关于序半群的正则和反强正则同余
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余 和反 强正则 同余 的一般 刻 画． 关 键 词 ： 反 拟 链 ； 反 强 正 则 同余 ； 正 则 同余
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ２ ７ ５ ．
文献标 志码 ： Ａ
Ｏｎ Ｉ ｖ ｒ ｅＳ ｒ ｎ ｌ ｇ ｌ ｒＣｏ ｇ ｕ ｎｃ ｓｏ ｄｅ ｅ ｅ ｉ ｒ ｕ ｓ ｎ ｅ ｓ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｒｅ ｕ ａ ｎ ｒ ｅ ｅ ｎ Ｏｒ ｒ ｄ Ｓ ｍ ｇ ｏ ｐ
文章 编 号 ：１ ０ ・ ３ ２ （ ０ ２）０ ・０ １０ ０ ６７ ０ ２ １ １０ ０ － ５
关 于序 半 群 的正 则 和 反 强 正 则 同余
谢祥 云 ，谷泽
（ 邑大学 数 学与计算科 学 学院 ，广 东 江 门 ５ ９ ２ 五 ２ ０ ０）
摘要 ：引入 了序 半群 中反拟链 和 反 强正则 同余 等概 念 ，讨论 了它们的 一些 性质 ， 出了正则 同 给
模 糊代 数 、粗 糙 集理 论 ．
２
五邑大学学报 （ 然科学版 ） 自
２ １ 矩 ０２
构 映射 厂使 得 ｆ ａ＝ｈ．关 于 可 剩 余 半 群 和 Ｄ ｂｅｌ等价 可 参 见 文献 【】 ｕ ｒｉ ３的第 三 章 ．为 了 回答 一 般 序半 群上 同余 理 论 的上 述 问题 ，上 世 纪 九 十年 代 ， 祥 云 提 出了序 半 群 的正 则 同 余 理论 【 １ ｈｙ ｐ ｌ 谢 ，Ｋｅａｏｕｕ — 等［７ 绍 了序 半 群 中拟 序 的 概 念 ，即如果 是 上 的拟 序 ， 么存 在 的 同余 使 得 ／ 是 序 ６１ －介 那 半群 ，且 到 ／ 存 在 保 序 同态 ．这样 ，序半 群 的正则 同余 理 论 和 拟 序理 论 在 一 定 程 度上 可 以 相互 表示 ．近 年 ，序 半 群 的 正则 同余 理 论 得 到 了更 深 入 的 发展 ［ｉ ，并 进 一 步推 广到 序 ｓ ８ｏ －】 一系理论 中去 刻 画 序 Ｓ一系 的 同余 理 论 ［ｉ 以上 研 究 的 基 础 上 ，本 文 引进 了序 半 群 中反 拟 链 和 反 强 正 则 同 余 等概 ｈ．在
定义 ２ ３５ 序半群 （， ） １７ １ １ ． 上的正则同余称为反强正则的，如果≤ Ｐ 。 ． ， 。 Ｐ ≤
由性 质 １ ，有推 论 １ ．
推论 １ 设 Ｐ 是序半群（， ） ｓ． 上的反强正则同余且 是包含Ｐ的最小拟序，则 ＝ ｏ ・ ， ｐ≤
证 明 因为 Ｐ是 反 强 正 则 的 ，有
第２卷 ６
２１ ０ ２年
第１ 期
２月
五 邑大学学报 （ 然科 学版 ） 自
Ｊ Ｒ Ｌ ＯＵ ＮＡ ＯＦ ＷＵＹ ＵＮ ＶＥ ＩＹ Ｉ Ｉ ＲＳＴ （Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ） ｔａ ｕ Ｓ ｉ ｃ Ｅ ｉｏ ｅ ｉ
Ｖｂ ．６ Ｎｏ １ １ ２ ． Ｆｅ ． ｂ ２０ ２ １
性质 １。 设 Ｐ是序半群 （， ） ｌ】 ’ ． 的正则 同余 ， 是 的包含 Ｐ的最小 的拟序． ， ≤ 则 是 上的二
元关系 Ｐ（ 。 的传递闭包，即 （。）＝ ≤ ． 。 或Ｐ ） ＝ ≤ Ｊ （ ） ｌ
第２卷 第 １ ６ 期
谢祥云等：关于序半群的正则和反强正则同余
１ 引言 与 预 备知 识
一
个 代 数 系 统 （，称 为半 群 ，如 果 Ｓ满 足 结 合律 ，即 ： （ｙｚ ｘｙ）Ｖ ，，ＥＳ．半 群 （， 称 为 ・ ） ｘ） ＝ （ｚ， ｘＹｚ ・ ）
