数值分析中的误差
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第9章 数值分析中的误差 典型问题解析
考试知识点：误差、有效数字。（6%）
学习要点：误差、有效数字。
典型问题解析：
一、误差
绝对误差e ：e =x －x *
（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。
绝对误差限ε：ε≤-=*x x e
（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。）
相对误差e r ：***-==x x x x e e r
（绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e
e r =
计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），
r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*x r εε=，常用x ε计算.
绝对误差限的估计式：（四则运算中）
)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈
22122121
+=x x x x x x x )()()(εεε
二、有效数字
有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.
(1)设精确值x *的近似值x ，若
m n a a a x 10.021⨯±=
a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，
n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε
则x 有l 位有效数字.
例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.
解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）
31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）
故x =3.14有3位有效数字。
若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）
41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）
故x =3.1415有4位有效数字。
若x =3.143=0.3143×101，（m =1）
31105.04074001.0-*⨯≤=- x x （l =3）
故x =3.143有3位有效数字。
(2)设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 有n 位有效数字，则其相对误差限
1
1
1021+-⨯≤n r a ε （定理1）
(3) 设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于
1110)1(21
+-⨯
+n a
则它至少有n 位有效数字。 （定理2）
(4) 要求精确到10－k (k 为正整数)，则该数的近似值应保留k 位小数。
例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.000 4 －0.002 00 9 000.00
解：① x 1=2.000 4＝0.200 04×101, (m=1)
绝对误差限ε(x 1)=0.000 05=0.5×10 1―5，(l =5)
故x =2.000 4有5位有效数字。
又a 1=2，相对误差限025000.01021
5
11
=⨯⨯=-a r ε。 或025000.0)
(1
1==x x r εε。
② x 2=－0.002 00=―0.200×10―2，(m=-2)
绝对误差限ε(x 2)=0.000 005=0.5×10-5，（l =3）
故x 2=－0.002 00有3位有效数字.
又a 1=2，相对误差限εr =3
110221-⨯⨯=0.0025
③ x 3=9 000.00=0.900000×104，(m=4)
绝对误差限ε(x 3)=0.5×10-2， （l =6）
故x 3=9 000有6位有效数字，
又a =9，相对误差限εr ＝
6110921-⨯＝0.000 000 56
由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.
例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693
例4 P15-5 解：*)(L L L -=ε
)(2)()(2L L L S εεε==
005.02001
2)()(===L S L εε