复数的四则运算

例1、 计算:
• (1) (2-3i)(4+2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (3) (a+bi)(a-bi)
zz | z |2 | z |2 特别地,当| z | 1时, zz 1
例2 、 计算:(1+2i)2
例3、当n N *时,计算i n (i)n 所有可能的取值.
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
交换律： 结合律：
Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
例2、（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2 ,求Z (2)设f (Z) Z, Z1 3 4i, Z2 i 2,则求f (Z1 Z2 ) (3)已知Z C,且2Z 3Z1 1 3i,求复数Z.
说明: 称以下式子所表示的数为复数的模 (绝对值)
| z || a bi | r a2 b2
二、共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用Z来表示
即Z a bi时, Z a bi
说明： 1 | Z || Z |
a bi c di

ac bd c2 d 2
(1) 1 i 1 i
(2)
13 9i (2 i)2
(3) (1 2i)2 (2 i)2 2 3 i ( 2 )1000 1 i 1 i 1 2 3i 1 i
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)

ac

bd (bc c2 d 2
ad )i

ac c2

bd d2

bc c2

ad d2
i
(a bi) (c di)
例3、下列命题中正确的是
(1)如果Z1

Z
是
2
实
数
，
则Z1、Z
互
2
为
共
轭复数
(2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯虚数
(4)两个虚数的差还是虚数。
例4、下列命题中的真命题为：
(A)若Z1

Z2

0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
(B)若Z1

Z2

0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
小结
1.
1
注意 : (i4 ) 4

4 1
(i) 4
因为在复数集中未定义分数指数幂
2. 常用的结果 :
in in1 in2 in3
in in1 in2 in3
(1 i)2
31 i _i___;1 i -_i ___;
1i
1 i
(1 i )2007 ______ . 1 i
(C)若Z1

Z2

0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
(D)若Z1

Z2

0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
三、复数的乘法
已知两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 z1·z2=(ac-bd)+(bc+ad)i
复数的乘法满足交换律,结合律以及 分配律,即有 :
z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3