一道平面几何最值问题的三种解法及多个变式

9-262019年第9期一道平面几何最值问题的三种解法及多个变式
杨春波
（河南省郑州中原一中实验中学，河南郑州450000）
题目如图1,线段MB的长为4,C为
上一动点,分别以4C、BC为斜边在4B的同侧作等腰直角MCD和等腰直角43（/,那么DE 长的最小值是________•
图1
分析:当点C在线段上运动时，点D和E随之运动,DE的长度不断变化.根据图形的对称性,大胆猜想：当C为的中点时,DE的长度最小猜想是否正确？且看下面三种解法.
1—题多解
解法1:（代数视角，转化为二次函数的最值问题）设AC=x（0<x<4）,BC=4-x，由△ACD和5BCE为等腰直角三角形知，CD=—=—,CE=—=^—^,1.厶DCE=180°-血匹72J2
45°-45°=90°.
在RtACDE中，由勾股定理得
DE2=CD2+CE2=
—x2~4x+8—(x—2)2+4,
当x=2时,£>矿取得最小值4,则DE长的最小值为2.
解法2：（几何视角，构造直角梯形）如图2,分别过点D、E作AB的垂线，垂足分别为点M、N.由44（70和为等腰直角三角形知,M为AC的中点，"为BC的中点，则
MN=MC+CN=—AC+—BC=—AB=2.
222
在直角梯形DMNE中，有DEM MN=2；当C为4B的中点时，直角梯形DM/VE退化为矩形，有DE=MN=2.于是,DE长的最小值为2.
解法3：（几何视角，构造矩形和等腰直角三角形）如图3,延长4D、BE交于点F,连结FC,作FH丄AB于点H.由HkCD和△BCE为等腰直角三角形知,ZOCE=180o-45o-45°= 90°,则四边形DCEF为矩形，△FAB也为等腰直角三角形•于是
DE=FC M FH=—AB=2,
2
当点C与H重合（为4B中点）时，DE=FC= FH=2.所以,DE长的最小值为2.
图3
点评:解法1是代数解法，选取4C的长度为自变量％，将表达为％的二次函数，最值可求.解法2、3均为几何解法，但构图略有不同一一解法2是构造直角梯形,发现其直角腰
2019年第9期欽学款学9-27长为定值,从而斜腰长不小于直角腰长，获得
最小值;解法3则构造一个矩形和一个更大的
等腰直角三角形,利用矩形对角线相等的性质
将DE转化为FC,其最小值为点F到AB的距
离.以上三种解法各有千秋—
—代数法以函数
思想为指引，只要按部就班运算即可；几何法
则需重新构图，转化线段，辅助线一旦作出也
算方便、快捷.
2—题多变
上面展示了用不同解法求解同一道题目，称为一题多解.解题完毕，我们还可考虑试题的多种变式，同样可以从不同的视角对原问题进行改编.
2.1改变图形结构
将等腰直角三角形变为等边三角形,即得：
变式1如图4,线段AB的长为4,C为4B 上一动点,分别以AC、BC为边在佃的同侧作等边AACD和等边那么DE长的最小值是________•
分析:原解法1在ADCE中求解DE2用勾股定理，而这里厶DCE=60。

,则需用到余弦定理；原解法2可直接照搬；原解法3中矩形DCEF将变为平行四边形,DE与CF不再相等,做起来会有些费劲.以上分析的详细过程留给读者，答案仍是2.
将等腰直角三角形变为正方形,即得：
变式2如图5,线段的长为4,C为4B 上一动点,分别以AC、BC为边在4B的同侧作正方形ACGF和正方形BCKH,D、E分别为FG和KW的中点，那么DE长的最小值是_
分析:原解法2可直接照搬，解法1、3则有些费劲,请读者自行尝试，答案仍是2.
将等腰直角三角形变为等腰三角形,即得：
变式3如图6,线段4B的长为4,C为4B 上一动点,分别以MC、BC为底边在的同侧作等腰和等腰且两者相似，那么DE长的最小值是________.
分析:原解法2可直接照搬，解法1、3则有些费劲，请读者自行尝试，答案仍是2；在图5中，连结DA、DC、EC、EB,则发现变式2是变式3的特例.
2.2改变设问对象
原题是求DE长的最小值，除了关注DE 的长，我们还可以关注什么呢？且看如下变式.
变式4原题条件不变，求周长的最小值.
AQ 分析：MCE的周长为CD+CE+DEp
RC A R
h--------DE——+DE=+DE,与原冋题等
价.
变式5原题条件不变，求面积的最大值.
]14C 分析:ADCE的面积为-CD-CE=•
22血
罟=-yx(4-X),当％=2时，取最大值1-
./7
4
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变式6原题条件不变，求四边形ADEB 周长的最小值.
分析：四边形ADEB的周长为4D+DE+ BE+AB=CD+CE+DE+4,与变式4等价.
变式7原题条件不变，求四边形ADEB 面积的最小值.
分析：HDCE的面积为yCZ)•CE=卞(4-%),等腰直角MCD的面积为*%•*等腰直角ABCE的面积为*(4-x)•X(4-x)=y(4-x)2,所以四边形ADEB的面
积为2%(4-x)+-yx2+-y(4~x)2=—(X-4444
2)2+3,当x=2时，取最小值3.
2.3改变问题类型
除了设计最值问题之外，我们也可以原题中动态的变化过程为背景设计动点的运动轨迹及路径长度问题.
变式8如图7,设线段4B的长为4cm,C 为MB上一动点，分别以AC、BC为斜边在4B 的同侧作等腰直角MCD和等腰直角△BCE,点P是DE的中点，当点C从距离点A1cm处沿MB向右运动至距离点B1cm处时，点P运动的路径长是________•
PQ=+EN)=+
=~AB=1cm(定值),
4
则点P在一条与AB平行的直线上运动，点P 运动的路径长等于点Q运动的路径长.
起始位置时，4C=1cm,CQ=MQ-CM=
--MN—AC=—AB—AC=—cm,则AQ= 22422v
3
4C+C(?=ycm.由图形的对称性可知，点P运动的路径长是4B-2AQ=\cm.
解法2:沿用原解法3的思路.如图9,当点C从距离点A1cm的点G运动到距离点B 1cm的点H时，点P从点M运动到点N；在这个过程中，P始终为FC的中点，则MN为△FGH的中位线，所以点P运动的路径长是MN=丄GH=—{AB-AG-BH)=1cm.
22
图7
变式9如图10,已知AB=1O,点C、D在线段4B上且AC=DB=2,点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边HPFB，连结EF,设EF的中点为G.当点P从点C运动到点D时,则点G 移动路径的长是_______•
解法1:沿用原解法2的思路.如图8,在直角梯形DMNE中,PQ为其中位线，有
图8
分析：同变式8,两种解法皆可用，过程留给读者，答案是
3.
2019年第9期欽学放学9-29变式10如图11,已知AB=6,点C、D在
线段4B上且AC^DB=1,点P是线段CD上的
动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作
正方形4PMW和正方形BPQR,点E、F分别为
MN和QR的中点，连结EF,设EF的中点为点
G.当点P从点C运动到点D时，点G移动的路
径长是________•
分析:仿变式8可得答案是2.
图11
变式11如图12,已知4B=10,点C、D在线段上且AC=DB=2,点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段4B的同侧作正方形APEF和正方形BPHK,点、0|和。

