2.基本概念介绍
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28
分布由总体参数来区分
• 二项分布Bin(n,p)的总体参数为试验 次数n和“成功”概率p • 正态分布N(m,s)由位置参数（均值）m 和形状参数s区分
• Density curves of N(0,1) and N(-2,0.5)
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5
31
总体和样本
• 在这个例子中，单个北京市民的观点称为 个体(element 或 individual)， • 而称所有北京市民对这个问题的观点为一 个总体(population)，总体是包含所有要 研究的个体的集合。 • 而调查时问到的那部分市民的观点（也就 是部分个体）称为该总体的一个样本 (sample)，是总体中选出的一部分。 • 当然，也有可能试图调查所有的人（比如 人口普查），那叫做普查(census)。 • 普查就一定比抽样准吗？<
30
总体和样本
• 要想了解北京市民对建设北京交通设 施是以包括轨道运输在内的公共交通 工具为主还是以小汽车为主的观点， 需要进行调查； • 调查对象是所有北京市民，调查目的 是希望知道市民中对这个问题的不同 看法各自占有的比例。 • 显然，不可能去问所有的北京市民， 而只能够问一部分；并根据这部分观 点来理解整个北京市民的总体观点。
22
连续分布情况
23
• 连续分布的密度函数：Probability distributions
(also called probability density function frequency function) for continuous random variables (The following is a normal distribution)
• 均值(mean)m=0，标准差(standard deviation) s=1 的正态分布称为标准正态分布. 通常用z表 示标准正态随机变量. • 如果x为有均值m和标准差s的正态变量, 那么 z=(x-m)/s, 即x的标准得分 z-score为标准正 态分布. • 比如, x为均值m=2，标准差s=0.5的正态变量, 则 z=(x-m)/s=(x-2)/.5 为标准正态分布.
4
有些概率是无法精确推断的
• 比如你对别人说你下一个周末去公园 的概率是百分之八十。但你无法精确 说出为什么是百分之八十而不是百分 之八十四或百分之七十八。 • 其实你想说的是你很可能去，但又没 有完全肯定。 • 实际上，到了周末，你或者去，或者 不去；不可能有分身术把百分之八十 的你放到公园，而其余的放在别处。
19
注意二项式展开的系数
n n 1 n n 2 2 n ( a b) a a b a b b 1 2 n x 等价符号： Cn 为组合系数； x n n n n 而且 ＝ ＝1， ＝ 0 n x n x
29
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
样本数据：我们能够摸的着的部分
• 我们通常只能够通过抽取样本来得到 对总体的理解> • 样本统计量－对总体特征的描述> • 最好的样本是随机样本> • 数据的收集（二手数据、试验数据、 一手数据、抽样调查）> • 抽样调查的各种误差> • 抽样调查的问卷设计> • 抽样调查数据问题的例子(另外文件)
第三四分位点
170
180
中位数
第一四分位点
160 150
高三男生身高
140
N= 163 175
地区1
地区2
地区
37
茎叶图
•地区1高三男生身高数 据的茎叶图
38
HEIGHT Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 9.00 15 . 001223344 17.00 15 . 55666667778899999 20.00 16 . 01112222223333333444 35.00 16 . 55555666666667777788888888888999999 25.00 17 . 0000000011112222233333344 24.00 17 . 555666677777777777888899 13.00 18 . 0111111122333 11.00 18 . 55667788899 4.00 19 . 2333 2.00 19 . 56 3.00 Extremes (>=198) Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)
• 只观测到2次红球(恰答对2题)的概率为
p(2)=P(RRB)+P(RBR)+P(BRR)=(1/5)(1/5)(4/5)+ (1/5)(4/5)(1/5)+(4/5)(1/5)(1/5)=3(1/5) 2(4/5)= 3p2q= 0.096. • 三次抽取，均为红球的概率为p(3)=P(RRR) =(1/5)(1/5)(1/5)=(1/5)3=p3=0.008.
15
• 可用表或公式描述分布(想想为什么)
0.2 0.0 0.1 0.3 0.4 0.5
16
上面例子为： 二项分布随机变量 Binomial random variable
17
• 它相当于从一个装有1个红色球 和4个蓝色球(总数5个)的罐子， 每次随机取出一个，观察其颜色； 再放回；再接着取下一个（放回 抽样）。一直取3次（回答3个 问题） • 一次抽取得到红色（答对）的概 率为 p=1/5, 而得到蓝色的概率 为q=1-p=4/5.
