北航2015年随机过程理论真题
随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案
第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
2015北京航空航天大学航空宇航系统安全与可靠性工程考研专业目录招生人数参考书目历年真题复试分数线答题
第一，明确案例的理论依据——市场失灵理论、政府失灵理论和 政策工具理论。然后阐述市场失灵和政府失灵的概念及其表现，阐释 政策工具的定义和种类。
第二，结合材料进行分析。结合材料具体说明为什么在房地产市 场既存在市
场失灵也存在政府失灵，以及运用什么政策工具。 【案例分析题答题注意事项提示】： 第一，不要就事论事，要先分析、铺垫理论。 第二，要做到理论和材料的有效结合，不能理论材料两张皮。结
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【考研名师答题方法点拨】 这道题目可以作为“复合型名词解析”来解答。最主要的还是要
解释清楚题目中的重要名词。 对于答题思路，还是按照课堂总结的“三段论”的答题模式。 一
般可以归类为“A 是…”“A 和 B…”“AB 和 C”的关系三种类型， 分别做答。
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【名词解释答题示范】 例如：“行政权力”。 第一，什么是行政权力（核心意思，尊重课本） 第二，行政权力的几个特征，不必深入解释。 第三，行政权力的 5 点内涵。 具体一点，如，“行政责任”。 行政责任是指政府及其构成主体行政官员(公务员)因其公权地
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•阐释论述题中重要的相关概念，并把论述题中重要的核心理论 要点写出来。这部分是考察书本的理论知识的掌握，是后面展开分析 的基础。
‚要分析问的原因或者必要性。这部分构成了论述题中的“论”， 要写的像论文里面的分论点，对于每一个分论点要适当的“述”。这 是论述题的关键，结合课本，选好切入的角度至关重要。
位和公职身份而对授权者和法律以及行政法规所承担的责任。 行政责任的特征包括：①行政责任是一种责任；②行政责任是一
种义务；③行政责任是一种任务；④行政责任是一种理论；⑤行政责 任是一种制度；⑥行政 责任是一种监控体系。
2016-2017年北京航空航天大学研究生随机过程课程试卷
2016-2017学年 第一学期期末试卷学号 姓名成绩考试日期：2017年01月09 日 考试科目：《随机过程理论》（A 卷）一、（本题共10分，毎小题2分）判断下列说法的正误。
1. 平稳随机过程的线性变换一定是平稳随机过程。
2. 随机过程可以被看作是一簇依赖于时间的随机变量的集合。
3. 高斯随机过程的狭义平稳和广义平稳不一定等价》4. 到达时间间隔相互独立且服从相同负指数分布的计数过程为泊松过程。
5. 齐次马尔可夫链的有限维分布可以由其初始分布和一步转移概率确定。
二、（本題共18分，每小题6分）简要回答下列问题。
1. 平稳随机过程相关系数、相关时间的定义及其相互关系。
2. 随机过程独立、不相关和正交的定义及相互关系。
3. 两个随机过程联合平稳的定义及其判定。
三、（本题18分）设随机过程()cos()X t a t ω=++Φ，其中0a >，0ω>，0Φ>是 均匀分布于区间[],ππ-的随机变量。
证明：1.()X t 是广义平稳过程 2.()X t 具有均值各态历经性； 3. ()X t 与其均方导数方程()Xt 在同一时刻互不相关。
四、（本题14分）窄带实平稳随机过程()()()00cos sin c s X t X t t X t t ωω=-其中02ωπ>>，()c X t 为同相分量，()s X t 为正交分量。
已知()c X t 与()s X t 的互功率谱密度()0s c X X S ω=, ()c X t 的自功率谱密度为() -0 00 c S πωπωωπωωπ+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他1.()X t 的自相关函数； 2.()X t 和()ˆX t 的互功率谱密度()ˆXX S ω； 3. ()X t 的复表示()Xt 的自功率谱密度。
五、（本题20分）功率诺密度为1的零均值离白噪声()N t 通过理想低通滤波器()h t ，输出为()X t 且有() 1 -110 H j ωω≤≤⎧=⎨⎩其他令()()()Y t X t X t T =--，其中0T >1.()X t 的自相关函数()X R τ; 2.()Y t 和()N t 的互功率谱密度()YN S ω 3. ()Y t 的一维和二维概率密度函数。
随机过程习题解析
其中 k 是 Boltzman 常数, T 为绝对温度, 给定分子的总动能为 e. 试求 x 方 向的动量的绝对值的期望值. 解：由题中所给分布律知分子质量为单位质量, 即有 e = 则所求为 ] [ ) 1( E |Vx | Vx2 + Vy2 + Vz2 = e 2
1 2
( 2 ) Vx + Vy2 + Vz2 .
