有限单元法第十章优秀课件

（10.1）变为
（10.2）
工
程 其中
学
（10.3）
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
河 为简便，我们把动力问题化成静力问题，即把惯
北 性力和阻尼力看做体积力施加在结构物上，这样
工 就可按静力问题进行分析。
业 大 学 土
（1）位移、速度、加速度
在动力分析中，同静力分析一样首先对空间进行 离散。单元位移函数为
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 北 工
集中质量法简单地将单元的质量集中分配于单元 的节点，形成集中质量矩阵。假定质量集中在点上，
业 一般不考虑转动惯量，所以与转动自由度有关的质
大 量系数为零。集中质量矩阵是对角矩阵。
学
土 关于质量矩阵的对角化，最常用的方法是对一致
木 零，故其系数行列式必为零，即 工 程
（10.16）
学 求解方程组（10.15）的问题称为特征值问题。
木 质量矩阵的行求和，即
工
程
学
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 对于平面问题常应变单元，集中质量矩阵为
北
工
业
（10.10）
大
学
土
木 研究表明，采用一致质量矩阵将高估自振频率；
工 而采用集中质量矩阵则以同样量级低估最高自振
程 频率。因此有学者建议在实际中采用混合质量矩
学
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.1有限元方程
河 （2）地震问题
北 工 业 大 学 土 木
对于地震反应问题，直接作用在结构上的荷载
P=0,且阻尼力和弹性恢复力分别只与相对速度和
相对位移有关，而惯性力则与绝对加速度有关。现
仍以 分别表示相对加速度、相对速度和相对位
移， 表示地震牵连加速度（地面加速度）则式
木 比于单元质量矩阵，如式（10.7）。
工
程
（10.7）
学
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 如果假定阻尼应力正比于应变速度（由于材料
北 内摩擦引起的结构阻尼通常可以简化为这种情
工 况），则可表示为 业
大 学 土
于是，根据初应力的等效节点荷载公式（9.50）， 可以得到单元阻尼矩阵
计算结构的固有频率和固有振型称为特征值问题。 它是结构动力分析的基本内容，也是采用振型叠加 法计算结构动力响应的前提。
业 10.2.1 广义特征值问题
大 学 在式（10.1）中令P=0，得到自由振动方程。在 土 实际工程中，阻尼对结构自振频率和振型的影响
木 不大，因此可忽略阻尼力，从而得到无阻尼自由
北 若材料的质量密度为ρ，根据D’Alembert原理， 工 单元内单位体积上作用的惯性力为 业
大
（d）
学 土
由式（1.19）惯性力的等效节点荷载
木
工
程 学
其中，Me为单元质量矩阵，
院即
（10.4） （10.5）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
河 （3）阻尼力的等效节点荷载
工 振动的运动方程
程
（10.1）
学
院
（10.13）
第十章 动力分析
10.2 结构固有特性 10.2.1 广义特征值问题
河 式（10.13）为常系数线性齐次常微分方程组， 北 其解的形式为
工
（10.14）
业 将其代入式（10.13），可得齐次方程
大 学
（10.15）
土 在自由振动时，因结构中各节点的振幅不全为
土 向引起的力。
木 工 在对结构进行离散化处理时，分配单元质量的 程 常用方法有两种，即一致质量法和集中质量法。
学
院
（10.1）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 一致质量法按式（10.5）计算单元质量矩阵。此 北 时使用了与推导单元刚度矩阵相同的位移函数，故 工 称为一致质量矩阵。又因为单元的动能和势能是相 业 互协调的，也称为协调质量矩阵。 大 对于平面问题常应变三角形单元，一致质量矩阵为 学 土 木 工 程 学 院
北 假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为α，则
工 单元内单位体积上作用的阻尼力可表示为
业
大
（f）
学 阻尼力的等效节点荷载为
土
（g）
木
工
程 其中，Ce阻尼力的等效节点荷载为 学
院
（10.7）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
河 （4）动力有限元方程的建立
北
工 用P表示外部动荷载产生的整体节点荷载向量，
有限单元法第十章
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程
河 10.1.1有限元方程
北 工
（1）一般方程
业 振动系统中由质量、阻尼和刚度所引起的三种力
大 以及外荷载，将振动系统离散后，便可得到有限元
学 动力平衡方程组。
土
（10.1）
木
工 其中，M、C、K分别为整体质量矩阵，阻尼矩阵；
程
分别为整体节点加速度，速度和动荷载向量。
业 则总的整体节点荷载向量为
。
大 学
动力有限元方程式为
土
（10.8）
木
工
程
学
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 采用有限单元法进行结构动力计算，必须建立结 北 构系统的整体质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵
工 K（。1）质量矩阵 业
大 整体质量矩阵M的元素mij称为质量影响系数， 学 其物理意义是：自由度j的单位加速度在自由度i方
木
工
（9.50）
程
学
院
（10.11）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河
（10.11）
北
工 可见，此单元阻尼矩阵正比于单元 Rayleigh阻尼为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。
木
工
程
（10.12）
学
院
第十章 动力分析
10.2 结构固有特性
河 北 工
木
工
程
学
院或
（a）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
河 其中节点位移向量为
北
工
业
大 形函数矩阵为
学
土 单元内部各点的速度和加速度分别可以用单元节
木 点的速度和加速度表示为
工
程
学
（a）
院
（b）
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.2方程的推导
河 （2）惯性力的等效节点荷载
学 阵。即这两种矩阵的平均值。
院
第十章 动力分析
10.1 动力有限元方程 10.1.3 系数矩阵
河 （2）阻尼矩阵
北 工 业 大 学
动力学方程的阻尼项代表在运动中所消耗的能 量。产生阻尼的原因是多方面的，如滑动摩擦、 空气阻力、材料内摩擦等。通常是用等效粘滞阻 尼来代替。
土 假设阻尼力正比于运动速度，则单元阻尼矩阵正