32
如 同 给 人 画 像 一 样
数 据 的 描 述
直方图
• 比如某个地区（地区1）学校高三男生 的身高；有163个度量如何用图形来表 示这个数据，使人们能够看出这个数 据的大体分布或“形状”呢？一个办 法就是画一个直方图(histogram)。
34
40
30
20
10 Std. D ev = 10.91 M ean = 170.9 0 150.0 155.0 160.0 165.0 170.0 175.0 180.0 185.0 190.0 195.0 200.0 N = 163.00
Density
0.15 0.1 0.05 0 -4
-3
-2
-1
0 Critical Value
1
2
3
4 26
• 分布 N(0,1) 和N(-2,0.5)的密度函数
不同均值 m 和标准差 s 的 密度曲线有不同的位置和 形状
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 27
6
我们就是要通过对世界 的观测数据，在随机性 中寻找用概率和数学模 型描述的规律性
总体：我们感兴趣的那部分现实世界 • 总体通常用变量来代表 • 变量可以是一维或多维的 • 变量可以是定性或者定量的 • 定性变量由随机(数量)变量描绘 • 随机变量有分布（总体分布） • 而分布又由（总体）参数来区别 • 总体和变量永远也不可能全部认识 • 只有通过样本才能够明白
Probability Between Limits is 0.53281 0.4 0.35
比如，概率 P(-.5<x<1), 为在区间 (-.5,1) 上曲线下面的面积.
0.3 0.25
Density
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4
24
-3 -2 -1 0 Critical Value 1 2 3 4
n n
二项随机变量
• n 次同等条件的独立试验 • 每次试验仅有两种结果，通常记为S (成功) 和 F (失败). • 成功（S）的概率在每次试验保持不变， 用p表示, 失败 （F）概率则为 q=1-p. • n 次试验中成功的数目x, 则为二项随机 变量.
21
Poisson随机变量
• 在某些固定的条件下, 人们认为某些事件出现的 次数服从Poisson分布, 比如 • 在某一个时间段内某种疾病的发生病数, • 显微镜下的微生物数, 血球数, • 门诊病人数, • 投保数, • 商店的顾客数, • 公共汽车到达数, • 电话接通数等等. <
8
总体通常用变量来代表
• 一个调查问卷可能有关于性别、 年龄、收入、观点、教育程度、 财产情况、纳税情况、职业等问 题。 • 这些：性别、年龄、收入、观点、 教育程度、财产情况、纳税情况、 职业等，都是变量
9
变量可以是一维或多维的
• 年龄，收入等都是一维的 • 而地理坐标就是二维的 • 许多变量的组合，则可能是多维的。
地 区 1高 三 男 生 高 度
35
盒型图
•比直方图简单一些的是盒形图 (boxplot，又称箱图、箱线图、盒子 图)。后面图的左边一个是根据地区1高 三男生的身高数据所绘的盒形图；其 右边的图代表另一个地区（地区2）的 高三学生的身高
36
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
210
200
158 96 5
190
248 250 259 323
12
随机变量有分布（总体分布）
• 有离散性分布（如二项分布、 Poisson分布、超几何分布）> • 也有连续性分布（如正态分布、 t分布，c2分布，F分布）>
13
离散分布
14
随机回答选答题可能得到的分数 • 例: 纯粹随机回答三个单选题（每个5种选择）可 能答对0、1、2、3题的概率为
0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
t分布c2分布和F分布
• 这几个分布都是正态分布导出的分布， 一般不描述什么实际现象，但是在进行 检验时，总体为正态分布的随机变量的 一些变换呈这些分布，用于相应的检验。 比如t检验c2检验和F检验。 • 其实，t分布是正态变量标准化时，用 样本标准差s代替总体标准差s的结果。 c2分布为独立正态变量的平方和的分布， F分布为c2分布（除以其自由度后）之 比。
5
有些概率是可以估计的
• 如掷骰子。只要没有人做手脚，你得到 任何点的概率都应该是六分之一。 • 这反映了掷骰子的规律性。 • 但掷出骰子之后所得到的结果还只可能 是六个数目之一。 • 这体现了随机性。 • 如果你掷1000次骰子，那么，大约有六 分之一的可能会得到6；这也说明随机结 果也具有规律；而且有可能通过试验等 方法来推测其规律。
10
变量可以是定性或者定量的
• 性别、观点、教育程度、职业等 变量是定性的。 • 年龄、收入、财产情况、纳税情 况等变量可以是定量的
11
定性变量也要由随机(数量)变量描绘 • 性别、观点、教育程度、职业等 变量是定性的，无法用数量直接 描述 • 但是，它们的频数、比例等可以 用数量描述 • 没有用数量描述的量，无法参加 数据分析过程
18
三次抽取(回答3题)
均观测不到红球(答对0题)的概率为
p(0)=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=(4/5) (4/5) (4/5)=(4/5)3= q3＝ 0.512
• 只观测到1次红球(恰答对1题)的概率为
p(1)=P(RBB)+P(BRB)+P(BBR)=(1/5) (4/5) (4/5)+ (4/5)(1/5)(4/5)+(4/5) (4/5)(1/5)=3(1/5)(4/5)2=3pq2= 0.384.