4 解： EY (t ) = EX (t + 1) − EX (t ) = λ RX (s, t ) = Cov(X (s + 1) − X (s), X (t + 1) − X (t )) = Cov(X (s + 1), X (t + 1)) + Cov(X (s), X (t )) − Cov(X (s), X (t + 1)) − Cov(X (s + 1), X (t )) = λ [min(s + 1, t + 1) + min(s, t ) − min(s, t + 1) − min(s + 1, t )] 令 β = s − t , 当 β > 1 或 β < −1 时, RY (s, t ) = 0 当 0<β 当 −1 1 时, RY (s, t ) = λ (t + 1 + t − s − t ) = λ (t − s + 1)
这说明了 (Xn1 , · · · , Xnk ) 的分布函数与 n1 , · · · , nk 无关, 故 {X1 , X2 , · · · } 严平稳. 9. 令 X 和 Y 是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标 和纵坐标. 试计算条件概率 (
2 2
2015年北航期末试卷A
北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期末《机械原理》考试A 卷班级______________学号_________姓名______________成绩_________2015年7月6 日一、（本题14分）已知三杆EH，FI，GJ相互平行且长度相等，计算图示机构的自由度。
如有复合铰链、局部自由度、虚约束必须指出。
二、（本题14分）在图示机构中，已知构件1以角速度ω1沿逆时针方向转动。
在图示瞬间，试用瞬心法求构件2的角速度ω2和构件6的速度V6的大小及方向（只需写出表达式）。
三、（本题15分）已知曲柄摇杆机构中摇杆CD的长度l CD=75mm，机架AD的长度l AD=100mm，行程速度变化系数K=1.25，摇杆的右极限位置与机架间的夹角φ= 45°。
重新作图，求曲柄和连杆的长度l AB、l BC。
（长度比例尺μ=0.001m/mm）四、（本题14分）根据图示凸轮机构，回答下列问题：（1）标出该凸轮的基圆。
（2）标出凸轮从图示位置转过90º时凸轮机构的压力角α。
（3）标出凸轮从图示位置转过 90 º时从动件的摆角ψ。
五、（本题15分）在相距160mm的O1、O2两轴间，欲采用两个渐开线标准直齿圆柱齿轮作外啮合传动，设m=8mm，α = 20º，*1h=，z1=18，z2=21。
要求：a（1）计算两个齿轮分度圆、基圆及齿顶圆半径；（2）计算两个齿轮的节圆半径；（3）通过作图计算重合度，判断能否连续转动。
六、（本题14分）在下图所示轮系中，已知各轮齿数分别为Z1=21，Z2=35，Z2'=18，Z3=20，Z4=40，Z4'=35，Z5=63，Z5'=32，Z6=17，Z7=32，齿轮1的转速为n1=750r/min，转向如下图。
求齿轮7的转速n7，并指出其转向。
七、（本题14分）在图示的剪床机构中，作用在O2主轴上的等效阻力矩M r的变化规律如图所示，其大小为M´r = 20Nm，M "r = 1600Nm，轴O1上施加的驱动力矩M1为常量。
随机过程试题与答案
随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。
4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。
二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。
（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。
则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 随机过程的数学定义是：A. 一系列随机变量的集合B. 一系列随机事件的集合C. 一系列随机数的集合D. 一系列确定的数列答案：A2. 马尔可夫性指的是：A. 过程的未来状态只依赖于当前状态B. 过程的过去状态只依赖于当前状态C. 过程的未来状态和过去状态都依赖于当前状态D. 过程的未来状态和过去状态都不依赖于当前状态答案：A3. 泊松过程的特征是：A. 事件在连续时间内均匀且独立地发生B. 事件在离散时间内均匀且独立地发生C. 事件在连续时间内非均匀且独立地发生D. 事件在离散时间内非均匀且独立地发生答案：B4. 布朗运动是：A. 一种确定性过程B. 一种随机游走过程C. 一种马尔可夫过程D. 一种泊松过程答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 随机过程的数学定义是一系列______的集合。
答案：随机变量2. 马尔可夫链的基本性质是______。
答案：无后效性3. 泊松分布的参数λ表示单位时间内事件发生的______。
答案：平均次数4. 布朗运动的增量具有______性。
答案：独立三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述随机过程与随机变量的主要区别。
