复变函数论论文

论文目录

1．摘要 (1)

2．关键词 (1)

3．引言 (1)

4．理论 (1)

5．参考文献 (6)

8．英文摘要 (6)

全文共15 页2,148 字

复变函数论

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复变函数论

（学号：20101101926 刘艳玲）

（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）

指导老师： 孙永平

摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；

1引言

了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

2复变函数

2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念

Z=x+iy (1.1.1)

这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记

作Res 和Imz 。

复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=

ϕ

ρi e z =

叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。 2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。

商的定义

物理与电子信息学院期中论文

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.e )]sin(i )[cos()i(2

12121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用

.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=

n 次根号的应用

.e )sin i (cos /i n n n

n

n

n z ϕρϕ

ϕρ=+=

2.1.2复变函数

2.1.2.1复变函数定义

一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。写作： ω =f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）

为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。 2.1.2.2区域的定义 区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来且线上的点全属于该点集。

闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。 开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。 邻域：以Zo 为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为Zo 的邻域。 内点： Zo 及其邻域均属于点集E ，则该点叫作E 的内点。 外点： Zo 及其邻域均不属于点集E ，则该点叫作E 的外点。

境界线：若Zo 及其邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。 2.1.2.3复变函数例

，

)为复数 ( iArgz,|z |ln )e |z ln(|z ln ),

(21cos ),

(21sin ln iArgz

s e z e e z e e i z z s s iz iz

iz iz

=+==+=-=--

2.1.3导数

设()z f =ω是在z 点及其邻域定义的单值函数.若()()z

z f z z f z z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆00

lim lim

ω在z

点存在，并且与0→∆z 的方式无关则称()z f 在z 点可导.

复变函数论

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可导的充要条件： u (x,y ) 和v (x,y ) 的偏导数

y

v

x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ , , ,存在、连续， 且满足C-R 条件

y

u x v y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,。 （点解析一定可导，可导不一定解析；区域等同）

3复变函数的积分 3.1.1复变函数的积分 f(z)都用实部和虚部表出，

()()()dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f l

l

l

),(,,),(⎰⎰⎰++-=

所以复变函数的路积分有如下性质: 1.常数因子可以移到积分号之外.

2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和.

3.反转积分路径,积分变号.

4.全路径上的积分等于各段上积分之和.

5.积分路径不仅依赖于起点和终点还与积分路径有关.

3.2.1柯西定理

单通区域柯西定理（无孔无洞）

()0=⎰dz z f l

复通区域柯西定理

()()01=+∑⎰⎰=n

i l l

dz z f dz z f i

总结起来，柯西定理说的是

1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零，

2. 闭复通区域上的解析函数沿着所有外境界线正方向积分为零，

3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。 3.3.1不定积分

若 函数F(z)在单通区域B 上解析，则沿B 上任意一路L 的积分的值只跟起点和终点有关而与路径无关。记作

=-⎰l z dz

i απ21{

()()αα包围，不包围l l 1,0

()()1.021-≠=-⎰n dz z i l

n

απ