非稳态热传导

由于平板内部导热热阻 δ/λ 几乎 可以忽略，所以在整个过程中，平 板中各点的温度基本一致。并随着 时间的推移整体地下降，最后趋近
t 周围流体温度 。
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非稳态导热的基本概念
3、讨论 Bi 为有限大小 毕渥数 Bi 为有限大小，即导
热热阻δ/λ与对流传热热阻1/h数 值比较接近（请同学举例）。
该情况下，平板中不同时刻 的温度分布介于上述两种极端情 况之间。
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非稳态导热的基本概念
1、首先讨论 Bi
毕渥数 Bi 趋近于无穷，即导热热阻 远大于对流传热热阻（请同学举例）。
过程一开始，平板表面温度就立即
被冷却到 t 。随着时间的推移，平板
内部各店的温度逐渐下降，最后趋近周
围流体温度t 。
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非稳态导热的基本概念
2、讨论 Bi 0
毕渥数 Bi 趋近于0，即对流传 热热阻远大于导热热阻（请同学举 例）。
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扩展·热电偶
热电偶分度号
S R B K T J N E
热电极材料
正极
铂铑 10 铂铑 13 铂铑 30
镍铬 纯铜
铁 镍铬硅
镍铬
负极
纯铂
纯铂
铂铑 6
镍硅
铜镍
铜镍
镍硅
铜镍
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零维问题的分析法——集中参数法
3、傅里叶数的物理意义
FO
l
2 c
a
从边界上开始发生热扰动的时 刻起到所计算时刻为止的时间 间隔
t0
h,t∞
-δ
0
h,t∞ δ
41
典型一维物体非稳态导热的分析解
对于x≥0的半块平板，导热微分方程及定解条件为：
t a x2t20x,0
tx,0t00x 初始条件
定
解 条 件
t x,
0 x
x0
边界条件
ht,ttxx,x
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典型一维物体非稳态导热的分析解
t0
h,t∞
-δ
0
引入过余温度
tx,t
h,t∞ 经分离变量后可得分析解如下：
金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到 规定的温度。
3
引题
本章内容
基本概念
零维
一维
本章重点： 掌握基本概念； 确定物体瞬时温度场的方法； 在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
4
目录
➢ 3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
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非稳态导热的基本概念
如图所示，已知一复合平壁初始温度为t0，左侧为金属壁面，右 侧为保温层，层间接触良好。令其左侧表面的温度突然升高到t1， 右侧与温度为t0的空气接触，分析温度变化过程。
t
金金 保 属属 温 壁壁 层
t1 P 金 保
属温 壁层
t1 P 金
保
属温
壁层
t0 A
L
t0
B
L
t0
C
L
xx
条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热 系数极低。
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零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场的分析解
设有任意形状的固体，其体积为V，
表面积为A，初始温度t0，突然将其
t∞
置于温度恒为t∞的流体中，设t0>t∞，
固体与流体间的表面传热系数h及固
体的物性参数均保持常数，求解物体
tx,y,z,0t0
（3-2b）
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非稳态导热的基本概念
第三类边界条件较为常见，本章将着重讨论物体处于恒温 介质中的第三类边界条件的非稳态导热，即：
nt w h twtf
（3-3）
数学上可以证明，如果某一函数 t（x , y, z,τ）满足方程（31a）或（3-1b）以及一定的初始条件和边界条件。则此函数就是 这一特定导热问题的唯一解。
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零维问题的分析法——集中参数法
在指数函数中 hA cV 具有与 1 相同的量纲。如果
cVhA
则有：
0tt0 tt exp10.38638.6% cV hA 称为时间常数（time constant）,记为 τc 。
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零维问题的分析法——集中参数法
ccVhA
当时间τ= τc 时，物体的过余温度已经降到了初始过余温
工程上认为τ= 4.6τc 时导热物体已经达到热平衡状
态。
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扩展·热电偶
热电偶（thermocouple）是常用 的测温元件，它直接测量温度，并把 温度信号转换成热电动势信号，通过 电气仪表（二次仪表）转换成被测介 质的温度。
测温原理：两种不同成份的导体两 端接合组成回路， 当两个接合点的 温度不同时，在回路中就会产生电 动势，这种现象称为热电效应。
温度随时间的依变关系。
此问题可应用集中参数法分析。
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零维问题的分析法——集中参数法
非稳态、有内热源的导热问题
c t x x t y y t z z t
t c 式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个
物体的体积热源。
VAhtt
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零维问题的分析法——集中参数法
金 F保
属
温
正规状况阶段：不同时刻的温度分
Байду номын сангаас
壁
层
E
布主要受热边界条件的影响。
正规状况阶段的温度分布计算比非正 t0 规状况阶段简单得多。
D A B CI
K JL
x
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非稳态导热的基本概念
Φ
对于上述复合壁情形，不同
时刻左右表面的导热量随时 间的变化定性用右图表示。
Φ1
导热过程中两者不相等，且随 着过程的进行，其差别逐渐减 小，直到进入稳态阶段两者平 衡。阴影部分代表了复合壁在 升温过程中积蓄的能量。
两式合并有：
cVddt Ahtt
引入过余温度 t t，则有：
导热微分方程 初始条件：
cV d Ah d
0t0t
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零维问题的分析法——集中参数法
将导热微分方程分离变量
d hA d cV
两边积分得：
d
hA d
0
0 cV
ln
hA
0 cV
0
tt0tt exphcA V
注意到V/A具有长度的量纲，并定义：
（3-1a）
式中div(grad t)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子 2 t
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非稳态导热的基本概念
引入热扩散率 a c p ，于是有：
t a2t
cp
初始条件的一般形式是：
tx ,y,z,0 fx ,y,z
（3-1b） （3-2a）
一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即
V lc A
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零维问题的分析法——集中参数法
h cA Vh lcclc 2h lca lc 2B iF o
Bi是以lc为特征长度的毕渥数，FO称为傅里叶数，也是以lc为其 特征长度。故上式可简化为：
expBiFo
0
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零维问题的分析法——集中参数法
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅里叶数
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零维问题的分析法——集中参数法
