金融数学课本知识精粹

2、收益率的唯一性： （1）若在 0~n 期间内存在一时刻 t，t 之后的期间里现金流向是 一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流 向方向相反，则收益率唯一。
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（2） 若在 0~n-1 内各发生现金流的时刻， 投资 （包括支出及回收， 总称投资）的积累额大于 0，则该现金流唯一。 3、再投资收益率： （1）情形一：在时刻 0 投资 1 单位，t 时刻的积累值: 1 isn （2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：
Nr Nr tp w (1 i) (1 i)1 w
2、溢价与折价 本金调整：溢价摊销或折价积累 期次 票息 利息收入 0 1 2 g g g
i[1 ( g i ) an i ] i[1 ( g i )an 1i ]
Nr C (1 i)n1 w
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第一篇：利息理论
第一章：利息的基本概念
a '(t ) = a (t ) t t dr 0 1、有关利息力:a (t ) e n 0 A(n) t dt A(n) A(0)
i(m) m d ( p) p 1 1 2、 (1 ) 1 i v (1 d ) (1 ) e m p
t-1
利息 支付 Li
基金 存款 D
出额 Li+D
基金利息收入 SFIt
偿债基金 余额 SFBt
净贷款 余额 NBt L=D sn j
D s1 j D s2 j D s3 j ┋ D st j ┋ D sn j =L
L-D s1 j L-D s2 j L-D s3 j ┋ L-D st j ┋ L-D sn j =0
t
2I （现金流在 0-1 期间内均匀分布） A B I
I （其中 k t (Ct / C ) ） kA (1 k ) B (1 k ) I t
注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率
i (1 i1 )(1 i2 )
(i im ) 1
an / sk
还款 额 Rs
还款额中的利息部分 Is
还款额中的本 金部分 Ps
贷款余额 Bs
an / sk
B0-Pk= an k / sk
a n 2 k / sk
┋
an tk / sk
┋
ak / sk
0
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（2）若每计息期偿还嗲款 m 次（偿还频率大于计息频率）
( m) 表（4-4） an 的分期偿还表
2/m ┋ t/m ┋ n-1/m
1/m ┋ 1/m ┋ 1/m
( m) an 2 / m
┋
t 1 n 1 (1 v m ) m
┋
1 1 n tm v m
┋
( m) an t / m
┋
2 1 m (1 v ) m 1 1 (1 v m ) m
┋
1 m v m
2
┋
(m) a1/ m
3
（2）付款频率高于计息频率的年金
n (m) 1 v 现值 : an ( m ) 1 i 期末付年金： ....... 永续年金现值： (m) n i (1 i ) 1 ( m ) 终值：s n i(m) .. ( m ) 1 v n 现值： a n (m) 1 d ........永续年金现值： ( m ) 期初付年金： n .. ( m ) d 终值:s n (1 i) 1 i(m)
0 1 2 ┋ t ┋ n-1 n 总计 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n i an =1-vn 1-vn-1 ┋ 1-vn-t+1 ┋ 1-v2 1-v
n an
an
1- i a n = v n vn-1 ┋ vn-t+1 ┋ v2 v
an
an -vn = an 1
an 2
┋
an t
┋
a1
第五章
1、债券价格
债券及其定价理论
p : 债券的价格 r:票利率 i : 收益率 t1：所得税率
N:债券的面值
C：债券的赎回值 K=Cv n
Nr：票息额
g:修正票息率g =Nr/C(N=C时，g=r)
n:票息到期支付次数
G : 基础金额G=Nr / i
（1） 所得税后的债券价格：
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基本公式：p Nr (1 t1 )an Cv n 溢价、折价公式：p c [ Nr (1 t1 ) Ci ]an 基础金额公式：p=G(1-t1 )+[C-G(1-t1 )]v n Makeham公式：p=K+ g (1 t1 ) (C K ) i
(1 iky )......k m
y (1 im )(1 i y m 1 ).....(1+i y k ).....k m
（m 为投资年法的年数，
即若投资时间未满 m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资 组合法计算收益率。在 y 年投资第 t 年收益率记为 ity ） 7、股息贴现模型 （1）每期末支付股息 Dt ，假定该股票的收益率为 r,则它的理论价格 为：
第二章 年金
.. 1+i） a n a（ n 1、 .. s n s（1+i） n
a n an 1 1 s n sn 1 1
..
..
v m an am n am 2、 .. .. .. m v a n a m n a m
时刻 s 0 1/m
还款额 Rs
还款额中的利息部 分 Is
还款额中的本金 部分 Ps
贷款余额 Bs
( m) an
1/m
i(m) 1 B0 (1 v n ) m m
1 n 1 (1 v m ) m
R1/m–I1/m =
1 n m v m
1
1 n v m
( m) B0 P 1/ m an 1/ m
6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后 根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益 投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间 相 联 系 的 利 率 ， 积 累 值 为 ：
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C (1+i1y )(1 i2y ) y y C (1+i1 )(1 i2 )
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表 （1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
时刻 s 0 k 2k ┋ tk ┋ n-k n 总计 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n/k [(1+i)k-1] an / sk =1- vn 1- vn-k ┋ 1-vn-(t-1)k ┋ 1- v2k 1- vk n/k- an / sk Rk-Ik=vn vn-k ┋ vn-(t-1)k ┋ v2 k vk
（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）
n 1 vn t a v dt n 0 n s n (1 i ) n t dt (1 i ) 1 n 0
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6、基本年金变化 （1）各年付款额为等差数列
an nv n (现值) V0 pan Q i .. a n a nv n n n ( Ia ) n an i i n an nv n an ( Da ) n nan i i n 期末付虹式年金：V0 =( Ia ) n +v ( Da ) n -1 an an n 期末付平顶虹式年金 : V =( Ia ) + v ( Da ) a a 0 n n n n 1
0
第 k 期偿还款中的利息部分记为 I k ；本金部分为 pk
I k 1 v n k +1
pk =v n k 1
2、连续偿还的分期偿还表
p Bt an t t时刻的余额 r t Bt a n (1 i ) S t
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I Bt t时刻偿还的本金利息 pt 1 I 1 Bt
i 单利率下的利息力 ： = t 1 it 3、 但贴现下的利息力： d t 1 id
严格单利法（英国法） 4、投资期的确定 常规单利法（欧洲大陆法） 银行家规则（欧洲货币法）
5、等时间法： t