答案：随机变量是单个的随机试验结果，而随机过程是一系列随机试验结果的集合，具有时间序列特性。
2. 描述马尔可夫链的无后效性。
答案：无后效性指的是马尔可夫链的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
3. 说明泊松过程的独立增量特性。
答案：泊松过程的独立增量特性指的是在不相交的时间间隔内发生的事件是相互独立的。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 设随机过程{X(t)}为泊松过程，参数λ=3，求t=2时的事件数的分布。
答案：泊松分布，参数λ=6。
2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P和初始状态分布π，求马尔可夫链在第n步的状态分布。
答案：根据马尔可夫链的性质，第n步的状态分布为πn = πP^n。
北航概率统计与随机过程历年试卷合集
北航概率统计与随机过程历年试卷合集本资料包含07~08(2)——09~10（2）之间共四份真题试卷（含答案），其中09~10（1）因未知原因无法获取。
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）懂得共享才是真正的强者！如果有谁得到更新的试卷请积极补充并发布，北航的同学们会感激你滴！最后，祝你能在期末考试中取得理想的成绩！还等什么，赶快享用以下资源吧~~北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2007－2008 学年第二学期期末考试统一用答题册班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________A2008年6月26 日一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1、 设事件A 、B 为任意事件,则下列各式中成立的是( )。
(A) )()()(B P A P B A P +=+； (B) )()()(B P A P B A P -=-； (C) )()()()(A P AB P B P B A P -+=-； (D) )()()(B P A P B A P =- 。
2、 有)3(≥n n 个人随机围坐在一个圆桌的一圈, 甲、乙两人相邻的概率是（ ）。
(A)n 2； (B) 12-n ； (C) )1(2-n n ； (D) )!1(1-n .3、 已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,020,)(x bx a x f , 且41}1{=≥X P ,则有( ) 。
(A) 21,1-==b a ； (B) 1,21=-=b a ；(C) 21,1==b a ； (D) 1,21==b a 。
4、 设随机变量X 在]2,2[ππ-上服从均匀分布,则X Y cos =的概率密度为（ ）。
2015-2016年北京航空航天大学研究生随机过程考试试卷
北京航空航天大学2015〜2016学年第一学期 随机过程理论期末考试试卷(2015年11月29曰)班级： 学号： 姓名： 成绩： 注意事项：1、所有答案请写在答题纸上，并在每一页答题纸上写上学号、姓名2、考试完毕后，所有答题纸、草稿纸一律上交。
一、（本题35分，每小题5分）简要问答下列问题。
1. 平稳随机过程的各态历经性及其意义。
2. 平稳随机过程通过线性时不变系统，输出过程不一定是平稳随机过程。
3. 高斯平稳随机过程与其导数过程在同一时刻相互独立。
4. 白噪声过程通过线性系统后输出过程的相关时间和噪声等效通频带的定 义，以及它们之间的关系？5. 什么是实随机过程的复表示？并给出复表示的功率谱密度。
6. 两个相互独立的泊松过程的和仍然是泊松过程。
7. 马尔可夫链的切普曼-科尔莫戈罗夫方程及其意义。
二、(本题15分）设()1k nj t k k Z t A e ω==∑，其中k ω，1,,k n = 是实数：k A ，1,,k n= 是均值为零的实随机变量，且有 1 0 i j i j E A A i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩，请计算： 1. ()Z t 的均值和自协方差函数；2. ()Z t 的均方值；3. ()Z t 是否为平稳随机过程？三、（本题10分）设随机过程()X t 和()Y t 为()00cos sin X t U t V t ωω=+()00sin cos Y t U t V t ωω=+其中00ω>，U 和V 是两个相互独立的高斯随机变量，且有()()0E U E V ==()()221E U E V ==，试计算1. X t 和Y t 的均值和自相关函数；2. ()X t 和()Y t 的互相关函数和互功率谱密度；3. ()X t 和()Y t 在同一时刻的联合概率密度函数。
