第七章 多孔介质的渗流

标基矢量，则渗透率张量的矩阵为对角型。
K1 0 0
即：
K
n1 ,n2 ,n3


0
K2
0

0 0 K 3
坐标变换规律
设0x1 , x是2 ,原x3有已坐标系，其单位矢量为 其张量为： K ij (i,j=1,2,3)
e1 , e 2 , e3
ox1' , x2' , x3' 是变换了的已坐标系，其单位矢量为： e1' , e 2' , e3'
其张量为： K i' j' (i’,j’=1,2,3)。
变换规律为：
K i' j' ai'i a j' j K ij
单相渗流连续性方程的张量形式为：
DD(() d)ivv00
DtDt
为可地以层略去
孔隙度
对于稳定渗流
若流体是不可压缩的
divv 0
ivi 0
vx vy vz 0 x y z
在渗流中，粘滞力为阻力，且动力消耗主要用于渗流时克服 流体粘滞阻力。
渗流的驱动类型主要有：重力水压驱动、弹 性驱动、气压驱动、溶解驱动以及重力驱动。
在渗流过程中必有一种或多种驱动方式起重要 作用，其他驱动类型处于从属地位。驱动方式在 渗流过程中不是一成不变的，而是变化发展的！
K为地层渗透 5.2 不可压缩流体渗流及渗透率率的，是张一量个特张性量
油、水、气能够在多孔介质（岩石）中渗流是由于各 种力的作用，主要有以下几种：
1 流体的重力 重力有时是动力有时是阻力。
2 多孔介质（岩石）的压缩性及流体的弹性力
在油气开采以前，岩石和流体都处于均衡受压状态， 当 油气层投入开采之后，油气层的压力不断下降，上覆岩层 和油层内的流体压力之间形成压力差，岩石变形，岩石孔 隙体积减少，压缩孔隙中的流体驱使流体向压力较低的方 向运动。
1 0
2 塑性流体的一维渗流
塑性流体是一种带有屈服性质的非牛顿流体。渗流方程为：
w K (gradP gradP ),

gradP
w0
gradP
gradP
对于径向稳定流的情况，渗流方程为：
w Q K (P ), 2rh
vo


K o (S0 )
o
(Po

og
sin
a)
vw


K w (Sw )
w
(Pw

wg
sin
a)
为两相界面
引入拉普拉斯方程把油相和水相压力联系起来：上的界面张力
Pw

Po
( 1
R1

1百度文库R2
)
R1 , R2为毛细管液
面的主半径
小结：
D(oS0 )
Dt

odivvo

0
气体在标准条件下的密度：
g ,sc

sc
Z sc RTsc
气体的体积系数 ：
Bg

g,sc g
ZT Z scTsc
psc p
气体的压缩系数：
1 1 dZ Cg ( p) p Z dp
气体渗透率
K为在平均压力
p下和平均流量 Q下测得的气体渗
透率
b为孔隙大小和 分子自由程所决
定的参数
K

K (1
b) p
K 为克氏
渗透率
气体导压系数
在气体渗流中，由于气体压缩系数大大高于岩石的压 缩系数，因此往往在非稳定气体渗流中使用气体压缩系 数代替综合压缩系数，这样气体的导压系数为：
Kp g
但是对某些低渗气层可能不适用，此时可以采用综合
压缩系数：
K
K
组成一个封闭方程组。
5.4 气体渗流问题
气体比液体具有更大的压缩性。在研究气体渗流规律时，
可以仿照液体流体的研究方法，得出相似形式渗流方程，
但它们在物理实质则有差别。
1 气体渗流的基本特征
Z：压缩因子 （亦称偏差
状态方程和基本特性参数
因子）
真实气体的状态方程：
pV nZRT
R为气体 常数
T为绝对 温度
1 运动方程及窜流方程
设裂缝系统和团块中的渗流均服从达西渗流定律， 运动方程为：
裂缝系统
v1


