2018全国卷高考复习平面向量(知识总结题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算
1.
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
基础练习】
1. 判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) 零向量与任意向量平行.( )
(2) 若a∥ b，b∥ c，则a∥ c.( )
(3) 向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4) 当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
(5) 在△ ABC中，D是BC中点，则A→D＝21( A→C＋A→B).( )
2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若
③向量AB与BA相等. 则所有正确命题的序号是( )
A.①
B. ③
C.①③
D.①②
3.(2017 ·枣庄模拟)
设D为△ ABC所在平面内一
点，
A→D＝－13A→B＋43A→C，若→BC＝
λD→C( λ∈R)，
则λ ＝
()
A.2
B.3
C.－2
D.－3
4.(2015 ·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝______
5.( 必修4P92A12改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且O→A＝a，O→B＝b，则→DC ＝ _____________________________________________________________________________
B→C＝____ ( 用a，b 表示).
1 2→
6.(2017 ·嘉兴七校联考) 设D，E分别是△ ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC，若D→E
＝λ1A→B＋λ2A→C( λ1，λ2为实数) ，则λ1＝______ ，λ2＝______ .
考点一平面向量的概念
【例1】下列命题中，不正确的是 _______ (填序号).
①若| a| ＝| b| ，则a＝b；
②若A，B，C，D 是不共线的四点，则“ A→B＝D→C”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
【训练1】下列命题中，正确的是 _______ (填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
a，b 都是单位向量，则a＝b；
考点三 共线向量定理及其应用
例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 .
(1) 若 A →
B ＝ a ＋ b ，B →
C ＝ 2a ＋ 8b ，C →
D ＝ 3( a －b ). 求证： A ， B ，
(2) 试确定实数 k ，使 ka ＋b 和 a ＋kb 共线 .
【训练 3】已知向量 A →B ＝a ＋3b ，B →C ＝5a ＋3b ，C →
D ＝－ 3a ＋3b ，则 ( )
A.A ， B ，C 三点共线
B. A ， B ， D 三点共线
C.A ， C ，D 三点共线
D.B ，C ，D 三点共线
第二部分 平面向量基本定理与坐标表示
1. 平面向量的基本定理
如果 e 1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数 λ 1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量 e 1， e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
3. 平面向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
1
例 2】 (2017·潍坊模拟 ) 在△ ABC 中， P ，Q 分别是 AB ，BC 的三等分点，且 AP ＝3AB ，BQ ＝ 1
→ → →
3
BC . 若A →B ＝a ，A →C ＝b ，则 P →
Q ＝(11
A. 3a ＋3b 11
B. － 3a ＋
b
11 C.3a －3b
11 D.－3a －3b
训练 2】 (1) 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点， 靠近 B 点的三等分点，那么 E →
F 等于 (
A. 12A →
B
－
2 D 三点共线；
a ，有且只有一
点 F 是 BC 的一
个
C.
a ＋
b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），a －b ＝（x 1－x 2，y 1－y 2），λa ＝（λx 1，λy 1），| a |＝ x 12
＋ y 2
1.
（2） 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 .
②设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A →B ＝（x 2－x 1，y 2－y 1），|A →
B | ＝ （x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
4. 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则 a ∥b ? x 1y 2－x 2y 1＝0.
基础练习】
4.（ 必修 4P101A3改编 ）已知?ABCD 的顶点 A （ －1，－ 2） ， B （3 ，－ 1） ， C （5 ， 6） ，则顶点 D 的坐
标为 考点一 平面向量基本定理及其应用 【例 1】 （ 2014·全国Ⅰ卷 ）设D ，E ，F 分别为△
ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则 E →B ＋F →
C ＝ （ ）
A.A →
D
B. 1A →
D
C. 1B →
C D. B →
C
→
2 → → →
2
→ →
【训练 1】如图，已知 A →
B ＝ a ，A →
C ＝ b ，B →
D ＝ 3D →
C ，用 a ，b 表示 A →
D ，则 A →
D ＝ .
考点二 平面向量的坐标运算
【例 2】 （1） 已知向量 a ＝（5 ，2） ，b ＝（ －4，－3） ，c ＝（ x ，y ） ，若 3a －2b ＋c ＝0，则 c ＝（
）
A.（ －23，－ 12）
B.（23 ，12）
C.（7 ，0）
D.（ － 7，0）
【训练 2】 （1） 已知点 A （－1，5）和向量 a ＝ （2 ， 3） ，若 A →
B ＝3a ，则点 B 的坐标为
（ ） A.（7 ，4） B.（7 ， 14） C.（5 ，4）
D.（5 ， 14）
（2）（2015 ·江苏卷 ）已知向量 a ＝（2，1），b ＝（1，－2）. 若 ma ＋nb ＝（9，－8）（ m ，
n ∈ R ） ，则 m －n 的值为 .
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 （1） 已知平面向量 a ＝（1 ，2），b ＝（－2，m ），且 a ∥b ，则 2a ＋3b ＝
1.（2017 ·东阳月考 ）已知向量 a ＝（2 ， 4），b ＝（－1，1），则 2a ＋b 等于（ ） A.(5 ，7)
B.(5 ，9)
C.(3 ， 7)
D.(3 ，9)
2.(2015 全国Ⅰ卷 ） 已知点 A （0 ，1）
， B (3 ，2)， 向量 AC ＝（－4，－3） ，则向量 BC ＝（ ） A.( － 7， － 4) B.(7 ， 4) C.( － 1， 4)
D.(1 ， 4)
3.(2016 全国Ⅱ卷 ） 已知向量 a ＝（m
， 4） ， b ＝（3 ，－ 2） ，且 a ∥b ，则 m ＝
（2）（ 必修 4P101练习 7 改编 ）已知 A （2 ， 3） ， B （4 ，－ 3） ，点 P 在线段 AB 的延长线上，且 | AP |
＝32| BP | ，则点 P 的坐标为 ______
单位向量是 （ ）
（2） 若三点 A （1 ，－ 5） ， B （ a ，－ 2） ，C （ － 2，－ 1）共线，则实数 a 的值为 .