s t
k 1 n
n
k k
s
k 1
k
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3、零头付款问题： （1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同 （2）各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金 （1）付款频率低于计息频率的年金
an 现值 : sk 1 期末付年金： ....... 永续年金现值： sn isk 终值： sk an 现值： ak 1 期初付年金： ........ 永续年金现值： iak 终值: sn ak
n vn ak k isk
an
（2）在 ( Ia ) n 的基础上，付款频率大于计息频率的形式
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n 每个计息期内的m次付款额保持不变( Ia)( m ) an nv n i(m) .. a n nv n (m) 每个计息期内的m次付款额保持不变( I（m） a) n ( m ) i
（3）连续变化年金： 1 ：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 t,其现值为 ○

( I a)n
an nv n

2 ：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 f (t ) ,其现值为 ○
V (0) f (t )v dt
t 0
n
第三章 收益率
t V (0) v Rt 0 可求出 1、收益率（内部收益率） 由 t 0 n
n i ( Is ) n 1 n i
sn n j
B：期末基金的本息和
4、基金收益率：A：期初基金的资本量 I：投资期内基金所得收入
Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1 ）
t
C：在此期间的现金流之和 C Ct ， （1） i （2） i （3） i
I A Ct (1 t )
（2） 所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：
(1 t2 ) K (1 t1 )( g / i)(C K ) p p t2 (c p )v p 1 t2 K / C
' ' n '
（3） 如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（ tp ）
p Dn n n 1 (1 r )

（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益 率为 r,-1<g<r,则它的理论价格为： p
D1 rg
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第四章 债务偿还
1、分期偿还表（标准年金，贷款额 an ，年利率 i，每期末还款额为 1）
时刻 t 每次还款额 Rt 每次还款中所包 含的自增利息 It 每次还款中所 包含的本金 Pt 未偿还贷款余额 Bt
（2）各年付款额为等比数列
1 k n 1 ( ) 1 i V0 ik
i k : V0不存在 n 不存在 i k : V0 1 i i k : V0 存在
7、更一般变化的年金： （1）在 ( Ia ) n 的基础上，付款频率小于计息频率的形式
V0 =
n 总计
1/m n
1 m v m
( m) an
1
0
( m) n- an
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4、偿债基金表
每次总支 时刻 0 1 2 3 ┋ t ┋ n 总计 Li+D Li+D Li+D ┋ Li+D ┋ Li+D n(Li+D) Li Li Li ┋ Li ┋ Li nLi D D D ┋ D ┋ D nD 0 j D s1 j = D[(1+j)-1] D[(1+j)2-1] ┋ D[(1+j) -1] ┋ D[(1+j)n-1-1] D ( sn j n) =L-nD