序 半 群 ，如 果 （， 还 赋 予 偏 序 关 系 “ ． ） ≤”使 得 上 的偏 序 关 系与 其 上 的二 元 运算 是 左 右相 容 的 ，即 ：
收 稿 日期 ：２ １ ．７２ ０ １０ －６
基 金 项 目 ：国家 自然科 学基 金 资助 项 目 （ ｏ１９ １ １ ；广 东省科 技 计 划 资助 项 目 （ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ９ ；广 东 Ｎ ．０ ６０ ４） ２ １Ｂ １６ ０ ３ ） 省 自然科 学基 金 资助 项 目 （ ２ １ ０ ０ ０ ６ Ｓ ０ １ １ ０ ３ ８） 作 者 简 介 ：谢 祥 云 （ ９ ４ ） 男 ，安 徽舒 城人 ，教 授 ，博 士 ，硕 士 生 导 师 ，研 究 方 向为 序 半 群 的代 数 理论 、 １ ６一 ，
完 备格 ：
（６ Ｉ 售刍 ＝， … ６ Ｓ 使 对 个 ∈ 】， ｃＣ ） ． 口） － ，∈ Ｉ ｃ 口 ，， ∈ ， 得 某 ，｛ 有（， ， ０ ｑ ＝ Ｊｊ ∈ ＋
ａＥ厂 ：
设Ｐ为Ｓ 的同余，则 （ｉ，是Ｓ Ｓ ｐ‘ 的商半群 （ ／ ） 这里 上的运算 “ ”定义为（）’ ） ：（ ｐ， ・ ｐ（ ｐ ＝ ）
ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｅ ｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ｎ ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇ ｙｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎ ｒ ｅ ｃ ｓ ｈａ ａ ｔ ｒｚ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓａ ｄ ｉ ｖ ｒｅ ｓｒ ｎ ｌ ｅ ｕ ａ ｏ ｇ ｕ ｎ ｅ ．
Ｋｅ ｒ Ｊ ｉ ｖ ｒ ｅｑｕ ｓ－ｃ ａ ｎ； ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇ ｙｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ； ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｎ ｅ ｓ ａ ｉ ｈ ｉ ｉ ｖ ｒ ｅｓ ｒ ｎ ｌ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ
引理 １３ 设ｓ ｛８ １０ １ 为序半群，Ｐ为ｓ 上的正则同余． 则Ｐ的任一同余类（），∈ 为凸子集． 口。ａ Ｓ
引理 ２¨’ 设（，≤序半群 ， ｔ】 ．） ，
１ 为 的 拟序 ； ）
Ｓ Ｓ． ｘ 则下列结果是等价的：
２ 存 序 群（ ） 态映 ：－Ｔ －＝（６ ｓｓ （ ＜ （） ） 在 半 ， 及同 射 Ｓ－ ￣ 仃 ｛，∈ ｘｌａ ６ ． ， ≤ － ） 口） ｒ） ） ａ －
ｓ ｍ ｉｒ ｕｐ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ．Ｓ ｍｅ ｏ ｈ ｉ ｒ ｐ ｒｉ ｓ ｒ ｔ ｉｄ，ａ ｄ ｏｍｅ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｒ ｉ ｅ ｏ ｅ ｇ ｏ ｓ ａ ｅ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｏ ｆ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ａ ｅ ｓｕｄ ｅ ｎ ｓ ｈ ｏ ｅ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｔ
是 一 个 带 有 单 位 元 ｅ 可 剩 余 序 半 群 ，Ｆ ｃｓ 】 明 了 上 存 在 同余 ０ 我 们 称 之 为 上 的 的 ｕ ｈ￣ 证 Ｉ （
Ｄｕ ｒｉＪｃｔ ｂｅｌ ａｏｉ ・ ｎ同余 ） 使 得 关 于 的 商是 序 半 群 且 存 在 到 该 序半 群 的保 序 同态 映 射 ．如果 是 一 ， 个 带 有 单 位 元 ｅ 格 序 半 群 ，并 且 对 于 任 意 的 ａ 有 ａ≤ｅ，ＭｃＣｏｔｙ 过 Ｓ的子 半 群 描述 的 ＥＳ都 ． ｒ ｔ通 ｈ １ 了一 个 同余 ０，证 明 了 如果 是 可 剩余 序 半 群 ，ｈ是 到 的保 剩 余 同态 ，那 么 就 存 在 ／ ０到 的 同
Ｖ，∈ ，具体参见文献【 】 ． （， ） ｘｙ ｓ） ． １ ） 设 ｓ・ 是序半群，ｓ ２ ， 上的关系 称为拟序 ６ ２ ，如果 ≤ ，
。 ，
而 且 与运 算 “・ ”相 容 ．
设 和 为序 半 群 ，映 射 ． Ｓ－ Ｔ称 为 同态 ，如果 它 是 半 群 同态 并且 保 序 【 ． 厂： ÷ 】 本 文 用 到 的其 他 定 义 和 术 语参 见 文 献 ［２１］ １－３．
（ ｘＹ ∈ ≤ Ｖ ，， ） Ｙ ｚ， Ｚ ｙ ． Ｙ Ｘ ｚ
类 似 于 半 群 的 同 余 理 论 ，序 半 群 的 同余 对 于 研 究 序 半 群 的结 构 也 有 着 很 重 要 的作 用 ． 设 是 序 半 群 ， Ｐ是 上 的 同余 ，那 么 商半 群 ｓ／ Ｐ一 般情 况下 不 是 带 有 非 平 凡 序 的序 半 群 ．进 一 步 看 ，即使 Ｓ Ｐ是 序半 群 ，我 们 也 不 知 道 ／ ／ Ｐ上 的序 关 系 是 否 和 Ｓ上 的 序 关 系有 关 ．对 于 一 些 特殊 的序 半 群 ， 存 在一 些 同余 使 得 它们 的 商 半 群 是 序半 群 ， 且 商 半 群 的 序 关 系 和原 半 群 的序 关 系有 关 ．例 如 ， 而 设
ＸＩ Ｘｉ ｎ －ｙ ｎ Ｅ ａ ｇ ｕ ，ＧＵ Ｚ ｅ
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄＣ ｍｐ ｔｔ ｎＳ ｉｎ ｅ Ｗｕ ｉ ｎｖ ｒｉ ， ｉｎ ｍｅ ２ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ｎ ｏ ｕ ａｉ ｃｅ ｃ ， ｙ ｉｅｓｔ Ｊａ ｇ ｎ ５ ９ ２ ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｏ Ｕ ｙ
（。 ）＝ 。 。） Ｐ （。） Ｐ ≤ Ｐ≤ Ｐ （ 。 。 ≤。 。 ， ≤
因此 ｐ ≤ 传 递 的 ．故 ｏ是
＝
Ｕ（ｏ ）＝ ｏ ． Ｐ ≤ ｐ ≤
Ｊ ｒ ／ ＼ ｜ ｒ ／
性 ２ ｛） 为 半 Ｓ 反 正 同 簇 ≤ 、厂 ｌ 质 设 序 群 的 强 则 余 ， 。 、 ， 则Ｉ 厂 Ｈ Ｈ ｏ ＜
２ 正则 和 反 强正 则 同余
定 义 １１ 设 ｓ是一 个 序 半群 ，Ｐ为 Ｓ的 同余 ．Ｐ称 为 Ｓ的 正则 同余 如果 在 商 半 群 ／ 存在 ｆ】 Ｐ上 序 关 系 “ ”满 足 ：
１ ／，≤是一序半群； ）（ Ｐ．） ，
２）映射 ： ÷ Ｓ＿ ／ ＿ ） ÷ 是保 序 的 ，即序 半 群 Ｓ到序 半 群 ／ Ｐ存 在 同态 映射 ．
引理 ３¨７ 设（， ） ｔ】 ４ ． 序半群，Ｐ为 的同余． ， ≤ 则下列各款等价：
