曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点

曲率和挠率对空间曲线形状的影响
摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。

本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状
我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一 曲率的概念和几何意义 1曲率的概念
我们首先研究空间曲线的曲率的概念。

在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。

例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。

为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。

图1-1
图1-2
要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。

所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。

设空间中c 3
类曲线（c ）的方程为
()s γγ=
曲线（C ）上一点P ，其自然参数为S,另一 邻近点p 1
，其自然参数为s s ∆+。

在p,
p 1
两点各作曲线（c ）的单位切向量()s α和()s s ∆+α。

两个切向量间的夹
角是ϕ∆（图1-3），也就是把点p 1
的切向量()s s ∆+α平移到点P 后，
两个向量()s α和()s s ∆+α的夹角为ϕ∆。

图1-3
定义 空间曲线（C ）在P 点的 曲率为
()s
s s ∆∆=→∆ϕ
κ0lim
，
其中s ∆为P 点及其邻近点p 1
间的弧长，ϕ∆为曲线在点P 和p 1
的的切向量
的夹角。

2曲率的几何意义
利用“一个单位变向量()t γ（即()t γ1=）的微商的模)('
t γ的几何意义是()t γ对于t 的旋转速度”。

把这个结果应用到空间曲线（C ）的切向量α上去，则有
()•
=ακs 。

由于•
α=•
•γ，所以曲率也可表示为
()•
•=γκs 。

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。

当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。

二.挠率的概念和几何意义 1挠率的几何意义
对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量——挠率。

当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）的位置随着改变（如图1-4），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）。

图1-4
现在设曲线（C ）上一点P 的自然参数为s ，另一邻近点
p 1
的自然参数为
s s ∆+，在p, p 1
两点各作曲线（c ）副法向量()s γ和()s s ∆+γ。

此两个副法向量
的夹角ϕ∆
我们得到
s
s ∆∆=→∆•
ϕ
γ0lim
，
此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋
转速度。

当曲线在 一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的扭转程度就越大。

因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度。

2挠率的定义 根据•
••••
•
=
=
γ
γα
αβ和曲率的定义，我们有
()
s κα
α
αγ
γβ•
•
•
•
•••=
=
=
， 即()βκαs =•。

对βαγ⨯=求微商，有
()•
••••⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=βαβαββκβαβαβααs )(，
因而
αγ⊥•。

又因为γ是单位向量，所以
γγ⊥•。

由以上两个关系可以推出
•
γ//β
现在我们给出挠率的定义如下： 定义曲线（C ）在P 点的挠率为
()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧-+=•
•••
••
同向和当异向和当βγγβγγτ,,s 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。

三. 曲率和 挠率对空间曲线形状的影响 1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定
证明 在
C
3
类曲线()s γγ=上取一点()s 0
γ
，在它邻近在取一点()s s
∆+0
γ（图
1-5）利用泰勒公式有
()()()()()
()()s s s s s s s s s ∆∆⎪⎭
⎫
⎝⎛+++∆=-∆+••••
••
3
02
0000!31!
21εγγγγγ，
其中0lim 0
=→∆εs
图1-5 由于
αγ=•
βγk =•
•
()τγβατγαβββγk k k k k k k k ++-=+-+=+=•
•••
••2
所以
()()()(
)()
s k k k s k s s s s ∆∆+++-+
+
∆=-∆+3
0000002
2
00006
121
εγγγτβαβα 其中γεβεαεε0
30
201++=，而τγβα000
0,,,,k 等表示在点()s 0
γ
的值
由上式可得
()()()
()
()()()()γ
ετβεαεγγ0
3
300032020031200616121061|s k s k s k s k s s s s ∆∆∆∆⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∆=-∆+
如果在γβα0
0,,的每一个分量中只取第一项，则有
()()()
()γ
τβαγγ0
3
002
00061
2
1
s k s k s s s s ∆∆++∆=-∆+
现在取()[]γβαγ
,,;s 为新坐标系，并取()s 0
γ为计算弧长的始点，则有
s s s
=∆=,00。

如果ζηξ,,为曲线上()s 0γ的临近点的新坐标，则有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
===s k s k s 300206121τζηξ 它可以看作在()s 0
γ
点邻近，曲线()s •
=γγ的近似方程。

