复变函数论论文

论文目录

1．摘要 (1)

2．关键词 (1)

3．引言 (1)

4．理论 (1)

5．参考文献 (6)

8．英文摘要 (6)

全文共15 页2,148 字

复变函数论

- - 2 -

复变函数论

（学号：20101101926 刘艳玲）

（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）

指导老师： 孙永平

摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；

1引言

了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

2复变函数

2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念

Z=x+iy (1.1.1)

这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记

作Res 和Imz 。

复数z 可表示为三角式和指数式，即

()??

ρs i n c o s i z += ?

ρi e z =

叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。 2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。

商的定义

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- 3 -

.e )]sin(i )[cos()i(2

12121212121??ρρ????ρρ-=-+-=z z n 次幂应用

.e )sin i (cos i ?ρ??ρn n n n n n z =+=

n 次根号的应用

.e )s i n i (c o s /i n n n

n

n

n z ?ρ?

?ρ=+=

2.1.2复变函数

2.1.2.1复变函数定义

一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。写作： ω =f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）

为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。 2.1.2.2区域的定义 区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来且线上的点全属于该点集。

闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。 开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。 邻域：以Zo 为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为Zo 的邻域。 内点： Zo 及其邻域均属于点集E ，则该点叫作E 的内点。 外点： Zo 及其邻域均不属于点集E ，则该点叫作E 的外点。

境界线：若Zo 及其邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。 2.1.2.3复变函数例

，

)为复数 ( iArgz,|z |ln )e |z ln(|z ln ),

(21cos ),

(21sin ln iArgz

s e z e e z e e i z z s s iz iz

iz iz

=+==+=-=--

2.1.3导数

设()z f =ω是在z 点及其邻域定义的单值函数.若()()z

z f z z f z z z ?-?+=??→?→?00

lim lim

ω在z

点存在，并且与0→?z 的方式无关则称()z f 在z 点可导.

复变函数论

- - 4 -

可导的充要条件： u (x,y ) 和v (x,y ) 的偏导数

y

v

x v y u x u ???????? , , ,存在、连续， 且满足C-R 条件

y

u x v y v x u ??-=????=?? ,。 （点解析一定可导，可导不一定解析；区域等同）

3复变函数的积分 3.1.1复变函数的积分 f(z)都用实部和虚部表出，

()()()dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f l

l

l

),(,,),(???++-=

所以复变函数的路积分有如下性质: 1.常数因子可以移到积分号之外.

2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和.

3.反转积分路径,积分变号.

4.全路径上的积分等于各段上积分之和.

5.积分路径不仅依赖于起点和终点还与积分路径有关.

3.2.1柯西定理

单通区域柯西定理（无孔无洞）

()0=?dz z f l

复通区域柯西定理

()()01=+∑??=n

i l l

dz z f dz z f i

总结起来，柯西定理说的是

1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零，

2. 闭复通区域上的解析函数沿着所有外境界线正方向积分为零，

3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。 3.3.1不定积分

若 函数F(z)在单通区域B 上解析，则沿B 上任意一路L 的积分的值只跟起点和终点有关而与路径无关。记作

=-?l z dz

i απ21{

()()αα包围，不包围l l 1,0

()()1.021-≠=-?n dz z i l

n

απ

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- 5 -

3.4.1柯西公式

z z z f f l d )

(i 21)(?-=α

πα

???πd )()

(i 2!1)('2?-=l z f z f

???πd )

()

(i 2!)(1)(?+-=

l n n z f n z f 例一、计算积分 I , 其中 C 为不经过点 0 和 1 的正向曲线。dz z z e i I C z

?-=3)

1(21π 解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，则被积函数解析，因此, 由 Cauchy 定理得 I =0;

(2) 若仅 0 在 C 内, 函数30)

1()(z e z f z

-= 在 C 上及 C 包围的区域解析，

由 Cauchy 积分公式，得到 1)0(0

)(21

00==-=

?f d f i I C ξξξπ （3）若仅 1 在 C 内, 函数z e z f z

/)(1-=在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到

2/)(!

21)1()(2!

