21-3 数学分析全套课件

例3 求
xdy ydx L x2 y2 ,
L :| x | | y | 1 逆时针。
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（2）求面积 L 所围区域为D,其面积为A,则
1
A 2 ÑL xdy ydx
例 计算抛物线 ( x y)2 ax (a 0) 与 x 轴所围图 形的面积 (如图).
y
M
O
N A(a,0) x
(i) D 内任一光滑封闭曲线 L, 有 Ñ L P dx Q dy 0; (ii) L Pdx Q dy 在D 内与路径无关
(iii)在 D 内有 du P dx Qdy; (iv) 在 D 内处处成立 P Q .
y x
例 求证 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy L 在 R2 内与路径无关
性质 du P dx Qdy, 则
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Pdx
Qdy
u(
x2
,
y2)u( Nhomakorabeax1
,
y1
)
求法 微分运 算法则
公式法
( x, y)
u( x, y)
Pdx Qdy c
( x0 , y0 )
例1 求下列全微分的原函数
(1) ( x2 2xy y2 )dx ( x2 2xy y2 )dy
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二、曲线积分与路线的无关性
xdy ( y 1)dx,
L
L Pdx Qdy
y
2
B(1, 2)
1
O A(1,0) x
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二、曲线积分与路线的无关性
1.定义 定义1 G为区域，A,B为内任意两点，L1, L2 为始点A
终称点LB的Pdx任意Qd两y 在曲G线内，与若路径L1 P无dx关 Qdy L2 Pdx Qdy
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L D
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2.格林公式 定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上 有连续的一阶偏导数, 则有
D
Q x
P y
d
Ñ L Pdx
Qdy ,
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
y
E
记忆方法2(x) Bx
A
DD P
C 1( x)
Oa
bx
Ñ
y x
例.计算 (1+ xy2 )dx + x2 ydy 其中L是椭圆 x2 + y2 = 1
L
4
在第一象限的部分，方向从点A(2,0)到点B(0,1).
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2.原函数
定义 D 为单连通区域.若 du P dx Qdy,
称 u为 P dx Qdy 在D 内的原函数
条件 P dx Qdy 存在原函数 P Q y x
定义2若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不
经过 D以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点,则
称此平面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.
D1
D2
D3
D4
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2.结论
定理 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y),Q( x , y) 在 D 内有一阶连续偏导数, 则以下四个条件两两等价:
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上次课内容
格林公式
定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上 有连续的一阶偏导数, 则有
D
Q x
P y
d
Ñ L Pdx
Qdy ,
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
曲线积分与路线的无关性
L Pdx Qdy 在G内与路径无关
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(2) (2x sin y)dx x cos ydy
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例2 求证
e x (cos ydx sin
L
ydy)
在
R2
内与路径
无关 ，且求
( 2
, 2
)
e
x
(cos
ydx
sin
ydy)
(0,0 )
例3 设 xy2dx y ( x)dy) 在 R2 内与路径 L
无关 ，求 (1,1) xy2dx y ( x)dy (0 ,0 )
y dD1L3
L2
Pdx D2Qdy .G
L
Q
E
L3
C
DF
D3
L1
L2 B
L1
A
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3.应用 （1）求曲线积分
x y d ÑL Pdx Qdy .
DP Q
例1
求 ( x y)dx ( x y)dy, L
L:
x2 a2
y2 b2
1
逆时针。
例2 求 (ex sin y 3 y)dx (e x cos y 2x)dy, L L:从 A(a, 0) 沿 x2 y2 ax 上半圆到 O(0, 0)
定理 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y),Q( x , y)
在 D 内有一阶连续偏导数, 则以下四个条件两两等价:
(i) D 内任一光滑封闭曲线 L, 有 Ñ L P dx Q dy 0; (ii) L Pdx Q dy 在D 内与路径无关
(iii)在 D 内有 du P dx Qdy; (iv) 在 D 内处处成立 P Q .
上次课内容 用直角坐标计算二重积分步骤 （1）画积分区域D （2）选择积分次序 （3）定限：
X型 将D 投影到X轴上，得 x 积分限 a, b x [a, b] 作平行 y 轴的直线，穿入为 y1( x)穿出为 y2( x)
Y型 将D 投影到Y轴上，得 y 积分限 c, d y [c, d ] 作平行 x 轴的直线，穿入为 x1( y)，穿出为x2( y)
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§3 格林公式·曲线积分
与路线的无关性
y
B
L Pdx Qdy
F (P,Q)
A
o
x
Ñ dx dy , A(1, 0), B(0,1),C(1, 0), D(0, 1)
ABCDA | x | | y |
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一、格林公式
1.定义L为有向闭曲线，所围区域为D ，当人沿L行走时， D总在它的左边,称该方向正向，其反方向称为负向