四、（本题20分）设()X t 为具有单位谱高的零均值白噪声过程，其通过传递函数分别为()1H j ω和()2H j ω的两个理想带通滤波器，输出分別为()1Y t 和()2Y t ，其中：()11 1 20 B H j ωωω⎧±<⎪=⎨⎪⎩其他，()22 1 20 B H j ωωω⎧±<⎪=⎨⎪⎩其他试计算:1. ()1Y t 和()2Y t 的互相关函数及互功率谱密度；2. ()1H j ω和()2H j ω满足什么条件.可以使()1Y t 和()2Y t 互不相关？3. 如果要使得()1Y t 和()2Y t 的互相关系数为0.5，则()1H j ω和()2H j ω应满足什么条件？五、（本题10分）具有单位进高的零均值高斯白噪声过程()X t 均方枳分后输出 过程为()()0tW t X s ds =⎰，()00W = 请计算:1. ()W t 的均值和自相关函数；2. ()()21W t W t -的均值和均方值。
随机过程参考题
随机过程参考题2014-2015随机过程参考题一.判断题1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布．（） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11 n nk k k k E X E X ==??=∏∏．（）3．若12(,,)n F x x x 是随机向量1=,,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的．（） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性．（）5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性．（） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布．（）7．复合P o i s s o n 过程一定是计数过程．（） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等．（）10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定．（） 12．对独立的随机变量1, ,n X X ，都有[]11n nk k k k Var X Var X ==??=∑∏．（）13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。
（）14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过程．（） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性．（）17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新．（） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数．（）19．马尔科夫链具有无后效性．（）20．Poisson 过程是更新过程．（）具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。
北京航空航天大学概率统计各章试题 概率统计与随机过程各章试题
第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。
(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。
二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。
（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。
三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。
1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。
北京航空航天大学2008-2009年概率统计与随机过程历年试卷(第二学期)
。
5、设随机变量 X 在 (
, ) 上服从均匀分布,则 Y tan X 的概率密度为 2 2
。
fY ( y )
6、设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1 , X 2 , , X n 是来自于 X 的一个样本，令 X
1 n 1 n 2 ˆ ， X ( X i X )2 。 i n i 1 n 1 i 1
1 n 1
， （B）
2
（A）
1 1 ， （ C） ， n 1 n
（ D ）
）.
1 。 n
4、设随机变量 X ~ N ( , ) ,则 E | (A)
4
；
(B)
2
4
求 E X Y 及 E XY 。
六、（满分 12 分）
设总体 X ~ N (1 , 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) ，且 X 与 Y 相互独立；
X1 , X 2 , , X n ; Y1 , Y2 , , Ym 别是来自 X 和 Y 的样本，
4、D；5、C；6、C；
1、D；2、B；3、A 。
二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分
1 1 ；2、 2 2 p 1 (1 p)
1、 P{ X取奇数}
p
fY ( y )
1 1 y2
1
,
y
2 4 3、 DS ( n 1)
2
.