K1

P1
岩块系统
v2


K2

P2
裂缝和孔隙之间的流体交换主要是在比较平缓的压力变 化下发生的，因此在这个过程中，可以认为窜流和时间无 关系。
窜流的流量主要取决于：
（1）流体的粘度；
（2）孔隙和裂缝之间的压差 P2 P1
（3）岩石的某些特征量，如长度、面积、
体积单位等等。
a 称为
窜流系数，
q为单位时间单位岩
无量纲量
石流经出过的因流次体分质析量得出窜流方程为：
q

a 0
(P2

P1 )
2 状态方程
P知为0压某力个已
无论是孔隙介质还是裂缝介质以及地层中流体均
是为可压缩的的，则裂缝和岩块的孔隙度的压缩特性
公式是：
(P2

P1 ) 0
即：
C1
Dp1 Dt

K1

P1

a

(P2
P1 ) 0
同理可得：
C2
Dp 2 Dt

K2

P2

a

(P2
P1 ) 0
以上两个式子为双重介质渗流的微分方程，通过简化，
可以求出简化模型解。
5.6 非牛顿流体渗流
流体的特性不服从粘滞阻力公式：
dw
w0
gradP gradP
对于径向不稳定流，连续性方程的形式为：
D( ) div(w) 0
Dt
假设孔隙介质和流体均是微可压缩的，则：
D( )
Dt

Kdiv(1

|

P
|)P,
P
g Cr g (Cr C g )
2 气体的稳定渗流 气体稳定渗流的基本方程如下： 运动方程
v K p

状态方程 若是理想气体，则有：
P RT
g '
K为渗透 率张量
连续性方程
D( g )
Dt

div(
g
v)

0
即：
D(
g
Dt
)


g

i
v
i
0
将运动方程和状态方程带入连续性方程，因为：
裂缝系统
D(01 )
Dt

div(v1
)

q

0
岩块系统
D( 0
Dt
2
)

div(v
2
)

q

0
将裂缝系统的运动方程、状态方程和窜流方程代入裂 缝系统的连续性方程中，有：
D( 0 1 ) Dt

div(v1 ) q
0C1
Dp1 Dt

0 K1
P1

a 0
由于两种介质储集性能和渗透性能的不同，使得压 力传播的速度不同，因此当渗流时，在空间的任意点应
同时引进两个压力（裂缝中的压力 和岩P块的压力 ） 和度两P）2个这渗样流v就2速行度形（成裂了缝两的个渗平流行速的度渗流和场岩，块v并的1 且渗两流个速渗
流场之间存在着流体交换，这种流体交换的物理现象称 为“窜流”。
3 毛管力
多孔介质是由无数个毛细管组成，这些毛细管纵横交错，四通 八达，当渗流由一种流体驱替另一种流体时，在两界面上产生压 力跳跃，它的大小取决于分界面的曲度，这个压力就称为毛管压 力。
4 流体的粘度及粘滞力 在流动的流体中，如果各种流体流速不同，将有一对作用力 和反作用力，使原来快的流层减速，而慢的加速。流体的这种属 性叫粘滞性。
2 P 2 P 2
KP t 令 KP 称为气体的导压系数

2 P 2 1 P 2 t
上式即为理想气体和稳定渗流的数学模型。
理想气体和稳定渗流的数学模型的适用条件是：
1）气体是单相渗流的； 2）符合线性渗流运动方程； 3）气体为可压缩的理想气体； 4）岩石的压缩性忽略不计，孔隙度视为常数； 5）渗流过程是等温的。
Dt
pscT t
2 p 2 2 p p 2
K t Kp t
上式为不稳定渗流的基本方程
取 ( p) Kp 称为气体得导压系数，它是一个与
压力有关的变量。因而，无法采用原来的方法求解。
在通常情况下，我们可以采用线性化方法（求解非稳定 问题），稳定状态逐次替换法。在某些情况下可用自模解 的方法获得精确解，但后者往往限于典型问题，并最终要 求用数值方法求解常微分方程。
非牛顿流体可以分为三大类，即纯粘性的非牛顿流体、 非稳态非牛顿流体和粘弹性流体。
纯粘性非牛顿流体，共有三种，其本构方程统一的形 式为：
f (dw / dy)
非稳态非牛顿流体的剪切应力除了与剪切速率有关 外还与作用时间有关，本构方程可以表示为：
f (dw / dy, t)
对于粘弹性非牛顿流体，即具有液体的粘性，又具有固体的 弹性特征，并具有部分保持和恢复其原有形态的能力。对于这 种流体，不仅要考虑剪切应力，而且要考虑其法向应力的作用。 例如其中一种被称为马克斯维尔流体的本构方程为：
dy
这样的流体都叫非牛顿流体。
下面将对无惯性项的非牛顿流体的非线性渗流规律进行讨论：
1 非牛顿流体的力学特性与类型
流体在外力的作用下将发生变形和流动，这种变形和流 动之间的关系和特点，就叫流体的流变性，表达流体流变 现象要用到流变状态方程，即本构方程。本构方程表达的 主要内容是剪切应力与剪切速度之间的关系。
div( g
v)


