点到直线的距离定律

点与直线 直线方程
一. 教学内容： 点到直线的距离；
点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习；
二. 知识点：
1. 点到直线距离公式及证明
d Ax By C A B =
+++||
0022
关于证明：
根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0）
y y B
A x x -=
-00(),
即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组
Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-⎧⎨
⎩
00， 得，x B x ABy AC
A B =--+20022
这就是点Q 的横坐标，又可得
x x B x ABy AC A x B x A B -=
----+02002020
22 =-
+++A Ax By C A B ()
0022
，
y y B
A x x
B Ax By
C A B -=-=-+++000022
()()，
所以，
d x x y y Ax By C A B =-+-=
+++()()()0202
00222
=
+++||
Ax By C A B 0022。

这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。

如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。

下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。

设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则
Ax By C y y x x B
A A 11101000++=--=⎧⎨⎪
⎩⎪,
()≠，
把方程组作变形，
A x x
B y y Ax By
C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=⎧⎨
⎩
，①② 把①，②两边分别平方后相加，得
()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++-
=++()Ax By C 002
， 所以，
()()()
x x y y Ax By C A B 102
102
002
22
-+-=+++，
所以，
d x x y y =-+-()()102102
=
+++||
Ax By C A B 0022
此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：
设，、，是直线上的任意两点，则P
x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112
200++=++=⎧⎨
⎩③④
把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
n P P
·，210→
= 这里n=（A ，B ）。

所以n=（A ，B ）是与直线l 垂直的向量。

当与的夹角为锐角时，n P
P 10θ d P P =→
||cos 10θ，
（如图所示）
当与的夹角为钝角时，n P
P 10→θ d P
P P P P P =-=-→=→
||cos()||cos |||cos |101210180°θθθ （如图所示）
所以，都有
d P
P =→|||cos |10θ， 因为
n P
P n P P ···，1010→=→||||cos θ 所以
d n P P n =
→||||·10
=
--+|(,)()|
A B x x y y A B ·，010122
=
-+-+|()()|
A x x
B y y A B 010122
=
+++||
Ax By C A B 0022
()因为，所以Ax By C Ax By C 11110++=--=
2. 平行线间的距离公式
3. 点关于点的对称点（中点坐标公式）
4. 已知P 0（x 0，y 0）直线l ：Ax+By+C=0（B ≠0） 点，关于直线的对称点：P x y l 000()
设为，P
x y 111() 则·A x x B y y C y y x x A B 010*********++++=---=-⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪()
特别地关于特殊直线的对称点。

（x 轴、y 轴、直线y=x ，直线y=－x ）
5. 直线l 关于点P 0（x 0，y 0）对称直线（三种方法）
6. 直线关于直线的对称直线三种方法l l A x B y C 11110++=() 特别地直线l 关于特殊直线y=±x+b 的对称直线。

【典型例题】
例1. 求与直线：平行且到的距离为的直线的方程。

l x y l 512602-+= 解法一：设所求直线的方程为，5120x y c -+=
在直线上取一点，，
512600120x y P -+=()
点到直线的距离为P x y c 05120-+=
d c c =-++-=
-||
()||121251261322×
由题意，得。

||
c -=6132
∴c=32或c=－20，
∴所求直线方程为和。

512320512200x y x y -+=--= 解法二：设所求直线的方程为 5120x y c -+=，
由两平行直线间的距离公式，
得，解之，
265122
2
=
-+-||()
c
得或。

c c ==-3220 故所求直线的方程为
512320512200x y x y -+=--=和。

小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。

也可以直接套两平行
线间的距离公式。

d C C A B
=
-+||212
2
例2. 已知正方形的中心为G （－1，0），一边所在直线的方程为x+3y －5=0，求其他三边所在的直线方程。

解：正方形中心G （－1，0）到四边距离均为
||
--+=
151361022。

设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1=0。

则
，即。

||||-+=
-=110
6
101611c c
解得或。

c c 1157=-=
故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y+c 2=0。

则
×，|()|
3110
6
102-+=
c
即，||c 236-= 解得或。

c c 2293==-
所以正方形另两边所在直线的方程为： 390330x y x y -+=--=和。

综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： x y x y x y ++=-+=--=370390330、、。

