微分方程在用罗尔定理证明等式中的应用

微分方程在用罗尔定理证明等式中的应用

作者：仲盛

来源：《科技风》2017年第09期

摘要：用罗尔定理证明等式的关键是构造辅助函数，构造辅助函数的一般方法是用导数倒推，此种方法难度较大，可以用微分方程直接求解辅助函数，更方便更有效。

关键词：中值定理；微分方程；辅助函数

微分中值定理最直接的应用是可以用来证明一些等式，而这类问题大多数情况下是以“至少存在一点使某等式成立”的形式出现。

在用微分中值定理证明等式时，该如何构造辅助函数，是高等数学中难以掌握的技巧，本文以罗尔定理为例，给出了一个在用中值定理证明等式时构造辅助函数的方法，即通过微分方程来构造辅助函数，从而为技巧性较强的辅助函数的构造，提供了一个一般性的新方法。

一、罗尔中值定理

由例1可见，用罗尔定理证明等式时，要构造辅助函数F（x），验证其在[a，b]上满足罗尔中值定理的三个条件，由证明F ′（ξ）=0，达到证明问题的目的。

至此，证明思路已经明确，但是该何构造辅助函数F（x）便成为解决问题的关键。在例1中是通过导数倒推，但是用导数倒推F（x）的难度比较大，解题者受自身水平所限，常常无法迅速正确的推出F（x），尤其是对高职学生来说难度更大。

用导数倒推构造辅助函数的过程，其实就是在做导数的逆运算，而导数的逆运算就是积分运算，而能将导数和积分结合应用的就是微分方程。由此，笔者找到了构造辅助函数的一般性方法，即用微分方程直接求出辅助函数F（x）。

二、结语

本文给出了在用中值定理证明等式时，可以用微分方程直接求解辅助函数，这种方法较之用导数倒推辅助函数，很多情况下会更直接更有效。

参考文献：

[1] Maurice Weir.托马斯微积分[M].北京：高等教育出版社，2003，8.