2是这两个正方形的中心，连结0|。

2,设。

¢2的中点为G.当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长是________•
分析:易见与变式8本质相同.
变式12如图13,已知线段AB^IO,点C、D在线段4B上,且AC=BD=2,点P是CD上一动点，分别以AP.PB为边向AB的两侧作正方形4PEF和正方形设正方形对角线的交点分别为0,、乞.当点P从点C运动到点D 时，线段O t O2的中点G的运动路径长是
解：由厶O/B=厶。

2风=45。

知，点0在直线AE上运动，点。

2在直线血上运动，则0卍2的中点G在一条与4E、都平行的直线上运动•又0,02丄AE,0,02丄故点G的运动路径长等于点0,(02)的运动路径长，易*^AD AC c r-
知为=_~=3Q.
72Q
2.4综合变式
2014年连云港中考压轴题将面积问题、轨迹问题、最值问题融合在一起，与本文论述的试题及解法有诸多相似之处，这里作为一道综合变式题留给读者练习.
变式13(2014年连云港市中考试题)某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=&
问题思考：
如图14,点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.
E F
C D
A P B
图14
(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.
(2)分别连结仙、DF、AF,的交DP于点K,当点P运动时，在△APK、MDK、LDFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
(3)如图15,以4B为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=&若点P从点4出发，沿A—B—C—D
9-30裁学款学2019年第9期
的线路，向点D运动，求点P从人到O的运动过程中,PQ的中点0所经过的路径的长.
图15
(4)如图16,在“问题思考”中，若点M、N 是线段上的两点，且AM=BN=1,点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M 到N的运动过程中，GH的中点0所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
图16
答案:⑴不是定值,最小值为32；(2)S關k= S mk；(3)6tt；(4)3,/lU.
3余话
上面我们从两个视角(代数与几何)给出了原问题的3种解法，从三个维度(图形结构、设问对象、问题类型)对原问题进行改编，获得了12个变式，可谓丰富多彩.这不禁让人思考：面对一道题目，我们应该怎么做？难道仅仅给出其解法就草草了事？如果是这样，就很难达到做题的效果，解题能力的提高也将成为空谈•下面笔者结合前文所述及自己的切实体验谈几点感想：
(1)当我们看到一道题目时，不管是难还是容易，自己先去做一做，做完之后再尝试一题多解，尽量从不同角度给岀更多的解法，并在不同解法中看到知识与知识间的相互联系，锻炼自己分析问题与解决问题的能力.
(2)解题完毕后，还可以尝试对原问题变一变，在变式中检验不同解法的适用性；不难发现，对于变式1-3,解法2更优;对于变式5、7,解法1更优;对于变式8-11,解法3更优；由此可见，各种解法在不同的变式中各有用武之地，本文只是抛砖引玉，希望读者能给出更多变式.
(3)再谈“变式”的好处：对于老师，可用一些经典问题为依托，通过各种方式融入相关问题，从而得到新的问题，这是试题命制的一个基本途径.老师经常进行变式教学，有利于开阔学生的视野，激发学生的思维，培养学生的创新能力.
(4)考试时有些老师喜欢出新题，希望把学生难倒，如果这道题目平时练过类似的，那么就不出；殊不知，考试的根本目的不就是巩固所学吗？考原题固不可取，考变式则是不错的选择，给学生一种熟悉感，首先让学生从心理上不畏惧考试,但和平时所学又不太一样，需要举一反三，触类旁通,凸显能力的考查.
最后给出两道几何证明题以检测读者读罢此文的收获，这两道题目看似与本文无关,尝试后却发现所用方法非常熟悉：
思考题1如图17,圆0和圆。

2交于人、B两点，过点A作直线与两圆的另一个交点分别为点p、Q-求证：PQ w2OQ.
思考题2如图18,在443(7中,AB=AC, D、E分别是4B、AC上的点,RAD=CE.求证: BC W2DE.
致谢：感谢郑州平行线教育刘小平老师、
周兢老师在笔者行文过程中给予的指导.。