小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。

例3. 求直线关于直线对称的直线的方程。

x y x y --=+-=21010
解法一：由，，得，
x y x y x y --=+-=⎧⎨⎩
==⎧⎨
⎩2101010
∴点（1，0）为两已知直线的交点。

设所求直线的斜率为k ，由一条直线到一条直线的角的公式，
得
，。

--
-=+-=11
2112112k k k
故所求直线方程为
y x x y =---=21220()，即。

解法二：由解法一知两已知直线的交点为A （1，0）。

在直线上取一点，，
x y B --=-210012()
设点关于直线的对称点为，，则B x y C x y +-=1000()
02
12210120110
00++-++=----=-⎧
⎨⎪⎪
⎪⎩⎪⎪
⎪x y y x ，·()
()
解得，。

x y 0032
1==⎧
⎨⎪
⎩⎪ ∴点的坐标为，。

C ()3
21 直线的方程为，，
AC y x x y --=----=0101
3
21220
即直线关于直线对称的直线的方程为。

x y x y x y --=+-=--=21010220 解法三：设P （x ，y ）是所求直线上的任一点，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点为P 0（x 0，y 0），
则在直线上。

P x y 0210--= ∴，x y 00210--=
k y y x x PP 00
=
--，
线段的中点是，。

PP M x x y y 000
22(
)++
∵点与点关于直线对称，P P x y 010+-=
∴×，。

y y x x x x y y ---=-+++-=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪0
00112210()
∴，。

x y y x 0011=-=-⎧⎨
⎩ 代入，得x y 00210--= 12110----=y x ()，
即为所求。

220x y --=
解法四：Θ直线x+y －1=0 k=－1
∴ 由x+y －1=0⎩⎨
⎧-=-=⇒x y y
x 11代入x －2y －1=0得
1－y －2(1－x)－1=0 2x －y －2=0即为所求。

小结：求直线l 关于直线l 1对称的直线的方程，只要在l 上取两点A 、B ，求A 、B 关于l 1的对称点A'、B'，然后写出直线A'B'的方程即为所求。

解法二和解法三中，都用到了求一个点P 关于某直线l 的对称点P 0的问题。

这个问题的解法就是根据：①直线P 0P 与直线l 垂直；②
线段P 0P 的中点在直线l 上，列出方程组解出x 0、y 0，代入x 0、y 0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。

例4. 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的32602570x y x y ++=+-= 截距相等的直线方程。

解法一：由方程组，
，32602570x y x y ++=+-=⎧⎨
⎩
得，。

x y =-=⎧⎨
⎩43 ∴两已知直线的交点为（－4，3）。

当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。

∴所求直线的方程为，
y x =-34
即。

当所求直线不过原点时，340x y += 设所求直线方程为，x y a += 因为点（－4，3）在直线x+y=a 上， ∴，，-+==-431a a
故所求直线方程为。

x y ++=10
综上所述，所求直线方程为或。

34010x y x y +=++=
解法二：∵所求直线经过直线和直线的交点，32602570x y x y ++=+-=
所以可设所求直线的方程为。

3262570x y x y ++++-=λ()(*)
在式中，令得；(*)x y ==
-+076
25λλ
令得。

y x ==
-+076
32λλ 由题意，得。

762576
32λλλλ-+=-+ 所以或。

λλ==671
3
把和分别代入式整理，
λλ==671
3(*) 即得和。

34010x y x y +=++=
小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。

故而没有直接设成
x a y
a A x B y C A x B y C +=++=++10111222的形式，解法二中用到了过两直线与
＝的交点的直线系方程：。

0A x B y C A x B y C 1112220+++++=λ()
例5. 已知两条直线：，：，求分别满足下l ax by l a x y b 124010-+=-++=() 列条件的a 、b 的值。

