向量代数-向量及其运算

则ABC 的面积S 2 6 。
解： AB {1, 2, 3} ， AC {3, 2, 1} ， i jk
ABAC 1 2 3 {4, 8, 4},
321
S 1 ABAC 1 (4)2 82 (4)2 2 6.
2
2
hechuanfu
东南大学
4．已知向量AB 的起点是A(4,0,5) ， AB 2 14 ，cos 3 ， 14
ba
b
2
，又a
0
，
∴
2 b 1
b
1
，同理可证
a
1,
c
1
，故
a
b
c
3
。
hechuanfu
东南大学
2．
(ab)c 2
，则
(ab )(b c ) (c a)
4。
解：
(ab )(b c ) (c a)[(a(b c )b(b c )](c a)
[ab ac bb bc ](c a )
ab
3
，则
ab
（
D
）
（A）0； （B）2 ； （C）3； （D） 1 。
解：由
3 ab a
b
s in(a ,b
)
2s in(a ,b
)
，
得
s in(a ,b )
3
，cos
(a ,b
)
1
，
故
ab
a
2 b cos
(a ,b
)
1
2
。
hechuanfu
东南大学
2．已知
a
2
，
hechuanfu
东南大学
5.
若
a {1,
1,
1}
，b
{
1 , 0,
2
1 }
2
，则(a)b
{ 1 , 0,
2，
1 }
同时垂直于a 与b 的单位向量为
解:
(a)b
ab b
2，
2
2。
设
ca
b
i 1
j 1
k 1
{ 1 , 0, 1 } ，
101
2
2
22
c { 1 , 0, 1 } 即为所求的单位向量。
东南大学
向量及其运算
习题课
hechuanfu
东南大学
一、填空题
1．设
a,
b,
c
为非零向量，且a
b
c
，b
ca
，
c
ab
，则
a
b
c
解：显然 a ,
b,
c
互相垂直。
3。
∵
a
bc
b
c sin(b,c ) b
c
，同理
b a
c, c a
b
，
∴
a
b
cb
a
B 是点 M(1, 3, 2) 关于点 N (1, 2,1) 的对称点，
求 OA OB 。 解：∵ OA与三个 坐标轴的夹角相等，
∴ coscoscos ，
ห้องสมุดไป่ตู้
由 cos 2cos 2cos 21 ，
得 coscoscos 3 。 3
hechuanfu
东南大学
∴ OA{ 3 , 3 , 3 } 3{1,1,1} 。 333 3
(ab )(c a )(ac )(c a )(bc )(c a )
(ab )c (ab )a (ac )c (ac )a (bc )c (bc )a
(ab )c (bc )a 2(ab )c 4.
hechuanfu
东南大学
3．已知三角形 A(1, 1, 1) ，B(2, 3, 4) ，C (4, 3, 2) ，
)
，故(
b )a
(
c
)a
.
hechuanfu
东南大学
4.（ （ （ （若ABCDa）与）） ）baaaa为∥ ∥bb非的的bb零充 必充充向要 要要要量条 但条条，件 非件件则充；；；a分 条b件0.是（
C）
hechuanfu
东南大学
三、解答题
1．求与向量
a2i
j 2k
共线,且满足
a
x18
2
16
a
2cos(a,
b )15
a
2
0
，
故
cos(a,
b)
1
，(a,
b)
。
2
3
hechuanfu
b
2
，且ab2
，则
ab
（
A
）
（A）2 ； （B）2 2 ； （C） 2 ； （D）1 。
2
解：∵
ab
a
b cos(a,b )2
2cos(a,b )2
，
∴
cos (a ,b )
2 ，(a,b) ，
2
4
∴
ab
a
b sin(a,b)2
2sin 2 。
4
hechuanfu
东南大学
3．若向量a3b
垂直于向量7a5b
，向量
a4b
垂直于向量7a2b ，求 a与b 的夹角。
解：由题意知
(a3b
)(7a5b
)0
，
(a4b)(7a2b )0
即 77aa221360aabb185bb2200 ，
消去
ab
得161a
2
161b
2
0
，故a
b
，从而
hechuanfu
东南大学
7
a
3．如果
ab
ac
，且
a
0
，则必有（ D
）
（A） b c ；
（B） b c ；
（C） (a )c (b )c ； （D）( b )a ( c )a .
解：∵
ab
ac
，
∴
a
b cos(a,b ) a
c cos(a,c ) ，且a
0
，
∴
b cos(a,b )
c
cos (a ,c
2
2
hechuanfu
东南大学
6．若 A(1,2,0) ，B(3,0,3) ，C(5,2,6) ，D(6,0,3)
则四面体 ABCD 的体积 V 6 。
2 2 3
解：V 1 [ AB AC AD] 1 4 0 6 6
6
6
5 2 3
hechuanfu
东南大学
二、选择题
1．设
a
1
，
b
2
，且
的
向量 x 的坐标表示式。
解：设
x{l
,m ,n}
，
a {2,1,2}
，
∵ x与a 共线，
∴ l m nt ，则 l2t, mt, n2t.
2 1 2
∵
a
x18
，
∴2lm2n4tt4t9t18 ，t2 ，
∴
x{4,
2,
4}
。
hechuanfu
东南大学
2．已知单位向量 OA与三个 坐标轴的夹角相等，
∵ B( x, y,z) 是点 M (1, 3, 2) 关于点 N (1, 2, 1) 的对称点，
∴ 11 x, 2 3 y , 1 2z, 得 x3, y7,z0,
2
2
2
∴
OB
{3,
7,
0}
。
i jk
∴ OAOB 3 1 1 1 3{7,3,10}.
3
3
3 7 0
hechuanfu
东南大学
cos 1 ，cos 2 ，则 B 点的的坐标为 B(10,2,1) 。
14
14
解：设 B( x,y,z) ，则cos x4 3 ， 2 14 14
cos y 1 ，cos z5 2 ，
2 14 14
2 14 14
∴ x46 ， y2 ， z54 ，即 x10 ， y2 ，z1 ， 故 B(10,2,1) 。