圆锥曲线第二定义秒杀焦点弦比例模型

圆锥曲线第二定义秒杀焦点弦比例模型
圆锥曲线第二定义：圆锥曲线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离之比等于离心率. 模型：设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点， 若
AF

FB 0 ，则 e 1 k

2
1 1 或 e cos . 1 1
2
B. 2 2
C.
2 2
D.
2 4
【答案】B
y 【变式 1】已知双曲线 C： x a b
2 2
2
2
1 (a＞0，b＞0)的右焦点为 F，过 F 且斜率为 3 的直
）
线交 C 于 A、B 两点．若 A.
，则 C 的离心率为（ C.
【答案】A
6 5
B.
7 5
8 5
D.
9 5
Байду номын сангаас
y 【变式 2】已知双曲线 C: x
【答案】 2
y 【变式 4】如图所示，已知双曲线 x a b
2 2
2
2
1 (a＞0，b＞0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 交双
曲线的渐进线于 A,B 两点，且直线 l 的倾斜角是渐近线 OA 的 2 倍，若 双曲线的离心率为___________.
AF

2 FB ，则

【答案】
2 3 3
2
在 Rt ADB 中， k tan
BD k AD ②
2
由勾股定理得： 由②得：
AB
2
2

AD BD
2
③
BD
k
2
AD
2
④
把④代入③得：
AB
1 k

2
AD
2
2

AD AB
2
2
2

1 1 k
2 2
⑤
1 1 1 联立①⑤得： 1 k e 1
注：如果已知直线的倾斜角为 ，则 e cos
e 1
1 1 1 或 e sin . 2 1 1 k
【母题】已知抛物线 C：
y
2
4 x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 交抛物线于 M,N 两点，且
）
MF 2 NF ,则直线 l 的斜率为（
A.
y 【变式 5】如图， F , F 分别为双曲线 C： x a b
2 1 2 2
2
2
1 (a＞0，b＞0)的左右焦点，过 F 1
的直线 l 交 C 于 A,B 两点， 若 C 的离心率为 7 , AB A
F
2
， 则直线 l 的斜率为________.
【答案】
3 2
2
2
4
5
1 的右焦点为 F，过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B
两点．则向量
【答案】 5,5 3

AF ___________.


x y 【变式 3 】已知椭圆 C: a b
2 2
2
2
1 (a ＞ 0 ， b ＞0) 的离心率为

3 ，过右焦点 F 且斜率为 2
k k 0 的直线与 C 相交于 A,B 两点，若 AF 3 FB ，则k __________ .
2 2
1 e 1 k 1
2
即e 1
k
2
1 . 1
若倾斜角为 ，则 e 1
tan
2
1 1 e 1 sin 2 1 cos 1
2
e
1
cos
2
1 1 . e cos 1 1 1 ，当曲线 C 的焦点在 y 轴上时， 1
证明：过点 A,B 分别作准线的垂线，垂足分别为 M,N，过点 B 作 BD AM，垂足为 D.由双曲 线的第二定义可知：
AF AM
e AM AF BF e
AF e
,
BF BN
e BN
BF e
.
从而 AD AM BN
又 AF
AD 1 1 1 1 1 ① AB , BF AB ， AD AB 1 1 e 1 AB e 1 BD AD