（1）直线l 1过点（－3，－1），并且直线l 1与直线l 2垂直； （2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等。

分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。

解：()()()111012∵⊥，∴·l l a a b -+-=
a a
b 2
0--=①
又点（－3，－1）在l 1上， ∴②-++=340a b
由①、②解得a=2，b=2。

（2）∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a 。

∴l 1的斜率也存在，
a b
a b a a =-=
-11， 故l 1和l 2的方程可分别表示为
l a x y a a 11410：，()()
-++
-= l a x y a
a 2110：。

()-++-=
∵原点到l 1和l 2的距离相等，
∴，或41122
3|
|||a a a a a a -=-==
因此，，或，a b a b ==-⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎩⎪2223
2
小结：在（2）中由于l 1∥l 2，l 2有斜率，从而得出l 1有斜率，即b ≠0。

例6. 已知函数，求的最小值，并求取得f x x x x x f x ()()=-++-+222248
最小值时x 的值。

解：
∵f x x x x x ()=-++-+22
2248 =-+-+-+-()()()()x x 1012022222
它表示点P （x ，0）与点A （1，1）的距离加上点P （x ，0）与点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （1，1）、B （2，2）的距离之和的最小值。

由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。

∴的最小值为f x ()()()12121022
-+--= 再由直线方程的两点式得方程为。

A B x y '340--=
令得。

当时，的最小值为。

y x x f x ==
=0434
310()
小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。

例7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

证明：建立如图所示的坐标系，
A （a ，0），
B （0，b ），
C （－a ，0），（a ＞0，b ＞0）， 则直线的方程为，AB bx ay ab +-=0 直线的方程为BC bx ay ab -+=0
设底边AC 上任意一点为P （x ，0）（－a ≤x ≤a ），
则到的距离P AB PE bx ab a b b a x a b ||||()=
-+=
-+22
22
P BC PF bx ab a b b a x a b 到的距离为||||()=
++=
++22
22
A BC h ba ab a b ab a b 到的距离=
++=
+||22
222
∵||||()()PE PF b a x a b
b a x a b
ab a b
h
+=
-++
++=
+=2
2
2
2
2
2
2
∴原命题得证。

例8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在直线l 经过点（4，－2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。

解：设直角顶点为C ，C 到直线y=3x 的距离为d ，
则··，1
2210d d =
∴，设的斜率为，则°d l k k k k =-+==⇒=103134511
2tan
∴的方程为，即l y x x y +=
---=21
24280()
设是与直线平行且距离为的直线，l y x '=310 则与的交点就是点，设的方程是，l l C l x y m ''30-+=
则
，∴±，||
m m 101010==
∴的方程是±l x y '3100-=
由方程组及得点坐标是，或
x y x y x y x y C --=--=⎧⎨⎩--=-+=⎧⎨⎩-28031002803100125145()
()--285345，
例9. 已知直线：，l m x m y m ()()212430++-+-= （1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；
（2）过定点M 作一条直线l 1，使l 1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求l 1的方程； （3）若直线l 2过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求l 2的方程。

解：()()124230化原直线方程为，x y m x y +++--=
由，
定点的坐标为，24023012x y x y M ++=--=⎧⎨⎩⇒--()
()21设过点的直线方程为，
M x a y
b +=
它与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0），B （0，b ）。

∵M 为AB 中点，由中点坐标公式得a=－2，b=－4， ∴所求直线方程为240x y ++=
()()()32102设所求直线的方程为，l y k x k +=+< 它在轴，轴上的截距分别为，，则易得：x y a b
S a b k k k k k k =
=--=--=+-+-≥1212212121222124
4||||||||()()[()()]··
当且仅当k ＝－2时，围成的三角形面积最小，
∴所求的直线方程为，即y x x y +=-+++=221240()
【模拟试题】
1. 已知直线l 经过点P （5，10），且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为_________。

2. 设，θπ∈[)02，则点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+=2的最大距离是
______________。

