圆周长弧长

例 半径为4cm ，50°的圆心角所对应的弧长是多少？ 解：设弧长为l cm ，∵n=50°， R=4，∴l π=⋅π⋅=
9
10
180450（cm ）
． 说明：弧长公式的简单应用．
例 已知：弧长为l ，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长． 解：如图，∠AOB=120°，的长=l ，
则l R 32180R 120π=⋅π⋅=
，∴R=π
23
l ，
作OH ⊥AB 于H ，在Rt △AOH 中，∠A=30°， ∴AH=AO ·cos30°=
π433l ，∴AB=2AH=π
23
3 l ． 答：这条弧所对应的弦长为
π
23
3 l ． 说明：（1）灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数；（2）弧长公式l 180
R
n π=
中三个变量l 、n 、R ，知道其中任两个量，就可求出第三个量，其中n 没有单位，是圆心角的度数，l 与R 的单位一致．
例 某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm 和30cm 的钢管，需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧．问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计，结果化简后可用π和根式表示)?
解： 设大、小管的轮廓线分别为⊙O l 和⊙O 2，如图所示．
依题意，两圆外切，设切点为P ．两圆的外公切线与⊙O l 和⊙O 2分别切于A ，B ，E ，F ．连O l A ，O 2B ，作O 2C ⊥O l A 于点C ，则
O l C=O l A-CA=O l A-O 2B=20，O l O 2=30+10=40． 在Rt △O l O 2C 中， 3202040C O O O C O 22212
212=-=-=
．
∴AB=320． 又
2
1
4020O O C O 211==，∴∠A O l O 2=60°，∠AO l E=120°． ∴
的长=
π=⋅π⋅40180
30
240．
的长=
π=⋅π⋅3
20
18010120．
∴钢丝的长=2AB+ 的长+的长=3202⨯π+40)3
140340(320π+=π+ ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要)3
140
340(π+（cm ）
． A
B
O H
R
O 1
O 2
A B C
m
F
P
说明：本题综合应用圆与圆的有关知识．求公切线的长、弧长等知识． 例 （福州市，2002）如图：四边形ABCD 是正方形，曲线DA l B l C l D l ……叫做“正方形的渐开线”，其中
、
、
、
、…的圆心依
次按A 、B 、C 、D 循环，它们依次连接．取AB=l ，则曲线DA l B l …C 2D 2的长是 (结果保留π)． 分析：
的长=π=⋅π⋅2
1180190，
的长=π，
的长=π2
3
，
的长
=π2，……
找出规律，可求．答案：18π．
说明：本题不仅应用弧长公式，更重要地是利用了归纳法．
典型例题五
例 如图，︒=∠120AOB ，⊙O '的半径为r ，⊙O '与
、OA 、OB 相切于点C 、
D 、
E ，求
的长.
分析：要求
的长，只需求出
所在圆的半径即可.连结OC ，由⊙O '与
相切知，
C ，O '，O 三点共线，
因r C O ='，故只需求O O '即可.为此连结E O '，则OE O
'∆为∆Rt ，且r E O ='，︒='∠60OE O ，故O O '易求.
解 连结OC ，E O '.
⊙O '与
相切于点C O '⇒在OC 上
3
32r
O O =
' r O O C O OC )13
3
2(
+='+'=∴. A 1
B 1
C 1
D 1
A 2
A
B C D
∴
9
)332(2180)133
2(
120r r
ππ+=+⋅=
典型例题六
例 已知如图，⊙O 与⊙O '外切于M 点，它们的外公切线AB 、CD 分别切⊙O '，
⊙O 于A 、B 、C 、D ，且公切线AB 、CD 交于E 点，︒=∠120BOD
求证：⊙O '的周长等于
的长
证明 连结E O '、OE 、A O '
EB Θ、ED 分别切⊙O 于B ，D ，切⊙O '于A 、C
EO ∴平分BED ∠，O E '平分BED ∠，且EB A O ⊥'，EB OB ⊥，ED OD ⊥ E ∴、O '、O 在一条直线上，
︒=∠120BOD Θ，︒=∠∴60BED ，︒=∠30OEB ，
O E A O '=
'∴21，EO OB 2
1
=. Θ⊙O 与⊙O '外切于M ， M ∴在⊙O '上.
OM M O O O +'='∴，设r M O ='，则r M O A O ='='. r E O 2='∴，r EM 3=
EO OM OB 2
1
==Θ，
r EM OM OB 3===∴
于是的长r r
l ππ2180
3120=⨯⨯=
又⊙O 的周长r C π2= l C =∴.
典型例题七
例 圆心角60°，所对的弦长为a ，则它所对的弧长为_____. 解 ,302
,
60︒=︒=a
a Θ .3
18060.,230sin a a l a R R a
π
π=⨯=∴==︒∴
说明：本题考查弧长计算公式，解题关键是依题意计算出弦长与半径的关系.
典型例题八
