双因素和多因素方差分析b

如果缺失数据不是很多，对处理平均数之间的检验影 响不大，在缺失数据估计出来之后，按照一般方法进 行方差分析，只要将总自由度和误差自由度减去缺失 数据个数即可。
9.7 变换
方差分析应该满足三个条件：可加性、正态性和方差齐 性。数据变换的目的主要是满足方差齐性的要求，同时 正态性和可加性都可以得到较好的满足。
1.线性统计模型中误差εijk的下标写为ε(ij)k，括号内的 下标为死下标(dead subscript);括号外的下表为活下标 (live subscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下标都为活下 标；
2.固定模型中各因素的效应分别用该模型分量的平方和 除以自由度表示；
3.随机模型中各因素的效应分别用以希腊字母为下标的 方差表示；
主效应(main effect):因素水平的改变造成因素 效应的改变，称该因素的主效应。
A1
A2
B1 18
24
B2 38
44
A因素的主效应为(24+44)/2-(18+38)/2=6
9.1.2 主效应与交互作用
交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上 产生的效应不同，则两因素间存在交互作用。
xij . xi.. x. j. x... 2
i1 j 1
(9.12)
a b n
2
SS e
xijk xij .
i1 j 1 k 1
(9.13)
a b n
2
STS
xij kx.. .SA S SB S SA S BSE S
将(9.9)~(9.11)变形得：
SST

a i 1
bn
x2 ijk
j1 k 1

x2 ...
abn
SS A
Leabharlann Baidu
1 bn
a i 1
x2 i..

x2 ...
abn
SS B
1 an
b j 1
x2 . j.

x2 ...
abn
(9.18) (9.19) (9.20)
其中 为校正项，用C表示。
A1
A2
B1 18
28
B2 38
44
A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1 A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2 交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1来估计
当A、B间不存在交互作用时，从B1变化到B2不以A水平的 变化而改变，所以B1-B1，B2-B2两线平行(图9-1a);
i 1j 1k 1
相应的自由度为：
相应均方为：
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS AB SS AB / df AB MS e SS e / df e
9.2.3 均方期望与统计量F的确定
9.2.4 平方和的简易计算方法
9.6.1 缺失一个数据 设表9-13中x23是缺失的
为了使SSe达到最小，令 计算出x=215
，则可以
9.6.2 缺失两个数据
设表9-14中缺失x23和x42，分别称为x和y。
方程 的解，即为x和y的值 从而，x=213.55,y=366.05
9.6.3 缺失数据资料的方差分析
缺失数据的估计，可以使计算得以完成，但并不能提 供更多的信息。因此，实验工作一定要认真操作，数 据要仔细记录。由于缺失数据是估计值，当缺失一个 数据时，总自由度和误差自由度都相应减1，但A、B两 因素各自的自由度不变。同样，缺失两个数据时，总 自由度和误差自由度都相应减2。
l1,2,..n.,
自由度的分解：
dfA=a-1 dfB=b-1 dfC=c-1 dfAB=(a-1)(b-1) dfAC=(a-1)(c-1) dfBC=(b-1)(c-1) dfABC=(a-1)(b-1)(c-1) dfe=abc(n-1)
9.5.2 均方期望的表格化推演
表格法推演均方期望有以下规定：
k1,2,..n.,
其中αi是固定效应，βj是随机效应，交互作用(αβ)ij为随机效应。
Σαi=0，βj是服从N(0，
2
)的随机变量。交互作用效应是平
均数为0，方差为

a
a
1

2
正态随机变量。因为固定因素的
全部交互作用效应之和为0，所以在固定因素的某个水平上，
交互作用的成分不是独立的。
表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有观测值的 和；x.j.表示B因素第j水平的所有观测值的和；xij. 表示A的第i和B的第j水平的所有观测值的和；x… 表示所有观测值的和。
9.2 固定模型
9.2.1线性统计模型 观测值可以用以下线性统计模型描述：
i1,2,..a.,
xijkijijij kj1,2,..b., (9.1)
当存在交互作用时，A的效应依B的水平而不同，所以B1B1，B2-B2 两线不平行(图9-1b)。
9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格 式
两因素实验的典型设计：假定A因素有a水平， B因素有b水平，则每一次重复有ab次实验，设 试验重复n次，则试验总次数为abn。数据以表 9-1的形式出现。
xijkijijij kj1,2,..b., (9.2)6
k1,2,..n.,
9.3.2 均方期望与统计量F的确定
方差分析与固定模型的分析一样，分别计算出SST，SSA，SSB，
SSe。各均方的数学期望分别为：
E(MSA) 2 n2 bn2 E(MSB) 2 n2 an2 E(MSAB) 2 n2 E(MSe) 2
εijk为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。
两因素交叉分组设计中，固定模型方差分析 的零假设为：
H01 :1 2 ... a 0
H02 : 1 2 ... b 0
H03
: ij