由此看出，曲线在某
点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。

即空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定。

2曲率和挠率的取值对空间曲线形状的影响
由曲率挠率的定义和几何意义可知，曲率刻画了曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线在某一点的弯曲程度就越大，反之亦然。

挠率刻画了曲线的扭转程度，挠率的绝对值越大，曲线在某点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大）.
上面只讨论了挠率的绝对值对空间曲线的影响，没有讨论挠率的正负对空间曲线的影响。

下面就接着讨论挠率的正负对空间曲线的影响。

在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状，来研究挠率的正负对空间曲线的影响。

近似曲线在法平面0=ε上的投影是
()s
k s k 3
002061,2
1,0τζ
ηε=
==
消去参数s 后有
(),90
2,03
2
2
ητζ
εk =
=
它是半立方抛物线
图1-6 曲线在从切平面0=η上的投影是
()s k s 3
006
1,,0τζ
εη=
== 消去参数s 后，有
()s k 3006
1,0τζ
η=
= 它是立方抛物线
图1-7
曲线在密切平面0=ζ上的投影
()ε
ηζ
3021,0k =
=
它是抛物线
图1-8
通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状
从以上分析可以看出，挠率的正负对空间曲线的影响如下：
00
>τ
是曲线由下往上成右旋曲线（图1-8）
图1-9
00
<τ
是曲线由下往上成右旋曲线（见图1-9）
图1-10
四.特定空间曲线的曲率.挠率与曲线的形状的关系 1.曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0≡=•
•γκ，因而0=•
γ，
由此得到αγ=•（常向量）. 再积分即得b s +=αγ，
其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程. 2.挠率恒等于零的曲线是平面曲线.
证明 若0≡τ，则γ是固定向量，但是我们已知
0=•γα，
因而有
0=••
γr ，
积分后得
a r =•γ（常数）
， 所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.
3.曲率为常数.挠率恒为零的曲线是圆或圆弧. 证明 设该曲线C 的方程为()s r r =.曲率为a(a 常数且大于零)和挠率恒为零
由弗雷内（Frene t ）公式建立微分方程组
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-==•
••
•
0.γαααββ
αs a a 其中 ()s ββ=()s γγ=是C 的三个基本向量且()()d
d s
s r s =α对方程组，由αβa -=•
得两边关于s 求导并应用Frenet 公式，得
βαβa a 2
-=-=•
•• (5.3.1)
令(){})(),(),(s z s y s x s =β代入（5.3.1）则有
()
s x s a x 2
)(-=•
•()s y s a y 2
)(-=•
•()s z s a z 2
)(-=•
•
给出初值当s=0时，0)(,0)(,1)(===s z s y s x 。

我们先看方程
()s x s a x 2
)(-=••即()0)(2
=+•
•s x s a x
这是一个关于实函数)(s x 的二阶常系数线性奇次微分方程。

它的特征方程为
02
2
=+a λ
特征根为
ai ai -==λ
λ2
1
,因此通解为
()as as s x c c sin cos 21+=
将初值 s=0时，1)(=s x 代入有
()as as s x c sin cos 2+=
令02=c 有
()as s x cos =
同理()as s y c sin 2=令12=c 有()as s y sin =同理取()0=s z （这里解不惟一，
我们取一组比较简单的特解）即(){}0,sin ,cos as as s =β是特解 又因为{}0,sin ,cos )(as as a a k s ===•
ββα
所以(){}
{}0,cos ,sin 0,sin cos as as as as a s d d d s s s -==⎰⎰⎰α （为了保证()s α是单位向量，取积分00=⎰d s ） 由于()()d
d s
s r s =
α，因此上式两边积分可以得到 (){}⎰⎰⎰-=
d d s d s
s
s
a as s r 0,cos (sin )⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧--=cs as a as a ,sin 1,cos 1,(c 为常数)
则
a
as a as a 2
2
21
sin 1cos 1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
这说明给定曲率为常数a 和挠率恒为零的空间曲线)(s r 在一个半径为a
1
的圆或圆弧.
因为它的切向量{}0,cos ,sin )(as as s -=α用它和单位基向量{0,0,1}k =作
积，有{}
0}1,0,0{0,cos ,sin )()(=-=•as as s k s α 这说明 )(s r 的切向量与z 轴平行，从这两点很明确地说明曲线)(s r 是半径
为a
1
的圆或圆弧. 4.曲率和挠率都是常数，曲线为圆柱螺线
证明 用和前题相同的方法，我们知道，给定曲率为a,，挠率为b 的曲线方程是
()⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪
⎨⎧++-+++=⎰
⎰
⎰
d b
a
d b a b
a
d b a b
a s s
s
a
a
a
a s r 2
2
2
2
2
2
2
22
2
,cos
(sin
)⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧+++-++-=s a
s a
s a b
a
b a b
a b a b
a
2
2
2
2
2
2
2
22
2
,
sin
,
cos
则
()
b a a s b a b a a s b a b a a 22222222222
2
2
2
sin cos +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=
+
这说明给定曲率为常数a 和挠率为常数b 的空间曲线)(s r 在一个半径为
b
a a
2
2+的圆柱面上。