2!21)1()(211''112131e z f d f i d f i I z C C -==??????-=-=

=+??ξξξπξξξπ

(4)

若

和

1

都

在

C

内

，

由

Cauchy

定

理

??-+-=011

)

(210)(2110C C dz z z f i dz z z f i I ππ 而在 上及 包围的圆内 解析，同样，在 上及 包围的圆内 解析，故利用 Cauchy 积分公式，有上面的结果得2/1e I

-=

最后，我们有：????????∈∈-∈?-?∈??=-C

z e e dz z z e i D 1 D,0 ,2/1D 1 D,0 ,2/D 1 D,0 ,1D 1 D,0 ,0)1(21

3

π 其中 D 为曲线 C 包围的区域。

4. 幂级数展开 4.1.1复数项幂级数 设有复数项的无穷级数

复变函数论

- - 6 -

(3)

2

1

1

+++++=∞

=∑w

w w w w k

k k

柯西收敛判据成立，这就是说，复数项级数收敛的充分必要条件是，对于任一给定的小正数，必有N 存在，使得n>N 时，

εω

<∑++=p

n n k k

1

P 为任意正整数。

4.2.1幂级数

()

()()...,

2

020100

+-+-+=-∑∞

=z z a z z a a z z a k

k k

其 ,,10,0a a z 都是复习常数，这样的级数叫作以为中心的幂级数。 应用正项级数的比值判别法（达朗贝尔判别法）可知

1lim

01

1010

lim

<-=--+∞→++→z z a a z z a z z a k

k k k

k k k k

绝对收敛，引入记号R 1l i m +∞→=

k k k a a R

4.3.1泰勒级数展开

定理 设f(z)在以为圆心的圆解析，则对圆内任意z 点，f(z)可展开为幂级数, ()()k

k k z z a z f 00-=∑∞

=

()()!

210101k z f d z f i a k C k k R =-=?+βζζζ

π 1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆。 4.4.1洛朗级数展开

定理 设f(z)在环形区域102R z z R <=<解析，则对圆环内任意z 点，f(z)可展开为幂级数. ()()k

k k

z z a z f 0

-=

∑∞

-∞

=

其中()()()()!21

01

0k z f d z f i a k k C

k =

-=

+?ζζζπ ，积分路径为位于环内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。 例1、求

z z f sin )(1=和z z f cos )(2=在 z =0 邻域的 Taylor 展开。

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,0)( ,sin )(,1)( ,cos )(,0)0('' ,sin )('' ,1)0(' ,cos )(' ,0)0( ,sin )()4(1)4(1)3(1)3(1111111L L L L ==-=-==-=====z f z z f z f z z f f z z f f z z f f z z f 故0|)(sin ;)1(|)(sin

0)2(0)12(=-===+z k k z k z z

.)!

12()1()!12()1(!5!3!1sin 0121253∑∞

=+++-=++-+-+-=k k k k k z k k z z z z z L L

收敛半径∞=++==∞→+∞→)!12()!

32(lim lim 1

k k a a R k k k k 类似∑∞

=-=+-+-+-

=02242)!

2()1( )!2()1(!4!21cos k k k k k z k k z z z z L L 收敛半径∞=+==∞→+∞→)!2()!

22(lim lim

1

k k a a R k k k k

例2、在10=z 的邻域将1

1

)(2-=z z f 展开。 解：1

1

211121)1)(1(1)(+--=+-=

z z z z z f

其中2

/)1(11

412)1(1211121-+=+-=+z z z

于是 2)|1(|

.21)1(410<-??

?

??--=∑∞=z z k k

k 2)|1|(0 )1(2

)1(1121)(02<-<----=∑∞=+z z z z f k k k k

例3、在00

=z 的邻域将1/z e )(=z f 展开

解：)|(| !

!!2!11e 02∞<=+++++=∑∞

=z k z k z z z k k

k z

L L

复变函数论

- - 8 -

1 1

!311!211!111e

32/1???

? ??∞<++++=z z z z z

L () 0 )!

(1

e 0

/1z z k k k z <-=

∑-∞= 5留数定理

设函数()z f 在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点n b b b ,2,1外解析，在闭区域_

B 上除

n b b b ,2,1外连续，则

()()∑?==n

j j

l

b sf i dz z f 1

Re 2π

5.1.1留数定理 将洛朗级数逐项积分

()dz z z a dz z f k

l k k l

?∑?