n n CN n! AN N! 5 1 4、 P ( B ) ； 5 、 Nn N n N n ( N n)! 5 15 4 22 11 P( A) 56 28
随机过程考试试题及答案详解
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
随机过程考试题及答案
随机过程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常不包括以下哪一项？A. 样本空间B. 事件集合C. 概率测度D. 随机变量答案：D2. 以下哪个不是随机过程的分类？A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 确定性过程D. 马尔可夫过程答案：C3. 在随机过程中，以下哪个是描述过程统计特性的参数？A. 均值B. 方差C. 协方差D. 所有以上选项答案：D4. 以下哪个不是随机过程的数学期望的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 乘法性答案：D5. 随机过程的协方差函数描述了什么？A. 过程的均值B. 过程的方差C. 过程的自相关性D. 过程的非线性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。
答案：随机2. 随机过程的平稳性包括______平稳性和宽平稳性。
答案：严3. 随机过程的遍历性是指过程的统计特性可以通过______观测得到。
答案：足够长时间4. 马尔可夫过程的特点是无后效性，即过程的未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于______。
答案：过去状态5. 随机过程的谱密度函数是自相关函数的______。
答案：傅里叶变换三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个随机过程X(t)，其自相关函数为R_X(τ)=e^(-|τ|)，求该过程的功率谱密度S_X(f)。
答案：S_X(f)=\frac{1}{1+π^2f^2}2. 已知一个离散时间随机过程Y(n)，其均值为μ_Y=0，方差为σ_Y^2=1，且满足Y(n)=Y(n-1)+W(n)，其中W(n)为均值为0，方差为1的白噪声过程。
求Y(n)的自相关函数R_Y(k)。
答案：R_Y(k)=\begin{cases} 1, & k=0 \\ \frac{1}{2^{|k|}}, & k\neq 0 \end{cases}四、简答题（每题5分，共20分）1. 简述随机过程与随机变量的区别。
北航 研究生 随机过程 2007-2008
2007-2008学年第一学期期末试卷随机过程理论A 卷一、设随机过程t B t A t X 00sin cos )(ωω+=，式中0ω为常数，随机变量A 、B 相互独立且同分布，均服从),0(2σN 。
试问：)(t X 是广义平稳随机过程么？)(t X 是严格平稳随机过程么？)(t X 是各态历经的么？为什么？（10分）二、设联合平稳随机过程)(1t X 和)(2t X ，它们的频域表示为)(1ωX 和)(2ωX ，将它们通过双输入、双输出线性系统，则有)()()()()(),()()()()(22212122121111ωωωωωωωωωωH X H X Y H X H X Y +=+=试求)(1t Y 的功率谱密度)(1ωY S 以及互谱密度)(21ωY Y S 。
（17分）三、设题图1所示的系统的输入)(t X 是平稳高斯随机过程。
若随机过程)(t Z 的功率谱密度为）（0)1)((21)()(2222>++++=βωωββωωπδωZ S 试求)()(t Y t X 、各自的相关函数)()(ττY X R R 、。
（18分）四、设)(t X 为一个零均值高斯过程，其功率谱密度)(ωX S 如题图2所示，若每T 秒对)(t X 取样一次，得到随机变量)()(X )0(NT X T X ，，、…。
求)()(X )0(NT X T X ，，、…的联合概率密度，并说明当T 取何值时，它们相互独立？（17分）ω五、设信号加噪声过程为)(])(2cos[)(0t N t f f a t X d ++=π，其中a 为常数，00002sin )(cos )()(f t t N t t N t N s a πωωω=−=，，)(t N 是理想窄带高斯过程，其双边谱密度为：其他2||02{)(00B f f N f S N ≤±=，并且2B f d <（B 是正常数），于是可写])(2sin[)(])(2cos[)(])(2cos[)(000t f f t q t f f t p t f f a t X d d d +−+++=πππ，试用)(t N c 和)(t N s 表示)(t p 和)(t q ；并求)(t p 的自相关函数)(t R p 及功率谱密度)(ωp S 。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列随机事件的集合C. 