3. 已知点P （1，cos θ）到直线
x y sin cos []
θθθπ
+=∈11402的距离等于，且，，则θ=_____________。

4. 如图，已知正方形ABCD 的中心为E （－1，0），一边AB 所在的直线方程为x y +-=350，求其他三边所在直线的方程。

5. 求平行线27802760x y x y -+=--=和的距离。

6. 求过点A （－1，2）且与原点的距离为2
2的直线方程。

7. 求过点P （1，2）且被两平行直线l x y l x y 1243104360：与：++=++=截得的线段长为2的直线方程。

8. 求过点P （0，2）且与点A （1，1），B （－3，1）等距离的直线l 方程。

9. 原点关于直线8625x y +=的对称点坐标是（ ）
A.
()
23
2，
B.
(
)25825
6，
C. ()34，
D. （4，3） （1991年全国高考题）
【试题答案】
1. 342505x y x -+==或
提示：（1）当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为y kx b =+。

根据题意，得
1051534
25
42=++=⎧⎨⎪⎩⎪==⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪k b b k k b ，，解得，||
∴所求的直线l 的方程为34250x y -+=。

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为π
2，即直线l 与x 轴垂直。

根据题意，得所求直线l 的方程为x =5。

2. 22+
提示：点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+-=20的距离为
d =
+-+=+-=+
-|cos sin |cos sin |sin cos ||sin()|
θθθθ
θθθπ
2224
22
2。

∵θπ∈[)02，，
∴当，即时，sin()||θπ
θπ
+
=-=
=--=+4
1542222d 最大。

3. 提示：
由
|sin cos |[]θθθπ+-=
∈211402，，，得sin sin 2140θθ-+=，
∴sin θ=
1
2。

4. 解：可设CD 所在直线方程为：x y m ++=30，
则
·
，
||||m ++=-+-+513
210513
2
2
2
2
∴或m =-717。

∵点E 在CD 上方，∴m ＝－17。

经检验不合题意，舍去。

∴m=7，∴CD 所在直线方程为x y ++=370。

∵AB ⊥BC ，
∴可设BC 所在直线方程为30x y n -+=，
则
||
||
--++=
-+-+30131051322
22n ，∴n=9或－3。

经检验，BC 所在直线方程为390x y -+=， AD 所在直线方程为330x y --=。

综上所述，其他三边所在直线方程为x y x y x y ++=-+=--=370390330，，。

5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。

解：在直线2760x y --=上任取一点，如P （3，0），
则点P （3，0）到直线2780x y -+=的距离就是两平行线间的距离。

因此
d =
-++-=
=
||
()23708271453
1453
5322
××。

［注意］
用上面方法可以证明如下结论：
一般地，两平行直线Ax By C ++=10和Ax By C ++=20()C C 12≠间的距离为
d C C A B =
-+||1222。

6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k 。

解：设直线方程为y k x -=+21()，则kx y k -++=20。

∴
||
21
2
22++=
k k ，解之得k k =-=-17或。

故所求直线的方程为y x -=-+21()或y x -=-+271()， 即x y x y +-=++=10750或。

7. 分析：先画图，由图形易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°
角，则由夹角公式求得所求直线的斜率
k k ==-
717或。

解：易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°角，
设所求直线的斜率为k ，则|
|tan k k +
-==4
3143451°，
解之得
k k ==-
71
7或。

∴所求直线方程为x y x y +-=--=7150750或。

［注意］
在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。

8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。

解：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。

其一直线经过AB 的中点；其二直线与AB 所在的直线平行。

又由AB 的中点为（－1，1）得所求直线为y x =+2；当所求直线与AB 所在的直线平行时，得所求直线方程为y =2。

9. 解：直线8625
4
3
x y
+=-
的斜率为
，与它垂直的直线斜率为
3
4，因此原点关于此直线
对称的点应在直线y x
=
3
4上。

对照选项，只有（4，3）在直线上，故选D。

［评注］
本题考查直线方程和对称点的有关知识。