１ ）Ｐ为正 则 同余 ；
２ 存 一 序 群（ ） 同 映 ：．７ 得Ｐ ｛，ｌａ ６ ； ） 在 个 半 ， 及 态 射 Ｓ÷ 使 ＝ ａ）（ ＝ （｝ ， ’ ６ ） ）
３ ）存在 的拟序则同余 Ｐ 而言， 商半群（／， ） Ｓ ｐ・ 上存在的序关系 “ ”一般情况下 ， ≤ ≤
不是 唯 一 的 ，故包 含 Ｐ的拟 序 不 是 唯 一 的 ． 实 上 ，设 是 拟序 ，Ｐ＝ａＮａ 事 是 包 含 在 中的最 大 的正 则 同余 ．设 为 包含 在 中 的 的正 则 同余 ，则 ＝ Ｎｐ ， ｏＮ ＇ ＝Ｐ．
念 ，讨 论 了 它们 的 一些 性 质 ，给 出 了正 则 同余 和 反 强正 则 同 余 的一 般 刻 画．
本文 中 ， 始终 表示 序 半 群 ． 的一 个 非空 子 集 称 为 凸集 ，如 果 ａ６ ，∈Ａ，对任 意 元 素 ｃ 有 ，Ｓ Ｅ ａ ≤ｂ，则 ｃ ≤ｃ ＥＡ．Ｓ的 同余 Ｐ是 Ｊ上 的等 价 关 系 ，且 与 上 的乘 法 相 容 【 ２．记 Ｓ上 的所 有 同余 集 ｓ 】 ２ 为 ｃ ，则 ｃ（） 于集 合 的包 含 关 系 “ ”构成 偏 序 集 ，其 关 于集 合 的交 和 下 面 定 义 的并 运算 构 成 （） 关
Ａｂｓｒｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｎｖ ｒｅ ｕ ｓ－ｃ ａ ｎ ｎ ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇｙ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｎ ｏ ｄ ｒ ｄ ｔａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｉ ｅ ｓ ｑ ａ ｉ ｈ ｉ ａ ｄ ｉ ｖ ｒｅ ｓｒ ｎ ｌ ｒ ｇ ｌ ｒ ｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ｏ ｒ ｅ ｅ
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ２ ７ ５ ．
文献标 志码 ： Ａ
Ｏｎ Ｉ ｖ ｒ ｅＳ ｒ ｎ ｌ ｇ ｌ ｒＣｏ ｇ ｕ ｎｃ ｓｏ ｄｅ ｅ ｅ ｉ ｒ ｕ ｓ ｎ ｅ ｓ ｔ ｏ ｇ ｙ Ｒｅ ｕ ａ ｎ ｒ ｅ ｅ ｎ Ｏｒ ｒ ｄ Ｓ ｍ ｇ ｏ ｐ
文章 编 号 ：１ ０ ・ ３ ２ （ ０ ２）０ ・０ １０ ０ ６７ ０ ２ １ １０ ０ － ５
关 于序 半 群 的正 则 和 反 强 正 则 同余
谢祥 云 ，谷泽
（ 邑大学 数 学与计算科 学 学院 ，广 东 江 门 ５ ９ ２ 五 ２ ０ ０）
摘要 ：引入 了序 半群 中反拟链 和 反 强正则 同余 等概 念 ，讨论 了它们的 一些 性质 ， 出了正则 同 给
模 糊代 数 、粗 糙 集理 论 ．
２
五邑大学学报 （ 然科学版 ） 自
２ １ 矩 ０２
构 映射 厂使 得 ｆ ａ＝ｈ．关 于 可 剩 余 半 群 和 Ｄ ｂｅｌ等价 可 参 见 文献 【】 ｕ ｒｉ ３的第 三 章 ．为 了 回答 一 般 序半 群上 同余 理 论 的上 述 问题 ，上 世 纪 九 十年 代 ， 祥 云 提 出了序 半 群 的正 则 同 余 理论 【 １ ｈｙ ｐ ｌ 谢 ，Ｋｅａｏｕｕ — 等［７ 绍 了序 半 群 中拟 序 的 概 念 ，即如果 是 上 的拟 序 ， 么存 在 的 同余 使 得 ／ 是 序 ６１ －介 那 半群 ，且 到 ／ 存 在 保 序 同态 ．这样 ，序半 群 的正则 同余 理 论 和 拟 序理 论 在 一 定 程 度上 可 以 相互 表示 ．近 年 ，序 半 群 的 正则 同余 理 论 得 到 了更 深 入 的 发展 ［ｉ ，并 进 一 步推 广到 序 ｓ ８ｏ －】 一系理论 中去 刻 画 序 Ｓ一系 的 同余 理 论 ［ｉ 以上 研 究 的 基 础 上 ，本 文 引进 了序 半 群 中反 拟 链 和 反 强 正 则 同 余 等概 ｈ．在