-=

∞

-∞

=0

0)(

右边各项除去1-=k 的一项全是零，而1-=k 的一项里的积分等于i π2，于是

1

2)(-=?ia

dz z f l

π

而洛朗级数的10)(--z z 项的系数1-a ，叫作函数()z f 在 0z 点的留数。通常记作

()0Re z f s ，这样，

()0

Re 2)(z sf i dz z f l

π=?

留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点 设函数()z f 在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点n b b b ,2,1外解析，在闭区域_

B 上除n b b b ,2,1外连续，则

()()∑?==n

j j

l

b sf i dz z f 1

Re 2π

留数定理将回路积分归结为被积分函数在的回路所围区域上个孤立奇点留数之和。 一阶：)()(lim )( Res 01

00

z f z z a z f z z -==→-

M 阶：?

?????--==--→-)]()[()!1(1lim )( Res 0

1

1100z f z z dz d m a z f m

m m z z

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例1：求

3

5

42)(z z i

z z f ++=在其奇点的残数。

解：()

()()()

i z z i z i z z i z z z i z z f 21

22242)(3

323-=-++=++=

单极点 2i, 三阶极点0

z =2i ()[]8

811lim )(2lim )2( s Re 322i

i z z f i z i f i z i z =-==-=→→

z =0

[]

881)2(1lim 21!21lim )(!21lim )0(s Re 302203220i

i i z i z dz d z f z dz d f z z z -==??????-=?

?????-=??????=→→→ *例2或例3考一类。 例2：?

<<+=π

εε20

).1(0 ,cos 11

dx x

I

解： 1212222

1/221

||21||1επ

επεεε

-=-=++=++=

??==-i i z z dz i z z iz dz I z z 例3：?∞

∞

-+=2

1x dx

I

解：)

)((1

11)(2

i z i z z z f +-=+= 单极点

i z ±=0，;21))(()(lim (i) Res i

i z i z i z f i z =??????+--=→ ;212ππ=???

???=i i I 5.2.1应用留数定理计算实变函数定积分 类型一

()?

π

20

,s i n ,c o s dx x x R 被积函数是三角函数的有理式，积分区间是[]π2,0。

作自变数代换

ix e z =

()121cos -+=

z z x ()121

s i n --=z z i

x dz iz dx 1=

则

()iz dz i z z z z dx x x R z ?

?=--???

? ??-+=π

20

1112,2sin ,cos

复变函数论

- - 10 -

类型二

()dx x f ?

+∞

∞

-，积分区间是()+∞∞-,，复变函数()z f 在实轴上没有奇点，在上

半平面除有限个奇点外是解析的，当z 在上平面∞→时，()0→一致的z zf 。 则

()(){}留数之和在上半平面所有奇点的z f i dx x f π2-=?∞

∞

类型三

()().s i n

,c o s 0

m x d x x G m x d x x F ??

∞

∞

积分区间是[]∞,0，偶函数F(x),奇函数G （x ）在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z 在上平面∞→时，

()()0,→一致的x G x F 。

()()()()()dx e x F dx e x F dx e x F dx e x F dx e x F imx imx imx imx

imx ?????∞

∞

-∞-∞-∞∞=+=+=

21212121210

000 同理()()dx e x G i mxdx x G imx ??∞

∞

-∞

=21sin 0

6 傅里叶变换 6.1.1傅里叶级数

6.1.1.1 周期函数的傅里叶展开 若函数()x f 以l 2为周期，即 ()l x f 2+=()x f

则可取三角函数族作为基本函数族，将()x f 展开为级数

()x f =0a +∑∞

=??? ?

?

+1sin cos k k k l x k b l x k a ππ （2） 三角函数族正交，其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，可以求得（2）中

的展开系数为

()()???

?

??

?

==??--l l k l l k k d l k f l b d l k f l a ξ

πξξξπξξδsin 1,cos 1其中()()???=≠=0,20,1k k k δ （3） 狄里希利定理：若函数满足条件：（1）处处连续或在每个周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有有限个极值点则级数（2）收敛，且

()()

()

dx e e x F mxdx x F imx imx

-∞

∞

+=??