i 1, 2,...,a
0
j

1,
2,
...,b
9.2.2 平方和与自由度的分解
正态性的要求。
9.7.2反正弦变换(arcsine transformation)
反正弦转换也称角度转换。此法适用于服从 二项分布 的资料。转换的方法是求出每个原数据平方根的(用百 分数或小数表示)的反正弦 sin1 p ，转换后的数值是 角度值。
以三因素交叉分组实验的方差分析为例，说明检验 统计量的确定。线性统计模型为：
i1,2,..a.,
xijklijkijikjkij kij kk jl 1 1,,2 2,,....b c..,,
l1,2,..n.,
例如，将例9.1中的A因素固定在第二种原料上，比较 不同温度对产量的影响。将产量依次排序：
如果考虑交互作用的话，就要比较全部ab次处理，才能 得出哪些差异是显著的。这样比较的结果不仅包括主效 应，而且包括交互作用。
9.3 随机模型
9.3.1 线性统计模型
随机模型的线性统计模型如下:
i1,2,..a.,
4.混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机 的，则交互作用是随机的，其方差分量记为σ2αβ；
5.不论哪种模型，误差的方差一律极为σ2.
以固定模型为例，说明推演步骤：
9.5.3 统计量F的确定
一般规律：为了得到检验某个因素或某个交互作用 的统计量，在计算F时分子均方的组成比分母均方的 组成仅多出欲检验的分量(固定因素)或方差分量(随 机因素)，除此之外的其他成分应完全相同。
9.5 两个以上因素的方差分析
9.5.1 平方和与自由度分解的一般规律
将两种方式分组的方差分析，扩展到一般情况。例如，在一个实验 中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假设每一处理 都有n次重复(n≥2)，那么总观测次数为abcn，线性统计模型为：
i1,2,..a.,
xijklijkijikjkij kij kk jl 1 1,,2 2,,....b c..,,
A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互 作用引起的平方和SSAB及误差平方和分别是：
a
2
SS A bn xi.. x...
i 1
b
2
SS B an x. j. x...
j 1
(9.10) (9.11)
a b
SS AB n
B药物有b水平，有ab个剂量混合，每组重复n次。共 有abn名病人参加实验。 对于两因素交叉分组设计的实验要采用两因素方差分析 固定模型：两因素实验中，两个因素都是固定因素时； 随机模型：两因素实验中，两个因素都是随机因素时； 混合模型：两因素实验中，一个因素是固定因素，另一 个是随机因素时。
9.1.2 主效应与交互作用
第九章 两因素及多因素 方差分析
本章内容
9.1 两因素方差分析中的基本概念 9.2 固定模型 9.3 随机模型 9.4 混合模型 9.5 两个以上因素的方差分析 9.6 缺失数据的估计 9.7 变换
9.1 两因素方差分析中的基本 概念
9.1.1模型类型 交叉分组设计(cross over design)：假设A药物 有a水平，
例9.2
9.2.6 交互作用的判断(Tukey,1949)
将残余项平方和(SST-SSA-SSB)分解为具有1自由度的非累加（交
互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的误差成分：
例9.3
9.2.7 多重比较
固定效应模型中，如果主效应显著，还应该在每一因 素（例如A)的各水平的平均数之间做多重比较，仍然 使用Duncan多范围检验；如果交互作用显著，则将B 固定在某一水平，在该特定水平上，比较A因素各水平 的平均数。
9.7.1平方根变换
此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关 系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的
方法是求出原数据的平方根 x 。
若原观测值中有为0的数或多数观测值小于10，则把原 数据变换成 x 1 。对于稳定均方，使方差符合同质 性的作用更加明显。变换也有利于满足效应可加性和
设A、C为固定因素，B为随机因素，构成混合模型，各均 方期望由下表给出
交互作用的检验统计量分别为： 三个主效应的检验统计量分别为：
9.6 缺失数据的估计
实验过程中，由于意外原因，使全部数据中的一个或 两个缺失，又没有重做实验的可能性，可以采用补救。
补救原则：补上缺失的数据以后，所得到的误差平方 和最小。
9.4.2 均方期望与统计量F的确定
固定因素效应的估计为： 例9.5
在随机模型和混合模型中，不设置重复，同样会有固 定模型中的问题，即因素间的交互作用与实验误差无 法区分，全部归于误差项。特别是在混和模型中，随 机因素的个水平之间存在的差异，往往检查不出来， 结果降低了实验的可靠性。因而，在条件允许的情况 下，不论哪种模型，最好都设置重复。
k1,2,..n.,
其中是总平均效应；i是A因素第i水平的处理效应；βj是B因素第
j水平的处理效应；(αβ)ij 是交互作用效应，
a
b
n
b
ab
i j( )ij( )ij ( )ij 0
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1j 1
(9.27) (9.28) (9.29) (9.30)
从均方的数学期望可以看出，H03:20的检验统计量是：
随机分析模型的方差分析表： 例9.4
9.4 混合模型
9.4.1线性统计模型
混合模型中，每一观测值xijk的线性统计模型为：
i1,2,..a.,
xijkijijij kj1,2,..b., (9.3)4
误差平方和是通过计算重复间平方和得到的。(9.13)可以改 写为：
a
SeS
i1
bn
1 2 x ijk n j1k1
a i1
b
x2 ij.
j1
(9.21)
交互作用平方和为： 例9.1
9.2.5 无重复实验时的两因素方差分析 观测值的线性模型：
Σαi=Σβj=0;