中学几何证明题思想之面积法与体积法资料重点
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2
由于面积方法解题具有直观性、通用性和 推理的代数简洁性，已成为广大师生和几何爱 好者乐于采用的几何解题主要方法之一。
在我国，张景中运用面积法最为娴熟，采 用面积思想给出了中学几何的公理化体系。
3
一、基本思想
在处理平面问题时，以面积作为思维的出 发点，利用面积关系来解题。关键在于用不同 的方法计算同一块面积，列出面积方程，得到 所需量的关系式，使问题获解。由于面积关系 比图形的全等和相似更具有普遍性，因而面积 法解题有很大的适用性，已成为解决几何问题 的一种重要方法。
)2
+(1
c p
)2
]
= (p a)(p b)(p c)(a2 +b2 +c2 )
CN BC
得 r 3 . 3
20
例7 (1978年辽宁中学数学竞赛）设AM是ABC 的中线，任作一直线，分别交AB、AC、AM于 P、Q、N。 求证：AB、AM 、AC 成等差数列。
AP AN AQ
法一：SABM＝SACM＝
1 2
SABC
故 SAPN ＝ SAPN ＝ AP AN SABC 2SABM 2AB AM
18
下面证SEFP SGHQ .因为BF//HO， 故SOPF SOPB，进而SΔPEF = SΔBOE . 同理，因BH//OE，所以SΔBOE = SΔOEH 同理可证，SΔQHG = SΔHOE，综合起来 有SPEF SQHG，于是EF＝GH。证毕。
19
例6 (1982年国际数奥题）设正六边形ABCDEF
的对角线AC、CE分别被内点M、N分成的比
为 AM ＝CN ＝r,且B、M、N共线，求r。 AC CE
解：在BCN中用张角公式，BCA 30 ，
ACN 60 ，设正六边形边长为1，则
AC CE 3，CN 3 r，AM 3 r，
由 sin(30 +60 ) sin30 + sin60
CM
17
例5 (证两边相等）在 ABCD内取一点，过O作EF//AB, GH//BC交各边于H、F、G、E，连BE、HD，分别交 GH、EF于P、Q，若PO＝QO，则ABCD为菱形。
证：只需欲证EF＝GH， 只须证SEFP SGHQ （这是因为这两三角形在 边EF、GH上的高相等， 即PO sin POQ＝QO sin POQ）.
中学几何证题思想之
面积法与体积法
1
前言 人类认识面积，已有数千年历史。最
初是为了生产与生活的目的而估量和测算面 积。后来发展为把面积作为联系各种几何度 量和表明许多代数关系的一种直观工具。勾 股定理是几何学的基石，数以百计的形形色 色的证法中，最古老的证法是面积法，最简 洁而引人注目的证法也是面积法。
＝
AP AB
1 2
SABC＋
AQ AC
1 2
SABC
SPQA
AP AB
AQ AC
SABC
＝
1 2
AP
AC＋AQ AP AQ
AB ＝ 1 2
AC AQ
＋
AB AP
证毕。
23
例8 (6届国际数奥题，S=rp的应用）三边长为a,b,c的 ABC中内切一圆，作三条平行于ABC三边的圆的 切线，从ABC上截得三个小三角形，求这四个三角 形的内切圆的面积之和。
解：设p= 1 (a+b+c),则ABC的 2
内切圆半径r为 r= SABC = aha = bhb = chc
p 2p 2p 2p
24
AQF的内切圆半径rA与r之比为
rA = ha 2r =1 a
r
ha
p
故所求四圆面积之和为
(r 2
rA2
rB2
rC2
)=
r 2 [1+(1
a p
)2
+(1
b p
4
二、基本公式和定理
5
6
A
r
B
C
7
8
9
10
例1 设O为锐角ABC的外心，若AO, BO,CO分别交对边 于L、M、N，设R为 O的半径。 求证： 1 1 1 2
AL BM CN R
证明：
SBCO OL , SCAO OM , SBCA AL SCAB BM SABO ON , SABC CN
12
12 1
SAPB
13 SABE
13 4
SABC
3
SPQR 13 3 3 4.
