福建省南平市第一中2018年第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷含答案

2018年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科试卷
考试时间：90分钟 满分100分
就读学校： 姓名： 考场号： 报名号：
1．2
1
)
2(--m m 化简后的结果为( ) A.2-m B.m -2 C.m --2 D.2--m
2．式子
|
|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能值的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
3．某班开展课外选修课活动，班级的50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门，选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4．已知二次函数622
--=x x y ，当4≤≤x m 时，函数的最大值为2，最小值为7-，则满足条件的m 的取值范围是( )
A.1≤m
B.12<<-m
C.12≤<-m
D.12≤≤-m 5．适合
13≤--y
x y
x ，且满足方程13=+y x 的x 的取值范围是( ) A.410<
≤x B.4121<≤-x C.410≤≤x D.4
121≤≤-x 6．已知B A 、两点在一次函数x y =的图象上，过B A 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(2
>=x x
y 于N M 、两点，O 为坐标原点。

若AM BN 3=，则229ON OM -的值为( )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 36 7．在N M BAC ABC Rt 、，中，︒=∠∆90是BC 边上的点，MN CN BM 2
1
==，
如果8=AM ，6=AN ，则MN 的长为( )
A.104
B.102
C.102
3
D.10
8．将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对
),(m n 表示第n 排，从左到右第m 个数，如)2,4(表示奇
数15，则表示奇数2017的有序实数对是( )
A.)19,44(
B.)26,45(
C.)19,45(
D.)27,45(
9．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作AC BF ⊥，垂足为F ，设n CF m AF ==,，若CD CF 2=，则m
n
的值为( )
A.222+
B.123+
C.132+
D.152-
10．已知正整数b a 、满足5350≤+≤b a ，8.079.0<<
b
a
，则a b -等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
11．函数3172--+--=
x x x y 的最大值为 .
12．如图，在平行四边形ABCD 中，4===BD BC AB ，N M 、分别是CD AD 、上的动点（含端点），︒=∠60MBN ，则线段MN 的长的取值范围是 .
13．毕业季将至，宿舍的四位同学每人写了一张明信片放进纸盒，准备毕业时每个人随机抽取一张，则每个人都拿到的是别人的明信片的概率是 .
14．如图，直线AB 和AC 与圆O 分别相切于C B 、两点，P 为圆上一点，且点P 到BC AB 、的距离分别为6和4，则点P 到AC 的距离为 .
三、解答题（本大题5小题，共58分）
15．(10分)
(1)计算：︒+++
-+-30cos 23
23
|323|)3(0
π
(2)因式分解：6522
3+--x x x
第一排 第二排 第三排 第四排
7
(13)
15 178 19
3 5
1 9
11
16．(10分)
(1)已知有理数b a ,满足2234102)2(+-=-+b a ,求b a ,的值； (2)解方程29
89=---x x
x x
17．(12分)已知21,x x 是一元二次方程0122=++-k kx kx 的两个实数根； (1)若k x x x x 8)2)(2(2121-=--成立，求实数k 的值； (2)是否存在整数k ，使2
1
12x x x x +的值为整数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

18．(12分)已知函数||a x y -=，
(1)当2=a 时，在图1所示的平面直角坐标系内作出该函数图象的简图；
(2)若长方形ABCD 四个顶点的坐标分别为)2,2(),2,2(),0,2(),0,2(--，设长方形ABCD 在函数||a x y -=的图象以上部分的面积为S ，当40<<a 时，求S 关于a 的函数关系式。

第18题图1 第18题图2 第18题（备用图）
19．(14分)在平面直角坐标系中，一次函数33
3
-=
x y 的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线)0(3
3
22
≠+-
=a c x ax y 经过C B 、两点，设抛物线与x 轴的另一个交点为A ； （1）求该抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP ∆为直角三角形，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF ∆的周长最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

第19题图1 第19题图2 第19题（备用图）
2018年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科答卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空
题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
三、解答题（共58分）
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10
第19题图1 第19题图2第19题备用图
2018年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科答案
一、选择题
DBBDA CBDAC
二、填空题
11. 5 12. ]4,32[ 13. 83 14. 3
8 三、解答题（本大题5小题，共58分）
15．(1) 解：原式=23
2)
32)(32()32(3)323(1⨯+++-⨯+
-- 33363231+-++-=
4=………………… …………………………………………………………………5分 (2) 解：原式=65223+---x x x x
)1)(6()1(2
-+--=x x x x )6)(1(2
---=x x x
)3)(2)(1(-+-=x x x …………………………………………………………………10分
16．（1）解：右边=22246)12(410)12(4102
-=-=
+-=+-…………………3分
所以⎩⎨
⎧-=-=122b a 即⎩
⎨⎧==12
b a …………………………………………………………………5分
(2)解：令x
x t 9
-=
，则0>t 原式可化为28
=-
t
t ，整理得0822=--t t ，解得24-==t t 或（舍去）…………8分 从而
49=-x x ，两边同时平方解得5
3
-=x 。

…………………………………………10分 另：若用两边同平方的方法，未检验的，扣2分。

17．解：（1）由已知得0≠k ，且方程有两个实数根，
所以0)1(4)2(2
≥+--=∆k k k ，解得0<k 由韦达定理得221=+x x ，k
x x 1
121+=………………………………………………2分
21221212
22121219)(2522)2)(2(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--
k k
k 89
1)11(942-=--=+
⨯-
⨯
=…………………………………………………
4分 整理得0982=--k k ，解得8
9
1=-=k k 或，又因为0<k ，所以1-=k …………………6分
（2）2
12122121212
221122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+1422142114+-
=-+=-+
=k k k k
………………9分 因为0<k ，所以11<+k 当11-=+k 时，2-=k 当21-=+k 时，3-=k 当41-=+k 时，5-=k
所以实数k 的整数取值为-2，-3，-5。

……………………………………………………………12分 18．（1）如图（画出图形即给分，不考虑过程）…………………………………………………………4分
（2）当20<<a 时，2
4)2)(2(2122212
a a a S -=-+⨯+⨯⨯=……………………………………8分
当42<≤a 时，2
)4()]2(2[2122
a a S -=--⨯=………………………………………………12分
所以，S 关于a 的函数关系式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<<-=4
22
)4(2
02
42
2
a a a a S
19．解：(1)因为直线33
3
-=
x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C 所以)3,0(),0,33(-C B
又因为点B 、C 都在抛物线上，从而⎩⎨
⎧=-+-=c
c
a 36270
解得3,31-==c a 则抛物线的解析式为3332312--=x x y ，故顶点)4,3(-F …………………4分 (2)存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为)3,0(),3,32(21--P P
由32,6,34===AC BC AB ，得222AC BC AB +=，即BC AC ⊥,
由抛物线的对称性知，存在两个点)3,0(),3,32(21--P P 满足题意。

…………………8分
(3)延长BC 到点B`，使B`C=BC ，连结B`F 交直线AC 于点M ，则点M 就是所求点。

……………9分 因为AC BC ⊥，所以点B`为点B 关于直线AC 的对称点。

又因为点)3,0(),0,33(-C B ，所以)6,33`(--B …………………10分
设直线B`F 的解析式为m kx y +=，
则⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-=-m k m k 34336，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==2963m k ， 所以直线B`F 的解析式为2
963-=x y ，…………………12分 与直线AC ：33--=x y 联立，解得交点M 坐标为)7
30,733(-， 所以在直线AC 上存在点M ，使得△MBF 的周长最小，此时点M )730,733(
-。

…………………14分。