第九章 滞后变量模型

总乘数＝3.96875，平均滞后时间=0.944882
有限分布滞后模型的估计 模型：
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + ut t = s + 1, s + 2,L , n
宗旨是对分布滞后参数b1……bs施加约束 施加约束， 减少待估变量的个数
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 50 55 60 65 70 X 75 80 85 90
12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 50 55 60 65 70 Y 75 80 85 90
模拟2： 年以前X为 ，以后为1 模拟 ：1960年以前 为0，以后为 年以前
称为分布滞后消费函数。 含义： 本期的消费Yt不仅依赖于本期的收入Xt， 还依赖于过去s个时期的收入：Xt－1、Xt－ 2，…… Xt－s 这样，就将时间因素引入了模型，使模型具有 了动态的特征 动态的特征。 动态的特征
例：固定资产存量
K t = a + b0 I t + b1 I t −1 + b2 I t − 2 + L + bs I t − s + ut t = s + 1, s + 2,L , n
X t －2 － － x1 x2 … xn-2
X t －3 － － － x1 … xn-3
分布滞后模型
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + ut t = s + 1, s + 2,L , n
如果s是有限数，称为有限分布滞后模型； 如果s是无限数，称为无限分布滞后模型
其中，Kt——固定资产存量，It——投资
例：蛛网模型 农产品的生产决策和产出之间有滞后， 供给量是上一期价格的函数：
St = f ( Pt −1 )
如果农场主的是按照前几年的价格来决 策，则有
St = f ( Pt −1 , Pt − 2 ,L , Ps )
问题
由于存在滞后值，所以要损失若干个自由度 损失若干个自由度。 损失若干个自由度
对b施加约束的方法 施加约束的方法 经验权数法
等权滞后 递减滞后 倒V形滞后
ALMON多项式法——一种灵活的方法
经验权数法 经验权数法：从经验出发为滞后变量指 定权数，即指定滞后变量的系数以权数 值，使滞后变量按权数线性组合，构成 新的变量W，进而对其使用OLS估计参 数。
1、等权滞后形式 、 等权滞后形式：也称矩形滞后形式，在 这种形式中假定权数都相等，也就是说X 的逐次滞后值对Y的影响相同。 例如：指定权数为1/3 Wt=1/3Xt+ 1/3Xt-1+ 1/3Xt-2 …+ 1/3Xt-s
∑b
i=0
i
bi — — bi 的 标 准 化 ， 表 示 第 i 期 滞 后 变 量 的 影 响 在 总 影 响 中 占 的 比 例 ； b
r
Dr =
∑b
i=0
i
b
s i=0 s
——乘数效应比，前 r 期的滞后变量的影响在总影响中占的比例；
i
MLT =
∑ ib ∑b
i=0 i
——平均滞后时间。
i 0 1 2 3 4 5 6
新问题 新模型的干扰项Vt=ut-λut-1存在一阶自相 关 滞后被解释变量Yt-1与随机项Vt存在相关 性
局部调整模型
例：存量调整模型
Yt * = b0 + b1 X t + ut
（1） Y*—— 预期（或者均衡、最优、长期）资本水平；X —— 产出。 预期资本水平是不可预包含因变量的滞后值， 则模型称为自回归模型 例如： Y = b + b X + b Y + u
t 0 1 t 2 t −1 t
Yt = b0 + b1 X t + b2Yt −1 + b3Yt − 2 + ut
分别称为一阶自回归模型和二阶自回归模型
例：滞后消费函数
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + ut t = s + 1, s + 2,L , n
显然，观测数据是有限的，要直接估计 模型中的无限个参数是不可能的，必须 对参数进行限制。
Koyck变换 变换 Koyck假设：bi随着i按照几何级数递减
bi = λ i b0 , i = 0,1, 2,L , 0 < λ < 1
相当于假设本期的影响最大，越往后的 影响越小。在多数情况下，这样的假设 是合理的。
一般地，在模型
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + u t t = s + 1, s + 2, L , n
中，
b0 — — 短 期 乘 数 ；
r
∑b
i=0
i
s
— — 中 期 乘 数 （ r<s） ； ——长期乘数；
b=
2.0
结论：
X在某一年（60年） 突然上涨到一个新 的水平。但这种变 化在Y上并没有马 上体现出来，而是 要经过若干年（6年） 分布模型中，各个 X系数的和恰好是Y 的总的变化。
1.5
1.0
0.5
0.0 50 55 60 65 70 XX 75 80 85 90
15 14 13 12 11 10 9 50 55 60 65 70 Y 75 80 85 90
这里，假设X的系数按照：2、1、 0.5、 0.25、
0.125、 0.0625、 0.03125递减，表示距离现在越近， X的影响越大
作以下两个模拟试验
模拟1： 增加1，其他年份为0 模拟 ：1960年X增加 ，其他年份为 年 增加
结论：
在某一年（60 年）的一个冲 击，要经过若 干期（6年）才 能减退。 分布模型中， 各个X的系数正 好就是分布滞 后的效应。
内生滞后变量模型 外生滞后变量模型经过变换后往往成为 内生滞后变量模型。
Koyck变换模型 局部调整模型 适应性期望模型
1、Koyck变换模型 、 变换模型 内生变量模型X的滞后期有时无法确定， 是无限的，模型的形式为
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + L + ut