定义 ２ ３５ 序半群 （， ） １７ １ １ ． 上的正则同余称为反强正则的，如果≤ Ｐ 。 ． ， 。 Ｐ ≤
由性 质 １ ，有推 论 １ ．
推论 １ 设 Ｐ 是序半群（， ） ｓ． 上的反强正则同余且 是包含Ｐ的最小拟序，则 ＝ ｏ ・ ， ｐ≤
证 明 因为 Ｐ是 反 强 正 则 的 ，有
第２卷 ６
２１ ０ ２年
第１ 期
２月
五 邑大学学报 （ 然科 学版 ） 自
Ｊ Ｒ Ｌ ＯＵ ＮＡ ＯＦ ＷＵＹ ＵＮ ＶＥ ＩＹ Ｉ Ｉ ＲＳＴ （Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ） ｔａ ｕ Ｓ ｉ ｃ Ｅ ｉｏ ｅ ｉ
Ｖｂ ．６ Ｎｏ １ １ ２ ． Ｆｅ ． ｂ ２０ ２ １
性质 １。 设 Ｐ是序半群 （， ） ｌ】 ’ ． 的正则 同余 ， 是 的包含 Ｐ的最小 的拟序． ， ≤ 则 是 上的二
元关系 Ｐ（ 。 的传递闭包，即 （。）＝ ≤ ． 。 或Ｐ ） ＝ ≤ Ｊ （ ） ｌ
第２卷 第 １ ６ 期
谢祥云等：关于序半群的正则和反强正则同余
１ 引言 与 预 备知 识
一
个 代 数 系 统 （，称 为半 群 ，如 果 Ｓ满 足 结 合律 ，即 ： （ｙｚ ｘｙ）Ｖ ，，ＥＳ．半 群 （， 称 为 ・ ） ｘ） ＝ （ｚ， ｘＹｚ ・ ）
序 半 群 ，如 果 （， 还 赋 予 偏 序 关 系 “ ． ） ≤”使 得 上 的偏 序 关 系与 其 上 的二 元 运算 是 左 右相 容 的 ，即 ：
收 稿 日期 ：２ １ ．７２ ０ １０ －６
基 金 项 目 ：国家 自然科 学基 金 资助 项 目 （ ｏ１９ １ １ ；广 东省科 技 计 划 资助 项 目 （ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ９ ；广 东 Ｎ ．０ ６０ ４） ２ １Ｂ １６ ０ ３ ） 省 自然科 学基 金 资助 项 目 （ ２ １ ０ ０ ０ ６ Ｓ ０ １ １ ０ ３ ８） 作 者 简 介 ：谢 祥 云 （ ９ ４ ） 男 ，安 徽舒 城人 ，教 授 ，博 士 ，硕 士 生 导 师 ，研 究 方 向为 序 半 群 的代 数 理论 、 １ ６一 ，
完 备格 ：
（６ Ｉ 售刍 ＝， … ６ Ｓ 使 对 个 ∈ 】， ｃＣ ） ． 口） － ，∈ Ｉ ｃ 口 ，， ∈ ， 得 某 ，｛ 有（， ， ０ ｑ ＝ Ｊｊ ∈ ＋
ａＥ厂 ：
设Ｐ为Ｓ 的同余，则 （ｉ，是Ｓ Ｓ ｐ‘ 的商半群 （ ／ ） 这里 上的运算 “ ”定义为（）’ ） ：（ ｐ， ・ ｐ（ ｐ ＝ ）
ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｅ ｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ｎ ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇ ｙｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎ ｒ ｅ ｃ ｓ ｈａ ａ ｔ ｒｚ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓａ ｄ ｉ ｖ ｒｅ ｓｒ ｎ ｌ ｅ ｕ ａ ｏ ｇ ｕ ｎ ｅ ．