2
随机性和规律性 • 从总体来说，我国公民的预期寿 命却是非常稳定的。而且女性的 预期寿命也稳定地比男性高几年。 这就是规律性。 • 你可能活过这个寿命，也可能活 不到这个年龄，这是随机的。 • 但是总体来说，预期寿命的稳定 性，却说明了随机之中有规律性。 这种规律就是统计规律。
3
概率和机会
• 常听到概率这个名词。如天气预报中 提到的降水概率。如果降水概率是百 分之九十，那就很可能下雨；但如果 是百分之十，就不大可能下雨。 • 因此，从某种意义说来，概率描述了 某件事情发生的机会。 • 显然，这种概率不可能超过百分之百， 也不可能少于百分之零。换言之，概 率是在0和1之间的一个数，说明某事 件发生的机会有多大。
基本概念介绍
吴喜之
随机性和规律性
• 有许多定律，例如牛顿三定律，物质不 灭定律，爱因斯坦相对论等等。 • 但是在许多领域，很难用如此确定的公 式或论述来描述一些现象。比如，人的 寿命。一个吸烟、喝酒、不锻炼、而且 一口长荤的人可能比一个很少得病、生 活习惯良好的人活得长。 • 可以说，活得长短是有一定随机性的 (randomness)。这种随机性可能和人的 经历、基因、习惯等无数说不清的因素 都有关系。
25
Probability Between Limits is 0.024998
标准正态分布N(0,1), m=0, s=1.
0.35 0.3
0.4
F(1.96)=P(Z<1.96)=0.9750021=1-P(Z>1.96) 0.25 =1-0.02499790 0.2 P(Z>1.96)=1-F(1.96)=1-0.9750021=0.02499790
分布由总体参数来区分
• 二项分布Bin(n,p)的总体参数为试验 次数n和“成功”概率p • 正态分布N(m,s)由位置参数（均值）m 和形状参数s区分
• Density curves of N(0,1) and N(-2,0.5)
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5
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总体和样本
• 在这个例子中，单个北京市民的观点称为 个体(element 或 individual)， • 而称所有北京市民对这个问题的观点为一 个总体(population)，总体是包含所有要 研究的个体的集合。 • 而调查时问到的那部分市民的观点（也就 是部分个体）称为该总体的一个样本 (sample)，是总体中选出的一部分。 • 当然，也有可能试图调查所有的人（比如 人口普查），那叫做普查(census)。 • 普查就一定比抽样准吗？<
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总体和样本
• 要想了解北京市民对建设北京交通设 施是以包括轨道运输在内的公共交通 工具为主还是以小汽车为主的观点， 需要进行调查； • 调查对象是所有北京市民，调查目的 是希望知道市民中对这个问题的不同 看法各自占有的比例。 • 显然，不可能去问所有的北京市民， 而只能够问一部分；并根据这部分观 点来理解整个北京市民的总体观点。
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连续分布情况
23
• 连续分布的密度函数：Probability distributions
(also called probability density function frequency function) for continuous random variables (The following is a normal distribution)
• 均值(mean)m=0，标准差(standard deviation) s=1 的正态分布称为标准正态分布. 通常用z表 示标准正态随机变量. • 如果x为有均值m和标准差s的正态变量, 那么 z=(x-m)/s, 即x的标准得分 z-score为标准正 态分布. • 比如, x为均值m=2，标准差s=0.5的正态变量, 则 z=(x-m)/s=(x-2)/.5 为标准正态分布.