一系列随机数的集合D. 一系列随机函数的集合答案：A2. 马尔可夫链的无记忆性是指什么？A. 未来的状态只依赖于当前的状态B. 未来的状态只依赖于过去的状态C. 未来的状态只依赖于过去和现在的状态D. 未来的状态不依赖于任何状态答案：A3. 布朗运动的增量具有什么性质？A. 独立性B. 均匀分布C. 正态分布D. 指数分布答案：A4. 随机过程的平稳性是指什么？A. 过程的统计特性随时间不变B. 过程的统计特性随时间变化C. 过程的状态随时间不变D. 过程的状态随时间变化答案：A5. 泊松过程是哪种类型的随机过程？A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 离散空间随机过程D. 连续空间随机过程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。
答案：随机2. 随机过程的独立增量性质是指在不相交的时间间隔内，随机过程的增量是______的。
答案：相互独立3. 随机过程的遍历性是指在足够长的时间后，随机过程的统计特性将______。
答案：趋于稳定4. 随机过程的平稳性分为严格平稳和______平稳。
答案：宽5. 一个随机过程的自相关函数是描述该过程在不同时间点的______的函数。
答案：相关性三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答案：随机过程的遍历性是指在足够长的时间后，随机过程的统计特性将趋于稳定，即过程的统计特性不随时间变化而变化，表现出一种长期的行为模式。
2. 描述随机过程的平稳性与独立增量性质的区别。
答案：随机过程的平稳性是指过程的统计特性随时间不变，即在任意时间点上，过程的统计特性都相同。
而独立增量性质是指在不相交的时间间隔内，随机过程的增量是相互独立的，即一个时间间隔内的增量不影响另一个时间间隔内的增量。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。
答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。
答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。
这种性质称为_________。
答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。
答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。
答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。
答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。
随机过程考试及答案
随机过程考试及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机过程的数学定义是（）。
A. 随机变量的集合B. 随机变量序列C. 随机变量的函数D. 随机变量的积分答案：B2. 马尔可夫过程具有（）。
A. 独立性B. 无后效性C. 齐次性D. 以上都是答案：D3. 布朗运动具有（）。
A. 独立增量B. 正态分布C. 连续样本路径D. 以上都是答案：D4. 泊松过程具有（）。
A. 独立增量B. 无后效性C. 齐次性D. 以上都是答案：D5. 随机过程的均值函数是（）。
A. 随机变量的期望值B. 随机变量的方差C. 随机变量的协方差D. 随机变量的协方差矩阵答案：A6. 随机过程的协方差函数是（）。
A. 随机变量的期望值B. 随机变量的方差C. 随机变量的协方差D. 随机变量的协方差矩阵答案：C7. 随机过程的谱密度函数是（）。
A. 均值函数的傅里叶变换B. 自相关函数的傅里叶变换C. 协方差函数的傅里叶变换D. 以上都不是答案：B8. 随机过程的平稳性是指（）。
A. 均值函数是常数B. 自相关函数是常数C. 自相关函数仅依赖于时间差D. 以上都是答案：C9. 随机过程的遍历性是指（）。
A. 均值函数是常数B. 自相关函数是常数C. 自相关函数仅依赖于时间差D. 时间平均等于集合平均答案：D10. 随机过程的可分性是指（）。
A. 均值函数是常数B. 自相关函数是常数C. 自相关函数仅依赖于时间差D. 过程可以分解为独立增量的和答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 随机过程的数学定义是随机变量的________。
答案：序列2. 马尔可夫过程具有无后效性，即未来状态仅依赖于当前状态，而与过去状态________。
答案：无关3. 布朗运动是一种连续时间随机过程，具有独立增量、正态分布和连续样本路径等性质。
答案：连续时间随机过程4. 泊松过程是一种计数过程，具有独立增量、无后效性和齐次性等性质。
答案：计数过程5. 随机过程的均值函数是随机变量的________。