第九章： 第九章：滞后变量模型 外生滞后变量模型（分布滞后模型） 内生滞后变量模型（自回归模型）
滞后变量模型 滞后变量：回归模型中被解释变量或解 释变量的时间滞后（前期）量。 如解释变量X的现期记Xt,则Xt-1,Xt-2…称为 的Xt滞后变量 被解释变量Y的现期记Yt,则Yt-1,Yt-2…称为 的Yt滞后变量 滞后变量模型：若回归模型中包含滞后 变量作为解释变量，则此回归模型叫做 滞后变量模型。
Yt − λYt −1 = a (1 − λ ) + b0 X t + ( ut − λut −1 )
Yt = a (1 − λ ) + b0 X t + λYt −1 + ( ut − λut −1 )
方程被转化成一个自回归模型。
（3）
Koyck变换特点 变换特点 以一个滞后被解释变量Yt-1代替了大量的 滞后解释变量Xt-i,(i=1,2,…)，解决了滞后 期长度难以确定的问题。 滞后一期的被解释变量Yt-1与Xt的线性相 关程度，可以肯定小于X的各期滞后量之 间的相关程度，从而大大降低了多重共 线性。
ALMON多项式法基本步骤 多项式法基本步骤 第二步： Yt=a+a0Xt+(a0+a1+…+ar)Xt-1 +(a0+2a1+a2*22 +…+ar*2r )Xt-2 +…+ (a0+s*a1+a2*s2 +…+ar*sr ) Xt-s + ut 整理： Yt=a+a0(Xt+Xt-1+Xt-2 …+Xt-s)+ a1(Xt-1+2Xt2 2 2 …+sXt-s)+ a2(Xt-1+ 2 *Xt-2 …+ s Xtr r s)+…+ ar (Xt-1+ 2 *Xt-2 …+ s Xt-s) + ut
Koyck变换 变换
模型变为
Yt = a + b0 ∑ λ i X t −i + ut
i =0
∞
（1）
现在，模型中只有 a, b0 , λ 三个参数待估。为了估计这三个参数，做 koyck 变换：
Yt −1 = a + b0 ∑ λ i X t −i −1 + ut −1
i =0 ∞
（2）
（1）－ λ （2） ：
ALMON多项式法基本步骤 多项式法基本步骤 记： W0t= Xt+Xt-1+Xt-2 …+Xt-s W1t= Xt-1+2Xt-2 …+sXt-s W2t= Xt-1+ 22 *Xt-2 …+ s2 Xt-s ……… Wrt= Xt-1+ 2r *Xt-2 …+ sr Xt-s
ALMON多项式法基本步骤 多项式法基本步骤 Yt =a+a0W0t+a1W1t+a2W2t+…+arWrt+ ut 第三步：对上式用OLS估计各a值 根据bk=a0+a1k+a2k2 +…+arkr进一步求得各 b值
得到W 得到 t后 将模型
Yt = a + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + L + bs X t − s + ut t = s + 1, s + 2,L , n
变为Yt=a0+a1Wt+ut 对之使用OLS
ALMON多项式法基本步骤 多项式法基本步骤 第一步：对参数b项作ALMON多项式变 换，即用一个多项式表示b bk=a0+a1k+a2k2 +…+arkr (r<s) 一般，r=3或r=4 得到各参数b的线性函数，称为b方程组 如果知道a值，就很容易得到b
bi 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
ibi 0 1 1 0.75 0.5 0.3125 0.1875
bi 的标准化 中期长乘数 Dr 0.503937 2 0.503937 0.251969 3 0.755906 0.125984 3.5 0.88189 0.062992 3.75 0.944882 0.031496 3.875 0.976378 0.015748 3.9375 0.992126 0.007874 3.96875 1
2、递减滞后形式 、 假定权数是递减的，即X的近期对Y的影 响较远期大。 例如消费需求函数中，现期收入对消费 需求的影响大，越滞后影响越小。 比如指定递减权数为1/2，1/4，1/6， 1/8… Wt=1/2Xt+ 1/4Xt-1+ 1/6Xt-2 + 1/8Xt-3+ …
3、倒V型滞后形式 、 型滞后形式 假定权数先递增后递减形成^型，即倒V 型。 如指定权数1/10，1/6，1/4，1/2，1/7， 1/12… Wt=1/10Xt+ 1/6Xt-1+ 1/4Xt-2 + 1/2Xt-3 + 1/7Xt-4 + 1/12Xt-5 …
几种方法的优缺点 优点：
（1）减少了待估参数，因此减小了多重共 线的程度。经验权数法减少了 s 个，almon 多项式法减少了s－r个。 （2）方程的变换并没有改变干扰项的形式， 没有引入自相关的问题，可以用 ols 法直接 估计变换以后的方程。
缺点：样本的损失并没有减少，只有（n －k）个观测可以用于估计。
如果滞后时期长，而样本较小的话，自由度损失就 较大，有时甚至无法进行估计
通常一个变量的滞后变量之间共线问题严重 共线问题严重， 共线问题严重 影响估计量的精度 解决办法：对系数施加约束条件，减少待估参 数的数目
时间滞后效应
例子：考察分布滞后模型（t＝1950～1990）
y=10+2*x+x(-1)+0.5*x(-2)+0.25*x(-3)+0.125*x(-4) +0.0625*x(-5)+0.03125*x(-6)
* 即：投资 I t = δ (Yt − Yt −1 )
Yt − Yt −1 = δ (Yt * − Yt −1 )
滞后变量模型 外生滞后变量模型：又称分布滞后模型 例如：Y=a0+b0Xt+b1Xt-1+b2Xt-2+…+ut 内生滞后变量模型或自回归模型： 例如： Y=a0+b0Xt+b1Yt-1+b2Yt-2+…+ut
滞后变量样本
t 1 2 3 4 … n
Xt x1 x2 x3 x4 … xn
X t －1 － x1 x2 x3 … xn-1