4
有些概率是无法精确推断的
• 比如你对别人说你下一个周末去公园 的概率是百分之八十。但你无法精确 说出为什么是百分之八十而不是百分 之八十四或百分之七十八。 • 其实你想说的是你很可能去，但又没 有完全肯定。 • 实际上，到了周末，你或者去，或者 不去；不可能有分身术把百分之八十 的你放到公园，而其余的放在别处。
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注意二项式展开的系数
n n 1 n n 2 2 n ( a b) a a b a b b 1 2 n x 等价符号： Cn 为组合系数； x n n n n 而且 ＝ ＝1， ＝ 0 n x n x
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
样本数据：我们能够摸的着的部分
• 我们通常只能够通过抽取样本来得到 对总体的理解> • 样本统计量－对总体特征的描述> • 最好的样本是随机样本> • 数据的收集（二手数据、试验数据、 一手数据、抽样调查）> • 抽样调查的各种误差> • 抽样调查的问卷设计> • 抽样调查数据问题的例子(另外文件)
第三四分位点
170
180
中位数
第一四分位点
160 150
高三男生身高
140
N= 163 175
地区1
地区2
地区
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茎叶图
•地区1高三男生身高数 据的茎叶图
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HEIGHT Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 9.00 15 . 001223344 17.00 15 . 55666667778899999 20.00 16 . 01112222223333333444 35.00 16 . 55555666666667777788888888888999999 25.00 17 . 0000000011112222233333344 24.00 17 . 555666677777777777888899 13.00 18 . 0111111122333 11.00 18 . 55667788899 4.00 19 . 2333 2.00 19 . 56 3.00 Extremes (>=198) Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)
• 只观测到2次红球(恰答对2题)的概率为
p(2)=P(RRB)+P(RBR)+P(BRR)=(1/5)(1/5)(4/5)+ (1/5)(4/5)(1/5)+(4/5)(1/5)(1/5)=3(1/5) 2(4/5)= 3p2q= 0.096. • 三次抽取，均为红球的概率为p(3)=P(RRR) =(1/5)(1/5)(1/5)=(1/5)3=p3=0.008.
15
• 可用表或公式描述分布(想想为什么)
0.2 0.0 0.1 0.3 0.4 0.5
16
上面例子为： 二项分布随机变量 Binomial random variable
17
• 它相当于从一个装有1个红色球 和4个蓝色球(总数5个)的罐子， 每次随机取出一个，观察其颜色； 再放回；再接着取下一个（放回 抽样）。一直取3次（回答3个 问题） • 一次抽取得到红色（答对）的概 率为 p=1/5, 而得到蓝色的概率 为q=1-p=4/5.
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如 同 给 人 画 像 一 样
数 据 的 描 述
直方图
• 比如某个地区（地区1）学校高三男生 的身高；有163个度量如何用图形来表 示这个数据，使人们能够看出这个数 据的大体分布或“形状”呢？一个办 法就是画一个直方图(histogram)。
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10 Std. D ev = 10.91 M ean = 170.9 0 150.0 155.0 160.0 165.0 170.0 175.0 180.0 185.0 190.0 195.0 200.0 N = 163.00
Density
0.15 0.1 0.05 0 -4
-3
-2
-1
0 Critical Value
1
2
3
4 26
• 分布 N(0,1) 和N(-2,0.5)的密度函数
不同均值 m 和标准差 s 的 密度曲线有不同的位置和 形状
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 27
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我们就是要通过对世界 的观测数据，在随机性 中寻找用概率和数学模 型描述的规律性
总体：我们感兴趣的那部分现实世界 • 总体通常用变量来代表 • 变量可以是一维或多维的 • 变量可以是定性或者定量的 • 定性变量由随机(数量)变量描绘 • 随机变量有分布（总体分布） • 而分布又由（总体）参数来区别 • 总体和变量永远也不可能全部认识 • 只有通过样本才能够明白
Probability Between Limits is 0.53281 0.4 0.35
比如，概率 P(-.5<x<1), 为在区间 (-.5,1) 上曲线下面的面积.
0.3 0.25
Density
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4
24
-3 -2 -1 0 Critical Value 1 2 3 4
n n
二项随机变量
• n 次同等条件的独立试验 • 每次试验仅有两种结果，通常记为S (成功) 和 F (失败). • 成功（S）的概率在每次试验保持不变， 用p表示, 失败 （F）概率则为 q=1-p. • n 次试验中成功的数目x, 则为二项随机 变量.
