2011高数2章习题课

用求导法则推出.
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十二、高阶导数的概念
定义. 若函数y f (x) 的导函数 y f (x) 可导, 则称
的导函数为f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
六、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
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七、复合函数求导法则
定理3. u g(x) 在点 x 可导,
九、对数法求导
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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五、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) 0)
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在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
y f (u)
u
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
f (u) (v) (x)
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
u v
uv u v2
v
(v 0)
说明: 最基本的公式 (C) 0
dy dy d u f (u) (x)
dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导函数仍为初等函数
(sin x) cos x
(ln
x)
1 x
由定义证 , 其它公式
第二章 习题课
一、知识点复习 二 、习题选讲
第二章
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一、导数的定义(p56)
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
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八、隐函数求导法则
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)
x
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
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二、 导数的几何意义
y y f (x)
曲线 若
在点
tan f (x0 )
曲线过
的切线斜率为
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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十一、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P65表2.1，P81表2.2)
存在 , 因此必有
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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四、 单侧导数(p60)
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点
的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
存在,则称此极限值为 在
f (x0 ) ( f(x0 ))
即 f (x0 ) 例如, f (x) x 在 x = 0 处有
x0
处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0)存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
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2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
CM
上升;
o x0
T x
y
若
曲线过
下降;
若
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
(x0 , y0 )
若
切线与 x 轴垂直 .
o
x0 x
y
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0)
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三、 函数的可导性与连续性的关系(p60)
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
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十、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有