例 如图，两皮带轮⊙1O 与⊙2O 外切于H ，它们的半径分别是10和30.（1）求外公切线AB ；（2）求皮带轮长
.
解 （1）过1O 作B O E O 21⊥于点E ，
.
401030,2010302221122=+=+==-=-=A O B O O O A O B O E O
在Rt 21EO O ∆中，2
1
sin 21221==
∠O O E O O EO ， .
3202040.
60,120
,30222121=-==︒=∠︒=∠︒=∠∴CD AB D BO C AO O EO
说明：本题考查弧长计算公式，公切线长在实际问题中的应用，解题关键是建立实际问题的几何模型.
典型例题九
例 （1）如图，ABCD 是正方形，
的圆心在B 处，
是以AC 为直径的半圆，设
a AB =，则月牙形图的周长是（ ）.
A ．
a π422+ B ．a π212+ C ．a π4
5
D ．a π2221+
（2）如图，两个半径为1的⊙1O 和⊙2O 外切，⊙O 与这两个圆都外切，切点分别是
C B A ,,，且︒=∠90O ，则
的长为（ ）.
A ．π2
B ．π22
C ．a π4
122- D ．π2 解 （1）
2
18090a
a ππ=
=
，连结AC ，则由勾股定理得a AC 2=，故的长
a a ππ2
2
221=⋅⋅=
.选B. （2）设⊙O 的半径为x ，在Rt O O O 21∆中，O O O O 21=，由勾股定理得
4)1()1(22=+++x x ，解得12-=x .
于是
的长ππ
2
1
2180)12(90-=
-=
，的长＝的长＝
4
180145π
π=⨯⨯.选B.
说明：本题考查弧长的计算，解题关键在综合应用相关知识（如勾股定理等）求解.
选择题
1．已知一弧的度数为︒36，半径为cm 2，则该弧长度（精确到.1cm 0）为（） A ．.1cm 1 B ．.2cm 1 C ．.3cm 1 D ．.4cm 1
2．若半径为cm 5的一段弧长等于半径为cm 2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（） A ．︒18 B ．︒36 C ．︒72 D ．︒144
3．在半径为cm 12的圆中，︒150的圆心角所对的弧长等于（） A ．cm 24π B ．cm 12π C ．cm 10π D ．cm 5π
4．已知弧长cm 4=l ，它所对的圆心角为︒120，那么它所对的弧长为（） A ．cm 33
B ．cm 23
C ．cm 36
D ．cm 26
5．在半径为1的⊙O 中，弦1=AB ，则AB 的长是（） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 参考答案：
1．C 2. D 3. C 4. C 5. C.
填空题
1. 周长12πcm 的⊙O ，其内接正六边形的边长是 ．
2. 圆心角为30°，半径为R 的弧长为 ．
3. 圆周长为6π，则60°圆心角所对应的弧长为 ．
4. 在半径为1cm 的圆中，弧长为
3
2π
的弧所对应的圆周角为 ． 5. 在⊙O 中，如果120°的圆心角所对应的弧长为3
4π
，则⊙O 的半径为 ．
6. 如果⊙O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．
7. 已知︒100的圆心角所对的弧长为cm 5π，则该圆的半径为________
8. 在半径为R 的圆中，如果圆心角等于
π
180
度，那么这个角所对的弧长为_______
9. 有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是m 36，圆弧所对的圆心角是︒60，则这段弯道约为m ___（精确到.1m 0，14.3=π）
10. 扇形的圆心角为︒120，半径为3，那么扇形的弧长为______ 参考答案: 1. 6 cm ; 2. R 6
π
; 3. π ; 4. 60° ; 5. 2 ; 6. 33cm .7. cm 9 8. R 9. 737.. 10. π2.
解答题
1．计算半径为cm 5，︒60圆心角所对的弧长l 。

2．半径为cm 2，︒36的弧的长度是多少？
3．如图，大⊙1O 的半径A O 1是小⊙2O 的直径，⊙1O 的另一半径C O 1交⊙2O 于B ，求证：
和的长相等。

4．如图，在圆心角为︒120所对应的
的两端作切线AP ，BP 相交于点P ，⊙O 与AP 、
BP 及都相切。

求证：⊙O 的周长等于
的长。

5. 如图，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6dm 和2dm ，现用一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长的绳子(不计绳子接头部分)?
6. 已知⊙O 与⊙O ’的半径分别为R=8，r=2，圆心距O 1O 2=12，若用皮带把两圆连结起来，求皮带的长度． 参考答案： 1．cm π3
5
2．cm π5
2
3．连B O 2.设︒=∠n B AO 1，则︒=∠n B AO 22，设R A O =2，则R A O 21=，
4．设⊙O 的半径为r ，⊙O '的半径为R ，连A O '，B O '，则︒='∠120B O A ，过O 作
A O OE '⊥于E ，则r R E O -='，r R O O +='，
︒=+-60cos r
R r
R r R 3=∴.⊙O 的周长r C π2=，
5. 383
28
+πdm ; 6. 31212+π.。