21
Poisson随机变量
• 在某些固定的条件下, 人们认为某些事件出现的 次数服从Poisson分布, 比如 • 在某一个时间段内某种疾病的发生病数, • 显微镜下的微生物数, 血球数, • 门诊病人数, • 投保数, • 商店的顾客数, • 公共汽车到达数, • 电话接通数等等. <
8
总体通常用变量来代表
• 一个调查问卷可能有关于性别、 年龄、收入、观点、教育程度、 财产情况、纳税情况、职业等问 题。 • 这些：性别、年龄、收入、观点、 教育程度、财产情况、纳税情况、 职业等，都是变量
9
变量可以是一维或多维的
• 年龄，收入等都是一维的 • 而地理坐标就是二维的 • 许多变量的组合，则可能是多维的。
地 区 1高 三 男 生 高 度
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盒型图
•比直方图简单一些的是盒形图 (boxplot，又称箱图、箱线图、盒子 图)。后面图的左边一个是根据地区1高 三男生的身高数据所绘的盒形图；其 右边的图代表另一个地区（地区2）的 高三学生的身高
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
210
200
158 96 5
190
248 250 259 323
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随机变量有分布（总体分布）
• 有离散性分布（如二项分布、 Poisson分布、超几何分布）> • 也有连续性分布（如正态分布、 t分布，c2分布，F分布）>
13
离散分布
14
随机回答选答题可能得到的分数 • 例: 纯粹随机回答三个单选题（每个5种选择）可 能答对0、1、2、3题的概率为
0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
t分布c2分布和F分布
• 这几个分布都是正态分布导出的分布， 一般不描述什么实际现象，但是在进行 检验时，总体为正态分布的随机变量的 一些变换呈这些分布，用于相应的检验。 比如t检验c2检验和F检验。 • 其实，t分布是正态变量标准化时，用 样本标准差s代替总体标准差s的结果。 c2分布为独立正态变量的平方和的分布， F分布为c2分布（除以其自由度后）之 比。
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有些概率是可以估计的
• 如掷骰子。只要没有人做手脚，你得到 任何点的概率都应该是六分之一。 • 这反映了掷骰子的规律性。 • 但掷出骰子之后所得到的结果还只可能 是六个数目之一。 • 这体现了随机性。 • 如果你掷1000次骰子，那么，大约有六 分之一的可能会得到6；这也说明随机结 果也具有规律；而且有可能通过试验等 方法来推测其规律。
10
变量可以是定性或者定量的
• 性别、观点、教育程度、职业等 变量是定性的。 • 年龄、收入、财产情况、纳税情 况等变量可以是定量的
11
定性变量也要由随机(数量)变量描绘 • 性别、观点、教育程度、职业等 变量是定性的，无法用数量直接 描述 • 但是，它们的频数、比例等可以 用数量描述 • 没有用数量描述的量，无法参加 数据分析过程
18
三次抽取(回答3题)
均观测不到红球(答对0题)的概率为
p(0)=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=(4/5) (4/5) (4/5)=(4/5)3= q3＝ 0.512
• 只观测到1次红球(恰答对1题)的概率为
p(1)=P(RBB)+P(BRB)+P(BBR)=(1/5) (4/5) (4/5)+ (4/5)(1/5)(4/5)+(4/5) (4/5)(1/5)=3(1/5)(4/5)2=3pq2= 0.384.
2
随机性和规律性 • 从总体来说，我国公民的预期寿 命却是非常稳定的。而且女性的 预期寿命也稳定地比男性高几年。 这就是规律性。 • 你可能活过这个寿命，也可能活 不到这个年龄，这是随机的。 • 但是总体来说，预期寿命的稳定 性，却说明了随机之中有规律性。 这种规律就是统计规律。
3
概率和机会
• 常听到概率这个名词。如天气预报中 提到的降水概率。如果降水概率是百 分之九十，那就很可能下雨；但如果 是百分之十，就不大可能下雨。 • 因此，从某种意义说来，概率描述了 某件事情发生的机会。 • 显然，这种概率不可能超过百分之百， 也不可能少于百分之零。换言之，概 率是在0和1之间的一个数，说明某事 件发生的机会有多大。
基本概念介绍
吴喜之
随机性和规律性
• 有许多定律，例如牛顿三定律，物质不 灭定律，爱因斯坦相对论等等。 • 但是在许多领域，很难用如此确定的公 式或论述来描述一些现象。比如，人的 寿命。一个吸烟、喝酒、不锻炼、而且 一口长荤的人可能比一个很少得病、生 活习惯良好的人活得长。 • 可以说，活得长短是有一定随机性的 (randomness)。这种随机性可能和人的 经历、基因、习惯等无数说不清的因素 都有关系。
25
Probability Between Limits is 0.024998
标准正态分布N(0,1), m=0, s=1.
0.35 0.3
0.4
F(1.96)=P(Z<1.96)=0.9750021=1-P(Z>1.96) 0.25 =1-0.02499790 0.2 P(Z>1.96)=1-F(1.96)=1-0.9750021=0.02499790