高二定积分的简单应用(理科

年 级 高二 学科 数学

内容标题 定积分的简单应用（理科） 编稿老师

胡居化

1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题

2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用. 二、知识要点分析

1. 定积分在物理学中的简单应用

（1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a

⎰=b

a

dt t v S )(

（2）变力做功：物体在力F （x ）的作用下做直线运动，且物体沿着力F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a

变力所做的功W=

⎰

b

a

dx x F )(

2. 定积分求曲边多边形的面积 （1）几种典型曲边梯形面积的计算方法

（i ）由三条直线x=a ，x=b （a

⎰=b

a

dx x f S )(

（ii ）由三条直线x=a ，x=b （a

⎰⎰-==b

a

b

a

dx x f dx x f S )(|)(|

（iii ）由三条直线x=a ，x=b （a

⎰-=b

a

dx

x g x f S )]()([(

（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形

（b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数

（d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和.

【典型例题】

知识点一：定积分在物理学中的简单的应用

例1：一物体在力F ⎩

⎨⎧>+≤≤=)2(,43)

20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向，从

x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ）

A. 44

B. 46

C. 48

D. 50

【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函数F （x ）在区间［0，4］上的定积分.

【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和.

【解题步骤】由定积分的物理意义知：

⎰⎰⎰⎰++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝4222

0|)42

3(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ）

【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是

⎰

+4

)43(dx x .

例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 62

1

-内的运动路程.

【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在

s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,2

1

[上的定积分.

【思路分析】由v －t 曲线知：v （t ）是关于t 的分段函数，即

在［0，1］时间内物体做加速直线运动 在［1，3］时间内物体做匀速运动，

在［3，6］时间内物体也做加速运动但加速度不同

所以首先要确定v （t ）分段函数的表达式，然后求物体在]6,21

[内运动的路程，即是v

（x ）在三个区间内的定积分之和.

【解题步骤】由v （t ）曲线知：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

≤≤+≤≤≤≤=)63(,13

1

)31(,2)10(,2)(t t t t t t v

⎰

⎰

⎰

⎰

=+++=+++==

∴6

3

6323112

123

1

6

2

11

2

1449|)t t 61(|t 2|t dt )1t 31(dt 2tdt 2dt )t (v S 故物体在

s s 621-内运动的路程是m 4

49

【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题，v （t ）往往是关于时间t 的分段函数，所以首先是求出v （t ）函数的分段表达式，再求在每一个区间上的定积分然后相加即得，体现的数学思想是数与形结合的思想.

易错点是：求在每个时间区间的函数表达式有误.

例3：一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342

s m t t v +-=运动，求 （1）在t=4s 时该点的位置. （2）在t=4s 时运动的路程.

【题意分析】本题的第一问中：在t=4s 的位置是由物体的位移确定的，故物体的位移就是在［0，4］内v （t ）的定积分.第二问中，从时刻t=0到时刻t=4不能保证0)(≥t v 恒成立.而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间［0，4］分割，以便能准确的判断v （t ）在哪些区间为正哪些区间为负.

【思路分析】由)3)(1(342

--=+-=t t t t v 知：在区间［0，1］，［3，4］内v （t ）为正值，在区间［1，3］内v （t ）为负值.在时刻［1，3］内物体运动的路程是