当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬 间均处于同一温度下。即，固体的质量和热容量都汇总到一点 上。
这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。 （lumped parameter method）
由于lc=V/A，对圆柱和球分别是R的1/2和1/3。因此 如果以lc作为毕渥数的特征长度，则该Bi数对平板、圆 柱和球应分别小于0.1、0.05和0.033。
（如例题3-1、3-2、3-3）
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目录
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 ➢ 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定 解条件的不同的解。
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非稳态导热的基本概念
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
讨论如左图所示的一块厚度为2δ
的金属平板，初始温度为 ，t 0 突然
将它置于温度为
t
的流体中进行冷
却，表面传热系数为h，平板的导热
系数为λ。
根据平板的导热热阻δ/λ与对流 传热热阻1/h的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情 形。
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典型一维物体非稳态导热的分析解
所谓一维是指：对平板，温度仅沿着厚度方向变化；对圆柱和球， 温度仅沿着半径方向变化。
以平板为例，厚为2 δ的无限
大平板，初始温度为t0。将其置 于温度为 t∞ 的流体中，设平板两 边对称受热，板内温度必然以其 中心截面为对称面。
研究厚为δ 的半块平板情况 即可，将x轴远点置于板的中心截 面上
6
非稳态导热的基本概念
几种典型非稳态导热过程的温度变化率
7
非稳态导热的基本概念
二、特点：
物体中各点的温度随时间发生变化； 物体中各点的热流密度随时间发生变化； 不宜用热阻法定量分析非稳态导热；
c t x x t y y t z z t
其中： c t 0
度的36.8%。时间常数不仅取决于几何参数V/A ，物理性质ρ、
c，还与换热条件h有关。 时间常数越小，物体的温度变化就越快。物体就越迅速地
接近流体温度。
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零维问题的分析法——集中参数法
ccVhA
以热电偶为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反 映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。
当τ= 4.6τc 时， 0ex p 4 .60 .0 1
5
非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型
一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 （unsteady heat conduction）
非周期性：物体温度随时间趋近于恒值 （动力机械启动、停止） 周期性：物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）
1、导热量计算式 导热物体与流体间所交换的热量可由瞬时热流量对时间积分得到。 导热物体的瞬时热流量为：
cVddt cVt0thcA VexphcA V t0thAexphcA V
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零维问题的分析法——集中参数法
从τ =0到τ时刻之间所交换的总热量为
0
d
t0
t
0
hAexp
hA
cV
d
t0
t
cV
1
exp
hA
cV
换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的
t0-t∞改为t∞-t0。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有 时又称牛顿加热或牛顿冷却。
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零维问题的分析法——集中参数法
2、时间常数 采用集中参数法分析时，物体中过余温度随时间成指数曲线
关系变化，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。
x
x
不同时刻平壁温度场示意图（一）
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非稳态导热的基本概念
P
t1
金保
属温
壁层
D
t0 A
I
P
t1
金保
属温
壁层
E
t0 A
J
P
t1
金F保 属温 壁层
K
t0 A
x
x
x
不同时刻平壁温度场示意图（二）
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非稳态导热的基本概念
加热或冷却过程的两个重要阶段
非正规状况阶段：这一阶段中温度 t1 P 分布主要受初始温度分布的控制。
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非稳态导热的基本概念
t
t
t0
t0
t
t0
t
t
t
x
x
x
Bi
Bi 0
Bi有限大小
Bi h 1h
特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲
数。又称为准则数。出现在特征数定义式中的几何尺度称为
特征长度，用 l 表示。
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目录
3.1 非稳态导热的基本概念 ➢ 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
边界上发生的有限大小的热扰 动穿过一定厚度的固体层扩散 到lc2的面积上所需的时间
傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。 故Fo可以看成是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。
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零维问题的分析法——集中参数法
FO
l
2 c
a
在非稳态导热过程中，这一无量纲时间越大， 热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各 点的问题就越接近周围介质的温度。
Φ2
0
τ
Φ1为从左侧导入金属壁的热流量
Φ2为从右侧导出保温层的热流量
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非稳态导热的基本概念
3.1.2导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解
初始条件 边界条件
导热微分方程 假定物体的热物理特性参数均为常数
c t x x t y y t z z t
cpt divgradt
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零维问题的分析法——集中参数法
3.2.3 集中参数法的实用范围及应用举例
对于平板、圆柱和球中的一维非稳态第三类边界条件下的 导热问题，当按特征长度
l= δ，厚度为2 δ l=R，圆柱 l=R，球
定义Bi数≤0.1
Bi hl
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典型一维物体非稳态导热的分析解
B ih lc 0 .1 (板 )， 0 .0 5 柱 ， 0 . 0 3 球
上章回顾
能量守恒定律 傅里叶定律
导热问题的 数学描写
导热微分方程 定解条件
求解得到 温度场
求解得到 热流密度矢量
典型一维 稳态导热
通过肋片 的导热
具有内热源 的导热
多维稳态导 热
1
第三章 非稳态热传导
主讲人：郭智群
2
引题
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工 件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。