高中数学数据的数字特征-课文知识点解析

n 个数x1，x2，…，xn ，那

x =n 1

（x1+x2+…

.在图1－.

图1－5－2 居民月均用水量的平均数可由公式x =1001

（x1+x2+…+x100）求得x =1.973.在频率分布直方图中，平均数是“重心”，也可以显示出来，如图1－5－3.

月均用水量(t )0.0.0.0.0.

图1－5－3

平均数与每一个数据都有关，因此，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.由图1－5－3可以看出，用水量最多的几个居民对平均数影响较大，因为他们的用水量与平均数相差太大了.

作为刻画一组数据集中趋势的统计量，平均数、中位数、众数，它们各有各自代表的角度，各有优缺点，也各有各的用处.平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量. 2.标准差

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙

9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 如果看两人本次射击的平均成绩，由于 x 甲=7，x 乙=7，

两人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人的水平就没有什么差异呢？

(1) (2)

图1－5－4

直观上看，还是有差异的.例如，甲成绩比较分散，乙成绩相对集中（如图1－5－4所示）.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差. 甲的环数极差=10－4=6， 乙的环数极差=9－5=4.

它们在一定程度上表明了该组数据的分散程度.显然，极差对极

思维拓展

与中位数、众数比起来，平均数可

以反映出更多的关于数据全体的信息. 全析提示

从不同的角度出发，对同一组数据所表达的信息也不同.教练员要分析两名运动员的优缺点，以便有针对性地训练；若是选拔性考核，就要看两名运动员谁的成绩更好一些.

端值非常敏感，注意到这一点，我们就可以理解“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.

考察一组数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是数据到平均数的平均距离，一般用S 表示.

假设一组数据是x1，x2，…，xn ，x 表示这组数据的平均数.xi 到x 的距离是

|xi －x |（i=1，2，…，n ）.

于是x1，x2，…，xn 到x 的“平均距离”是 S=n x x x x x x n |

|||||21-++-+-Λ.

由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，常改用如下公式来计算标准差.

S=])()()[(1

22221x x x x x x n n -++-+-Λ.

一组数据中每个数与平均数之间的距离关系可用图1－5－5表示.

m =

1 S 图1－5－5

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.

用计算机电子表格软件（如Excel ）或科学计算器可以求得 S 甲=2，S 乙=1.095.

由S 甲>S 乙，可以知道，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙的射击成绩比甲的稳定.

此外，上面两组数据的离散程度与标准差之间可用图1－5－6直观地表示出来.

21.095S S = = 甲 乙

4 5 6 7 8 9 10**

**

**

***

******

***

**

图1－5－6 要点提炼

计算数据x1，x2，…，xn 的标准差的算法：

（1）算出数据的平均数x ； （2）算出每个数据与平均数x 的差xi －x ；

（3）算出（2）中xi －x 的平方；

（4）算出（3）中n 个平方数的平

均数，即为方差；

（5）算出（4）中平均数的算术平方根，即为标准差.