抽象函数与解题策略

抽象函数与解题策略 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

课题抽象函数与解题策略

育诚高级中学——黄勇

一、教学目标

1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；

2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；

3、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。

二、教学重点

通过对抽象函数有关性质的研究来解决求函数值、求解方程和不等式等问题。

三、课型：拓展研究课

四、教学过程

（一）对近年高考试题分析

1、设奇函数()

-，若当[0,5]

x∈时，

f x的定义域为[5,5]

求不等式()0

f x<的解。（2004年高考）

2、()

-

c c

f x是定义在区间[,]

g x的叙述正确的是（

=+，则下列关于函数()

()()

g x af x b

考）

（A）若0

g x的图像关于原点对称；

a<，则函数()

（B）若1,20

a b

g x=有大于2

=--<<，则方程()0

（C）若0,2

g x=有两个实根；

≠=，则方程()0

a b

（D）若1,2

g x=有三个实根。

a b

≥<，则方程()0

（二）例题选讲

例1 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对任意(0,)x y ∈+∞、都有

()()()x f f x f y y

=-。 （1）求(1)f 的值； （2）若(6)1f =，求解不等式：1(3)()2f x f x +-<。

求函数值练习：

1、定义在R 上的函数()y f x =同时满足：（a ）对任意33,()[()]x R f x f x ∈=； (b) 对任意1212x x R x x ∈≠、、均有12()()f x f x ≠。求(0)(1)(1)f f f ++-的值。

2、()f x 是定义在R 上的函数，且1()(1)(()01)1()f x f x f x f x ++=

≠-和，若(1)2f =，求(2005)f 的值。

例2 定义在R 上单调函数()f x 满足2(3)log 3f =且对任意x y R ∈、都有： ()f x y +=()()f x f y +。若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围。

奇偶性练习：

1、已知函数()f x 对任意实数x y 、均有()()()f xy f x f y =⋅且(1)1f -=，试判断()f x 的奇偶性。

2、已知函数()()f x g x 、均为定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，且 ()()()2F x af x bg x =++在(0,)+∞上的最大值为5，求()F x 在(,0)-∞上的最小值。

3、已知函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a b R ∈、都满足()()()f ab af b bf a =+。

（1）求(0)(1)f f 、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并证明。

例3 设函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的x y R ∈、有()()()f x y f x f y +=⋅成立。数列{}n a 满足111(0),()()(2)

n n a f f a n N f a +==∈--且 （1）求证：(0)1f =； （2）证明方程()()f x a a R =∈至多只有一解。

（3）求数列{}n a 的通项公式。

单调性练习：

1 已知定义在R +上的函数()f x 同时满足下列三个条件： （a ）对任意x y R +∈、都有()()()f xy f x f y =+；（b ）1()0x f x ><时，；（c ）

(3)1f =-。

（1）计算(9)f f 、的值； （2）证明()f x 在R

+上为减函数；

（3）有集合2{(,)(1)(5)20,}A c d f c f d c d R +=+-->∈、，1

{(,)()0,}2c

B c d f c d R d +=+=∈、，则是否存在点00(,)c d ，使00(,)c d A B ∈⋂

2 已知定义在R 上的函数()f x 满足：（a ）值域为(1,1)-，且当0x >时有1()0f x -<<；(b)对于定义域内任意的实数x y 、均满足：()()

()1()()f m f n f m n f m f n ++=+⋅。

（1）求(0)f 的值； （2）判断并证明函数()f x 的单调性。

课后作业：

1、已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =。若[1,1],0a b a b ∈-+≠、，则有()()

0f a f b a b +>+。

（1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性并证明；

（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1][1,1]x a ∈-∈-、恒成立，求实数m 的取值范围。

2、已知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： （a ）当12x x 、是定义域中的数时，有121221()()1()()()f x f x f x x f x f x ⋅+-=-； （b ）()1(0,f a a a =->是定义域中的一个数)； （c ）当02x a <<时，()0f x <。 试问：（1）()f x 的奇偶性如何说明理由。

（2）在区间(0,4)a 上，()f x 的单调性如何说明理由。

3、定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()()1x y f x f y f xy

++=+，且当(1,0)x ∈-时()0f x >。

（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性，并说明理由；

（2）判断()f x 在(0,1)上的单调性，并说明理由；

（3）若11()52f =，求111()()()21119f f f --的值。