(显然SAPB SBQC SCAR )
注：由把上题改为BD＝kDC，为1952年波兰数奥题）
16
例4 (证两边相等）设P是ABC的A的平分线上的任 一点，过C引CE//PB交AB的延长线于E，过B引BF//PC 交AC的延长线于F。证明：BE＝CF。 分析：由欲证BE＝CF，只须证SBEP SCFP （ P为角平分线上的点，到BE、CF边上 的距离相等） 又PC//BF，故SCFP SPCB， BP//CE，故SPCB SBEP，得证。
（A）1 （B）1 （C）1 （D）2
5
4
3
5
（E）以上均不对。
解：由共边比例定理有
BF SADB SADB SADC FE SADE S S ADC ADE
BD AC 1 2 1 DC AE 2
即 BF FE
中学生辅助线添加如上。 14
从而
SBDF
SDEF , SBDE
11
12
上三式相加得：
1 OL OM ON AL BM CN
AL R BM R CN R
AL
BM
CN
3
R
1 AL
1 BM
1 CN
Biblioteka Baidu
1 1 1 2 AL BM CN R
证毕。
13
例2 (1980年美国数奥题）ABC中，CBA 72 ,E是AC的中点， D在BC上且2BD＝DC，AD与BE交于F，BDF与四边形FDCE 的面积比是（ ）
1 2
SDCE
于是 SBDF
1S 5
FDCE
答案为（A）。
注：CBA 72 是多余条件。
15
例3 (46届匈牙利数奥题）在ABC三边BC、CA、AB上
分别取点D、E、F使BD＝3DC，CE＝3EA，AF＝3FB。
连AD、BE、CF相交得PQR，已知SABC＝13，求SPQR 。
解：由例2，
BP SADB SADC 3 4 12, PE S S ADC ADE
SAQN ＝ SAQN ＝ AN AQ SABC 2SACM 2AM AC
21
上两式相加得
SAPQ SABC
＝
1 2
AN AM
AP AB
＋
AQ AC
整理得
AM AN
＝
1 2
AB AP
＋
AC AQ
证毕。
22
法二：AM ＝ AN＋NM ＝SPQA＋SPQM
AN
AN
SPQA
＝
SAPM＋SAQM
由于面积方法解题具有直观性、通用性和 推理的代数简洁性，已成为广大师生和几何爱 好者乐于采用的几何解题主要方法之一。
在我国，张景中运用面积法最为娴熟，采 用面积思想给出了中学几何的公理化体系。
3
一、基本思想
在处理平面问题时，以面积作为思维的出 发点，利用面积关系来解题。关键在于用不同 的方法计算同一块面积，列出面积方程，得到 所需量的关系式，使问题获解。由于面积关系 比图形的全等和相似更具有普遍性，因而面积 法解题有很大的适用性，已成为解决几何问题 的一种重要方法。
)2
+(1
c p
)2
]
= (p a)(p b)(p c)(a2 +b2 +c2 )
CN BC
得 r 3 . 3
20
例7 (1978年辽宁中学数学竞赛）设AM是ABC 的中线，任作一直线，分别交AB、AC、AM于 P、Q、N。 求证：AB、AM 、AC 成等差数列。
AP AN AQ
法一：SABM＝SACM＝
1 2
SABC
故 SAPN ＝ SAPN ＝ AP AN SABC 2SABM 2AB AM
18
下面证SEFP SGHQ .因为BF//HO， 故SOPF SOPB，进而SΔPEF = SΔBOE . 同理，因BH//OE，所以SΔBOE = SΔOEH 同理可证，SΔQHG = SΔHOE，综合起来 有SPEF SQHG，于是EF＝GH。证毕。
19
例6 (1982年国际数奥题）设正六边形ABCDEF
的对角线AC、CE分别被内点M、N分成的比
为 AM ＝CN ＝r,且B、M、N共线，求r。 AC CE
解：在BCN中用张角公式，BCA 30 ，
ACN 60 ，设正六边形边长为1，则
AC CE 3，CN 3 r，AM 3 r，
由 sin(30 +60 ) sin30 + sin60
CM
17
例5 (证两边相等）在 ABCD内取一点，过O作EF//AB, GH//BC交各边于H、F、G、E，连BE、HD，分别交 GH、EF于P、Q，若PO＝QO，则ABCD为菱形。
证：只需欲证EF＝GH， 只须证SEFP SGHQ （这是因为这两三角形在 边EF、GH上的高相等， 即PO sin POQ＝QO sin POQ）.