Ｋｅ ｒ Ｊ ｉ ｖ ｒ ｅｑｕ ｓ－ｃ ａ ｎ； ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇ ｙｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ； ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｎ ｅ ｓ ａ ｉ ｈ ｉ ｉ ｖ ｒ ｅｓ ｒ ｎ ｌ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｒ ｇ ｌ ｒｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ
引理 １３ 设ｓ ｛８ １０ １ 为序半群，Ｐ为ｓ 上的正则同余． 则Ｐ的任一同余类（），∈ 为凸子集． 口。ａ Ｓ
引理 ２¨’ 设（，≤序半群 ， ｔ】 ．） ，
１ 为 的 拟序 ； ）
Ｓ Ｓ． ｘ 则下列结果是等价的：
２ 存 序 群（ ） 态映 ：－Ｔ －＝（６ ｓｓ （ ＜ （） ） 在 半 ， 及同 射 Ｓ－ ￣ 仃 ｛，∈ ｘｌａ ６ ． ， ≤ － ） 口） ｒ） ） ａ －
ｓ ｍ ｉｒ ｕｐ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ．Ｓ ｍｅ ｏ ｈ ｉ ｒ ｐ ｒｉ ｓ ｒ ｔ ｉｄ，ａ ｄ ｏｍｅ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｒ ｉ ｅ ｏ ｅ ｇ ｏ ｓ ａ ｅ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｏ ｆ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ａ ｅ ｓｕｄ ｅ ｎ ｓ ｈ ｏ ｅ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｔ
是 一 个 带 有 单 位 元 ｅ 可 剩 余 序 半 群 ，Ｆ ｃｓ 】 明 了 上 存 在 同余 ０ 我 们 称 之 为 上 的 的 ｕ ｈ￣ 证 Ｉ （
Ｄｕ ｒｉＪｃｔ ｂｅｌ ａｏｉ ・ ｎ同余 ） 使 得 关 于 的 商是 序 半 群 且 存 在 到 该 序半 群 的保 序 同态 映 射 ．如果 是 一 ， 个 带 有 单 位 元 ｅ 格 序 半 群 ，并 且 对 于 任 意 的 ａ 有 ａ≤ｅ，ＭｃＣｏｔｙ 过 Ｓ的子 半 群 描述 的 ＥＳ都 ． ｒ ｔ通 ｈ １ 了一 个 同余 ０，证 明 了 如果 是 可 剩余 序 半 群 ，ｈ是 到 的保 剩 余 同态 ，那 么 就 存 在 ／ ０到 的 同
Ｖ，∈ ，具体参见文献【 】 ． （， ） ｘｙ ｓ） ． １ ） 设 ｓ・ 是序半群，ｓ ２ ， 上的关系 称为拟序 ６ ２ ，如果 ≤ ，
。 ，
而 且 与运 算 “・ ”相 容 ．
设 和 为序 半 群 ，映 射 ． Ｓ－ Ｔ称 为 同态 ，如果 它 是 半 群 同态 并且 保 序 【 ． 厂： ÷ 】 本 文 用 到 的其 他 定 义 和 术 语参 见 文 献 ［２１］ １－３．
（ ｘＹ ∈ ≤ Ｖ ，， ） Ｙ ｚ， Ｚ ｙ ． Ｙ Ｘ ｚ
类 似 于 半 群 的 同 余 理 论 ，序 半 群 的 同余 对 于 研 究 序 半 群 的结 构 也 有 着 很 重 要 的作 用 ． 设 是 序 半 群 ， Ｐ是 上 的 同余 ，那 么 商半 群 ｓ／ Ｐ一 般情 况下 不 是 带 有 非 平 凡 序 的序 半 群 ．进 一 步 看 ，即使 Ｓ Ｐ是 序半 群 ，我 们 也 不 知 道 ／ ／ Ｐ上 的序 关 系 是 否 和 Ｓ上 的 序 关 系有 关 ．对 于 一 些 特殊 的序 半 群 ， 存 在一 些 同余 使 得 它们 的 商 半 群 是 序半 群 ， 且 商 半 群 的 序 关 系 和原 半 群 的序 关 系有 关 ．例 如 ， 而 设
