检验统计量为
乂-8.42
sΛ. n
8 3 _8 42
代入本题具体数据，得到t = 8.3 8.42二―14.4 O
0.025/J9
检验的临界值为—10.01 (8) = —2.8965 o
1 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量(单位：kg)为：230, 243, 185,
240, 228, 196, 246, 200。

(1)写出总体，样本，样本值，样本容量；
(2)求样本的均值，方差及二阶原点距。

答：(1)总体为该批机器零件重量ξ ,样本为-：■ ■■,样本值为230, 243, 185, 240, 228, 196, 246, 200,样本容量为 n=8 ;
_ 1 " 1
§二—5\ 二-(230 + 243 + 1 陶+240 + 228+196 + 246 + 200) = 221
(2) •二
E =丄S (Si -ξf =-F(23O- 221)3+. +(200 - 221)a 1 = 495.25
2设总体X服从正态分布N ,其中」已知，二2未知，X1,X2,X3是来自总体的简单随机样本。

(1)写出样本X1,X2,X3的联合密度函数;
5自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3,标准差为0.025。

设样本来自正态
:=0.01检验假设:
(2)指出 X l
X 2 X 3,max(X i ,1Kl,X ι 2 102 X ，X 』
哪些不是统计量。

故样本的联合密度函数为
3
Λ*(⅞⅞.⅞)≡=∏^⅛) =
X l +X 1±X z maχ{jζj≤i ≤3j ι
者E 是统计量，
不是统计量。

3设总体X 服从两点分布B （ 1，p ）,其中P 是未知参数，X ι,L , X 5是来自总体的简单随 机样本。

指出X i X 2,ma^X i ,^Γ≤5∖X 5 2p, X^ X i 2
之中哪些是统计量，哪些不 是统计量，为什么?
max
答: X i X 2,
X i ,（X 5 -X i ）2
都是统计量，X 5 2p,不是统计量，因P 是未知参 i 空
数。

九 e ~'
x
,χA 0
4设总体服从参数为 X 的指数分布，分布密度为
p （X ；^） =」
Q XWo
求 EX,DX 和 ES 2
.
解：由于∙,∙ι∙
■ ι∙ "'.∙ I- ■■1
■■- ■ J ,所以
之中哪些是统计量,
答：（1）因为X 服从正态分布
,而
是取自总体 X 的样本，所以有
（2）
任何未知参
数， 而
因为它们均不包含
— 1 Jf 1 B
1
_ 1 厲
I B
1
1 K _ 1 »
M
1 1。

5设总体X 服从N 0,1 ,样本X 1,L ,X 6来自总体X,令
什么分布。

逼
2
答： 由定理知 服从自由度为n-1的「-分布, 度为n-1的
t-分布，由 二服从"弋厂」：一 Lk …沁,
2
Y = X I X 2 X 3 X 4 X 5
2 2
X 6
,求常数c ,使CY 服从2-分布。

解：因为样本
独立同分布
所以-＜服从QI
二
服八」，
同理
____________ （禺+尽+抡）
2
V-
服从八 」，因此 匚
服从「
■，
区+抡+益）
2
服从J' LAj ,且两者相互独立，由
F
-分布的可加性，知 Y/3服从Fr ：,所以
取 C=1∕3。

2
6设总体X 服从N •点 ，X 1,L ,X n 是取自总体
S 2, S 2
分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量
X 的简单随机样本，X 为样本均值,
n
,S/ n ,
匚2
nS
：
匚2
各服从
由定理的系得 服从自由
⅞ - ,M
,可得 J 服从'1
7 -
2
（i=12…/）, Ib 丿服从7 （1）（i=12…由于由Kg 相互独立因此由 F
2≡ ----- 2
-分布的可加性，得
L - 服从自由度为n 的，「-分布。

7设总体X 服从N ^二2，X 和S 2
为样本均值和样本修正方差,
的F-分布。

1随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 mm 计）
又有 X n I 服从
N lL ］，且与X 1,L ,X n 相互独立，试求统计量-—
S n /
n -1 n 1
布。

答：由X 服从
，L 服从N 阳，
⅛+l^^
2
Xn 1 X
服从什么分
S 2 /丄
n +1
服从
5r+T
\ .服从
'， 又由
服从自由度为n-1的
..■-分布，注意t 分布的定义
-⅛±L⅛
'■ I :服从自由度为n-1的t-分布。

書+1
σ
由
F 分布的定义 -
7Ξ÷Γ
n
..•,又由 厂 服从自由度为 (⅛+1-?)3
n-1的「-分布，注意
料 服从自由度为（1，n-1）
（不好意思, X 都写成了 ：，让教师费心了！ ！）
σ
n 服从
■ 服从
w +
I"'
74.001 74.005 74.003 74.001
74.000
73.998 74.006 74.002
求总体均值μ及方差σ 2
的矩估计，并求样本方差 S 2
O
_ 1 n
解：μ , σ2
的矩估计是
= X =74∙002 ,；:?2
(X i - X)2 =6 10^6
n y
S 2
=6.86 10* o
(θ +1 ∖χ1j O 吒 X 吒 1
P (X e)=VlM ，u-^-'，其中日^ _1为未知参数，样本
0, xcO,or,x>1
X 1,X 2,L ,X n 来自总体X ,求未知参数二的矩法估计与极大似然估计。

答：首先求数学期望
从而解方程
得「的矩法估计为 似然函数为
Ii
Z(X lP K 血;8)= f0 + l∕x 1tf
→ jr∕ JnL(X lJ K 人;0)Fln(0 + 1) + 日£也兔
3求均匀分布Ur IL2］中参数片户2的极大似然估计.
2总体X 的概率密度为
£+1 J+2
解得I 1■的极大似然估计为
Lr 1^2)二
0,
<X(1^
X (n^^2
其他
解 先写岀似然函数 该似然函数不连续，不能用似然方程求解方法，只有回到极大似然估计原始定义，注意最大值只能发生
在
Tl
I-
X (1) - X (n) - 二2
时；而欲L(Xm)最大，只有使V 2J 1最小，即使尽 可能小，R 尽可能大，但在上式的 约束
下，只能取
ι≡r
ι≡r
X
(1)，二2
= X (n).
Eg=
=丄士昭=丄鹫 7 = — = 3
j_i
2/3 i_i
2
2
因此T 的极大似然估计量 L 是「的无偏估计量。

4设连续型总体X 的概率密度为
× PX^ --
【。

，
X 2
e
2 71 X 0 e ,X
「0 ,
XEo
X 1, X 2,L , X n 来自总
答： 似然函数为
◎"曲 J
lnZ = ^+In
思
1 n
ΠΛ
⅛
-两
/
T HI l
其中
JJr i i
即=防％=］；
2兮可沪池Z
体X 的一个样本，求未知参数 V 的极大似然估计量T?，并讨论丁的无偏性。

f N
∏再
i-1。