中学几何证题思想之
面积法与体积法
1
前言 人类认识面积，已有数千年历史。最
初是为了生产与生活的目的而估量和测算面 积。后来发展为把面积作为联系各种几何度 量和表明许多代数关系的一种直观工具。勾 股定理是几何学的基石，数以百计的形形色 色的证法中，最古老的证法是面积法，最简 洁而引人注目的证法也是面积法。
＝
AP AB
1 2
SABC＋
AQ AC
1 2
SABC
SPQA
AP AB
AQ AC
SABC
＝
1 2
AP
AC＋AQ AP AQ
AB ＝ 1 2
AC AQ
＋
AB AP
证毕。
23
例8 (6届国际数奥题，S=rp的应用）三边长为a,b,c的 ABC中内切一圆，作三条平行于ABC三边的圆的 切线，从ABC上截得三个小三角形，求这四个三角 形的内切圆的面积之和。
解：设p= 1 (a+b+c),则ABC的 2
内切圆半径r为 r= SABC = aha = bhb = chc
p 2p 2p 2p
24
AQF的内切圆半径rA与r之比为
rA = ha 2r =1 a
r
ha
p
故所求四圆面积之和为
(r 2
rA2
rB2
rC2
)=
r 2 [1+(1
a p
)2
+(1
b p
4
二、基本公式和定理
5
6
A
r
B
C
7
8
9
10
例1 设O为锐角ABC的外心，若AO, BO,CO分别交对边 于L、M、N，设R为 O的半径。 求证： 1 1 1 2
AL BM CN R
证明：
SBCO OL , SCAO OM , SBCA AL SCAB BM SABO ON , SABC CN
12
12 1
SAPB
13 SABE
13 4
SABC
3
SPQR 13 3 3 4.
(显然SAPB SBQC SCAR )
注：由把上题改为BD＝kDC，为1952年波兰数奥题）
16
例4 (证两边相等）设P是ABC的A的平分线上的任 一点，过C引CE//PB交AB的延长线于E，过B引BF//PC 交AC的延长线于F。证明：BE＝CF。 分析：由欲证BE＝CF，只须证SBEP SCFP （ P为角平分线上的点，到BE、CF边上 的距离相等） 又PC//BF，故SCFP SPCB， BP//CE，故SPCB SBEP，得证。
（A）1 （B）1 （C）1 （D）2
5
4
3
5
（E）以上均不对。
解：由共边比例定理有
BF SADB SADB SADC FE SADE S S ADC ADE
BD AC 1 2 1 DC AE 2
即 BF FE
中学生辅助线添加如上。 14
从而
SBDF
SDEF , SBDE
11
12
上三式相加得：
1 OL OM ON AL BM CN
AL R BM R CN R
AL
BM
CN
3
R
1 AL
1 BM
1 CN
Biblioteka Baidu
1 1 1 2 AL BM CN R
证毕。
13
例2 (1980年美国数奥题）ABC中，CBA 72 ,E是AC的中点， D在BC上且2BD＝DC，AD与BE交于F，BDF与四边形FDCE 的面积比是（ ）
1 2
SDCE
于是 SBDF
1S 5
FDCE
答案为（A）。
注：CBA 72 是多余条件。
15
例3 (46届匈牙利数奥题）在ABC三边BC、CA、AB上
分别取点D、E、F使BD＝3DC，CE＝3EA，AF＝3FB。
连AD、BE、CF相交得PQR，已知SABC＝13，求SPQR 。
解：由例2，
BP SADB SADC 3 4 12, PE S S ADC ADE
SAQN ＝ SAQN ＝ AN AQ SABC 2SACM 2AM AC
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上两式相加得
SAPQ SABC
＝
1 2
AN AM
AP AB
＋
AQ AC
整理得
AM AN
＝
1 2
AB AP
＋
AC AQ
证毕。
22
法二：AM ＝ AN＋NM ＝SPQA＋SPQM
AN
AN
SPQA
＝
SAPM＋SAQM