它的切向量
⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++-+++=b a b
a b
a b a b
a s s a s 2
22
22
22
22
21
),cos
(1
,
sin
1
)(α， 用它和单位基向量{0,0,1}k =作内积，有
=
•)()(s k s α{}1,0,01
),cos
(1
,
sin
1
2
22
22
22
2
2
2⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++-+++b a b
a b
a b a b
a s s =
2
2
1b
a +
这说明 )(s r 的切向量与z 轴的正向夹定角，从这两点很明确地说明曲线
)(s r 是半径为
b
a a
2
2+的圆柱螺线
5.设曲线()s γγ=的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数。

如果该曲线落在 一个球面上，则它的曲率和挠率必满足关系式
()()()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+s ds d s s ττκ1112
2
=常数。

（5.5.0）
证明 假定曲线()s γγ=落在一个球面上，该球面的球心是γ0
，半径是a,则有关
系式
()()=-γγ02
s a 2
（5.5.1）
将上式两边对于s 求导，得到
()()()
00=-•γγαs s ，
故()()
γγ0
-s 是曲线的法向量。

不妨设
()()()()()s s s s s γμβλγγ+=-0，
（5.5.2） 将上式对于s 求导并且利用Frenet 公式得到
()()()()()
()()()()()()(),'
'
s s s s s s s s s s s s γτλβτμακλαμλ⎪⎭
⎫
⎝
⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-= 因此比较等式两边的系数得到
()()1-=s s κλ，()
()()s s s τμλ='
，()()()s s s τλμ
-='
，
（5.5.3） 于是
()()s s τλ1
-
=，()()
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==s ds d s s s s κττμλ11'
，（5.5.4） 将（5.5.4）式代入（5.5.2）式得到
()()()()()()s s ds d s s s s γκτβκγγ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
=-1110， 因此根据关系式（5.5.1）
()()()a s ds d s s 2
2
2
111=+⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛κττ
结束语
本文试图通过对曲率和挠率的概念、形成及意义进行论述，进而讨论了空间曲线的曲率和挠率对空间曲线形状的影响，还给出了特定曲率和挠率与空间曲线的形状关系.对特定曲率和挠率下空间曲线的形状的认识，有利于理解曲率和挠率对空间曲线形状的决定性，有利于对一般曲率和挠率函数的空间曲线形状的研究.
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社，2003.
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[4] 王申怀，刘继志编著. 微分几何[M]. 北京：北京师范大学出版社1998
[5] 闫焱，惠存阳.给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程[J] 西安文理学院
学报（自然科学版）第8卷第4期
The effect for the shape of space curves restricted with
curvature and torsion
Zhang Kai
（Department of Mathematics ,Xi’an University of Arts and Science,Xi’an
710065,China）
Abstract:Curvature and torsion is the characteristics of space curves of different functions restricted with curvature and torsion decide different characteristics of the curve, it will get important significance if we study space curves about constant curvature and torsion .The essay is making a discussion about the formation and significance , and studing those space curves to achieve the characteristics of space curves about constant curvature and torsion
Key words: Curvature Torsion Spatial shape of the curve。