第三部分 平面向量的数量积及其应用
1. 平面向量数量积的有关概念
（1） 向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b ，记O →
A ＝a ，O →
B ＝b ，则∠AOB ＝θ
（0°≤θ≤180°） 叫做向量 a 与 b 的夹角 .
（2） 数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ，则数量 | a || b |cos__ θ叫做
a 与
b 的数量积 （或内积 ），记作 a ·b ，即 a ·b ＝| a || b |cos__ θ，规定零向量与任一向量的数 量积为 0，即 0·a ＝ 0.
（3） 数量积几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos θ的乘
积 .
2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），θ为向量 a ，b 的夹角 .
（1） 数量积： a ·b ＝| a || b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. （2） 模： | a | ＝ a ·a ＝ x 12
＋ y 12
.
a ·b
x 1x 2＋y 1y 2
（3） 夹角： cos θ＝
| a|| b| ＝
2 2 2 2.
| a || b |
x 21＋ y 21· x 22＋ y 22
（4） 两非零向量 a ⊥b 的充要条件： a ·b ＝0? x 1x 2＋y 1y 2＝0.
（5）| a ·b | ≤|a || b |（ 当且仅当 a ∥b 时等号成立 ）? | x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 2
1＋y 2
1· x 2
2＋y 22
.
3. 平面向量数量积的运算律： （1） a ·b ＝b ·a （ 交换律 ）.（2） λa ·b ＝λ（ a · b ） ＝a ·（λb ）（ 结 合律）.（3）（ a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律 ）.
【基础练习】
1.（2015 ·全国Ⅱ卷 ）向量 a ＝（1 ，－ 1） ， b ＝（ － 1， 2） ，则（2 a ＋ b ） · a 等于（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
2.（2017 ·湖州模拟 ）已知向量 a ，b ，其中 |a |＝ 3，| b | ＝2，且（a －b ）⊥a ，则向量 a 和 b 的
夹角是 ______ .
2π
3. _____________________________________________________________________________ （2
训练 3】 （1）（2017 ·浙江三市十二校联考 ）已知点 A （1 ， 3） ，B （4 ，－ 1） ，则与 A →
B 同方向的
3
4
－
D
4
3
－
C
3
－
4
4
－ 3
A .
016 ·石家庄模拟）已知平面向量a，b的夹角为3，| a| ＝2，| b| ＝1，则| a＋b| ＝ ________ .
3
5. （必修4P104例 1 改编）已知|a|＝5，| b| ＝4，a 与b的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a
方向上的投影为 _______ .
6.
（2017 ·瑞安一中检
测 ）已知 a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中 a ＝（1，2），|b |＝1，
且 a ＋b 与 a － 2b 垂直，则向量 a · b ＝ ______ ；a 与 b 的夹角θ的余弦值为 ________ . 【考点突破】 考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知） 例 1】 （1）（2015 ·四川卷 ）设四边形 ABCD 为平行四边形， 足B →
M ＝3M →
C ，
D →
N ＝2→
NC ，则A →
M ·N →
M 等于 ( )
A.20
B. 15
C.9
D.6
（2）（2016 ·天津卷 ）已知△ ABC 是边长为 1的等边三角
形，点
连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2EF ，则A →
F ·B →
C 的值为 （
训练 1】 （1）（2017 ·义乌市调研 ） 在 Rt △ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝AC ＝2，点 D 为 AC 的中
点，点 E 满足→
BE ＝31B →
C ，则→
AE · B →
D ＝
（2）（2017 ·宁波质检 ） 已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则
D →
E ·C →
B 的值为 __________________ ；D →
E ·D →
C 的最大值为 .
考点二 平面向量的夹角与垂直
【例 2】 （1）（2016 ·全国Ⅱ卷 ）已知向量 a ＝（1，m ），b ＝（3，－2），且（a ＋b ）⊥b ，则 m ＝（
）
A.－8
B. －6
C.6
D.8
（2）若向量 a ＝（k ，3），b ＝（1，4），c ＝（2，1），已知 2a －3b 与 c 的夹角为钝角，则 k
的取值 范围是 .
【训练 2】 （1）（2016 ·全国Ⅲ卷 ）已知向量B →A ＝ 12， 23 ，B →
C ＝ 23，21 ，则∠ ABC ＝（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2 2 2
（2 ）（2016 ·全国Ⅰ卷 ）设向量 a ＝（ m ，1） ，b ＝（1 ，2） ，且| a ＋b | 2
＝ | a | 2
＋| b | 2
，则 m
＝ _____________________________________________________________________________ .
考点三 平面向量的模及其应用
π
【例 3】 （2017·云南统一检测 ）已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3，若|a | ＝2，|b |＝3，则 |2 a
|A →B | ＝6，| A →
D | ＝4，若点 M ，N 满
D ，
E 分别是边 AB ，BC 的中点，
A.－
8
B.
8
11
D.
8
1
－3b|＝（）。