P'
RT
K

gradP


1 2
' K RT
(p 2
)
D( g ) D ( ' P ) ' DP 2
Dt
Dt RT 2PRT Dt
2 P 2 P 2
KP t 设 P 代表地层平均压力，并认为 P 是一个常数
裂缝系统 1 10 C1 (Pi P0 )
岩块系统 2 20 C2 (Pi P0 )
C为压缩 系数
对于其中的流体有：
裂缝中流体
eC (P1 p0 )
1
0
岩块中流体
eC (P2 p0 )
2
0
3 连续性方程 对于岩块系统和裂缝系统的连续性方程为：
简化为通常的渗流速度公式：
和孔隙结构有
关的常数
v 1 K u
根据连续性方程，对于气体渗流问题，有：
D( g )
Dt

div(
g
v)

0
当 Z Z S且c b1＝0时，有：
div(

g
v)


K

scTsc
p sc T
(
p)
由于 D( g ) scTsc p
D( wSw )
Dt

wdivv w

0
S0 Sw 1
vo


K o (S0 )
o
(Po

og
sin
a)
vw Pw

PoKw(wS(wR1)1( PR1w2
)
w
g
sin
a)
独立方程总数为6个共有6个待求的因变量
po , pw , vo , vw , So和S w
当 P 2 0 时，上式即变为气体稳定渗流的数学模型： t
2P2 0
3 气体的不稳定渗流
在气体渗流中，压力梯度与渗流速度往往不是线 性关系，即出现非达西渗流。这里仅取由量纲分析 导出的二项式达西渗流，表达式为：
P g v sgn(v)v 2
Kg
K
考虑气体的流动惯性，在线性达西渗流条是件与下孔，隙便度可
5.5 双重介质渗流
定义
所谓的双重介质就是分别由裂缝和孔隙构成，二者 又是全空间叠合在一起且相互影响的一个统一的渗 流场。
把这种双重介质孔隙结构地层典型的化为由互相 垂直的裂缝系统和被裂缝系统所切割开的岩块组成， 这就是所谓的双重介质渗流模型。主要有Kozemi模 型、De.Swan模型和Warren-Root模型等，这样的 模型既能体现地层的双重孔隙性，也能体现其双重渗 透性。
5.3 两相渗流问题
建立数学模型
设油水两种流体同时在多孔介质中流动，且流动服从达西定律。
对于油相的连续性方程为：
D(oS0 )
Dt

odivvo

0
对于水相的连续性方程为：
D( wSw )
Dt

wdivv w

0
饱和度方程：
S0 Sw 1
在考虑毛管力和重力影响时，油相和水相的a水渗是平流流面速动的度方夹分向角别与为：
第五章 多孔介质的渗流
含有大量任意分布的彼此连通且形状各异，大小 不一的空隙的固体介质叫多孔介质。
流体通过这种特征的多孔介质而流动则叫做渗流。
渗流力学是连续介质力学的一个重要分支，又是流体力 学和多孔介质理论、表面物理、物理化学、固体力学、生 物学等学科交叉渗透的一门边缘学科。
5.1 渗流过程中的力学分析及驱动类型
对于不可压缩流体地渗流问题，引入运动方程即达西公式为：
v 1K u
K可以表示为：
K11 K12 K13
K K 21
K 22
K
23

K 31 K 32 K 33
在特殊情况下,渗透率张量K是实对称的,所以至少存在三个
相互垂直主方向
。n1 , n 2 , n 3，若选 n1 , n 2 , n 3 为坐