ＸＩ Ｘｉ ｎ －ｙ ｎ Ｅ ａ ｇ ｕ ，ＧＵ Ｚ ｅ
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄＣ ｍｐ ｔｔ ｎＳ ｉｎ ｅ Ｗｕ ｉ ｎｖ ｒｉ ， ｉｎ ｍｅ ２ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ｎ ｏ ｕ ａｉ ｃｅ ｃ ， ｙ ｉｅｓｔ Ｊａ ｇ ｎ ５ ９ ２ ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｏ Ｕ ｙ
（。 ）＝ 。 。） Ｐ （。） Ｐ ≤ Ｐ≤ Ｐ （ 。 。 ≤。 。 ， ≤
因此 ｐ ≤ 传 递 的 ．故 ｏ是
＝
Ｕ（ｏ ）＝ ｏ ． Ｐ ≤ ｐ ≤
Ｊ ｒ ／ ＼ ｜ ｒ ／
性 ２ ｛） 为 半 Ｓ 反 正 同 簇 ≤ 、厂 ｌ 质 设 序 群 的 强 则 余 ， 。 、 ， 则Ｉ 厂 Ｈ Ｈ ｏ ＜
２ 正则 和 反 强正 则 同余
定 义 １１ 设 ｓ是一 个 序 半群 ，Ｐ为 Ｓ的 同余 ．Ｐ称 为 Ｓ的 正则 同余 如果 在 商 半 群 ／ 存在 ｆ】 Ｐ上 序 关 系 “ ”满 足 ：
１ ／，≤是一序半群； ）（ Ｐ．） ，
２）映射 ： ÷ Ｓ＿ ／ ＿ ） ÷ 是保 序 的 ，即序 半 群 Ｓ到序 半 群 ／ Ｐ存 在 同态 映射 ．
引理 ３¨７ 设（， ） ｔ】 ４ ． 序半群，Ｐ为 的同余． ， ≤ 则下列各款等价：
１ ）Ｐ为正 则 同余 ；
２ 存 一 序 群（ ） 同 映 ：．７ 得Ｐ ｛，ｌａ ６ ； ） 在 个 半 ， 及 态 射 Ｓ÷ 使 ＝ ａ）（ ＝ （｝ ， ’ ６ ） ）
３ ）存在 的拟序则同余 Ｐ 而言， 商半群（／， ） Ｓ ｐ・ 上存在的序关系 “ ”一般情况下 ， ≤ ≤
不是 唯 一 的 ，故包 含 Ｐ的拟 序 不 是 唯 一 的 ． 实 上 ，设 是 拟序 ，Ｐ＝ａＮａ 事 是 包 含 在 中的最 大 的正 则 同余 ．设 为 包含 在 中 的 的正 则 同余 ，则 ＝ Ｎｐ ， ｏＮ ＇ ＝Ｐ．
念 ，讨 论 了 它们 的 一些 性 质 ，给 出 了正 则 同余 和 反 强正 则 同 余 的一 般 刻 画．
本文 中 ， 始终 表示 序 半 群 ． 的一 个 非空 子 集 称 为 凸集 ，如 果 ａ６ ，∈Ａ，对任 意 元 素 ｃ 有 ，Ｓ Ｅ ａ ≤ｂ，则 ｃ ≤ｃ ＥＡ．Ｓ的 同余 Ｐ是 Ｊ上 的等 价 关 系 ，且 与 上 的乘 法 相 容 【 ２．记 Ｓ上 的所 有 同余 集 ｓ 】 ２ 为 ｃ ，则 ｃ（） 于集 合 的包 含 关 系 “ ”构成 偏 序 集 ，其 关 于集 合 的交 和 下 面 定 义 的并 运算 构 成 （） 关
Ａｂｓｒｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｎｖ ｒｅ ｕ ｓ－ｃ ａ ｎ ｎ ｎ ｅ ｓ ｔｏ ｇｙ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｅ ｃ ｓ ｎ ｏ ｄ ｒ ｄ ｔａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｉ ｅ ｓ ｑ ａ ｉ ｈ ｉ ａ ｄ ｉ ｖ ｒｅ ｓｒ ｎ ｌ ｒ ｇ ｌ ｒ ｃ ｎｇ ｕ ｎ ｅ ｏ ｒ ｅ ｅ