2

1cos 0

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级数和=()()(){}???

??-++)x (,0021x 在间断点），（在连续点

x f x f x f （4）

6.1.2.1奇函数及偶涵数的傅里叶展开

1.若周期函数()x f 是奇函数，则由傅里叶的计算公式（3）可见0a 及k a 均等于零，展开（2）为

()x f =∑∞

=1sin

k k l

x

k b π 这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为

()ξπξ

ξd l k f l b l k ?=0sin

2 2.若周期函数()x f 为偶函数则展开式为 ()x f =0a +∑∞

=1cos

k k l

x

k a π 这叫做傅里叶余弦级数。由于对称性，其展开系数为 k a =

()l

k f l l

k πξ

ξδcos

2

? 6.2.1傅里叶积分与傅里叶变换

6.2.1.1实数形式的傅里叶变换

设()x f 为定义在区间∞<<∞-x 上的函数，一般来说，它是非周期的，不能展为傅里叶级数。所以我们将非周期函数()x f 看作是某个周期函数()x g 于周期∞→l 2时的极限情形.这样，()x g 的傅里叶级数展开式

()x g =0a +∑∞

=??? ?

?

+1sin cos k k k l x k b l x k a ππ （5） 引入不连续参量k ω=l

k π

（k =0,1,2， ） ，k ω?=k ω-1-k ω=l

π

这样（5）式称为

()x g =0a +()∑∞

=+1

sin cos k k k k k x b x a ωω （6）

傅里叶系数为

复变函数论

- - 12 -

()()???

????==??--l l k k l l k k k d f l b d f l a ξξωξξξωξδs i n 1c o s 1 对与系数0a ，若∞

→l lim

()ξξd f l

l

?-有限，则

∞

→l l i m 0a =∞→l lim ()021

=?-ξξd f l l

l

当∞→l 时（5）的余弦部分为

()ωωξωξξπ

xd d f cos cos 1

?

?

∞

∞

∞

-??

?

???正弦部分为

()?

?

∞

∞

∞

-??

?

???0

sin sin 1ωωξωξξπ

xd d f 于是（5）式的形式为

()x f =()??∞

∞

+0

sin )(cos ωωωωωωxd B xd A 上式称为傅里叶积分。其中

()()???

???

?

==?

?∞

∞

-∞

∞-ξ

ωξξπωξ

ωξξπ

ωd f B d f A sin 1)(cos 1)(

此式称为()x f 的 福利叶变换式。

6.2.1.2奇函数()x f 的傅里叶积分是傅里叶正弦积分 ()x f =()ωωωxd B sin 0?∞

()ωB 是()x f 的傅里叶正弦变换 ()()?∞

=0

s i n 2

ξωξξπ

ωd f B 满足条件()00=f

2.偶函数()x f 的傅里叶积分是傅里叶余弦积分 ()x f =()?∞

0cos ωωωxd A

()ωA 是()x f 的傅里叶余弦变换

()()?∞

=0

c o s 2

ξωξ

ξπ

ωd f A 满足条件()00'=f

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- 13 -

6.3.1.δ函数

6.3.1.1δ函数的定义

対于质点，点电荷，瞬时力这类集中于空间某一点的某一瞬时的抽象模型，在物理学中引入δ函数一描述其密度： ()x δ={

0(0)

(0)

x x ≠∞=.

()b

a

x dx δ=?

{

0(,0,0)

1(a<0

a b <>都或都.

6.3.2.1δ函数的一些性质 ()x δ是偶函数.

()()

'()'()

x x x x δδδδ-=-=-

()()x

H x t d t δ-∞==?{0(0)

1(0)

x x <>.

00()()()f t d f t τδττ∞

-∞

-=?

.

6.3.3.1δ函数的广义函数

(),1

lim ??

? ??=∞→l x rect l

x l δ

(),sin 1lim

x Kx

x K πδ∞→=

(),1lim 2

2

x

x +=→ε

ε

π

δε

参考文献

【1】梁昆淼 《数学物理方法》 高等教育出版社 2009-06 【2】杜珣 《数学物理方法》 高等教育出版社 1995-08