等腰三角形的复习课件
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1. 图中有几个等腰三角形? 相等角之间的转化
2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？
AF+ EB=FE 3. 若AC=10,则△CEF的周长为多少? 相等线段之间的转化
C
FO
E
C
F
OE
A
㈠
B
A
（二） B
如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长?
解:因为OA平分∠CAB. 所以AC=AF+FC=OF+FC.
所以∠FAO=∠OAB. 同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.
又因为EF∥AB.
所以△CFE的周长:
所以∠FOA=∠OAB. =OF+FC+OE+EC
所以∠FAO=∠FOA =AC+BC=12+8=20
即:AF=OF
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
B
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
D
BD CE
M
B MCE
BM CM ∴△BDM≌△CEM（SAS）
C
E
A
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
（2）证明线段或角相等
A 12
B
D
C
1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 21或18 .
2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则 它的顶角为90°( NO ) (Yes or no!)
总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用 分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!
1、如果等腰三角形的一个外角为100°，则这个
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，
AE=CD，
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ
B
A
E P
Q C
D
说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
E
F
B
DC
说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等
③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
A
D
B
G
H
C E
• 思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
练 习
8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别 在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求 ∠A的度数。
A
E
D
B
C
C
C
E
A
B
A
DB
在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边 于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE.
1. DE⊥AB吗?
等腰三角形复习
• 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组）
36°
D
36°
D
B
CB
CB
CBaidu Nhomakorabea
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和 AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.
• 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结
CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
等腰三角形的顶角为
。
2、如图，在三角形ABC中，BC=10，
AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ，
则AC长为
。
B
D
C
A
E D
A
B
C
想一想：
你还能写
D
出哪些结
论
B
A
E
C
A
E
M
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
z x y
x z z 180
∴∠A=∠AED=x
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
A x
E
xy
D z
y
z
B
C
∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°） ∴解得x=45° 即：∠A=45°
例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，
求证：△DEF也是等边三角形.
A
• 证明：∵△ABC是等边三角形 • ∴AC=BC，∠A=∠C • ∵CE=BD • ∴BC－BC=AC－CE • ∴CD=AE • 在△AEF和△CDE中
AE CD A C AF CE
• ∴△AEF≌△CDE（SAS） • ∴EF=DE • 同理可证EF=DF • ∴EF=DE=DF • ∴△DEF是等边三角形
例3 求已证知：：A如C图= 1，B∠DA. =90°，∠B=15°，BD=DC.
2
证明：
∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的
两个内角的和）
A
∵∠A=90°
D
∴AC= 1 DC
2
B
C
∴AC= 1 BD
2
例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.
2. 若CE=1,则DE=___1__. DB=___1___. 即：CE=DE=DB
3. 你还能找出哪些相等的线段吗? AD=AC=BC
4. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
C
C
O
FO
E
A
B
A
B
等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则:
求∠A的度数.
• 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=z
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=z
x 2y
∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE
2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？
AF+ EB=FE 3. 若AC=10,则△CEF的周长为多少? 相等线段之间的转化
C
FO
E
C
F
OE
A
㈠
B
A
（二） B
如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长?
解:因为OA平分∠CAB. 所以AC=AF+FC=OF+FC.
所以∠FAO=∠OAB. 同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.
又因为EF∥AB.
所以△CFE的周长:
所以∠FOA=∠OAB. =OF+FC+OE+EC
所以∠FAO=∠FOA =AC+BC=12+8=20
即:AF=OF
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
B
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
D
BD CE
M
B MCE
BM CM ∴△BDM≌△CEM（SAS）
C
E
A
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
（2）证明线段或角相等
A 12
B
D
C
1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 21或18 .
2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则 它的顶角为90°( NO ) (Yes or no!)
总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用 分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!
1、如果等腰三角形的一个外角为100°，则这个
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，
AE=CD，
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ
B
A
E P
Q C
D
说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
E
F
B
DC
说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等
③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
A
D
B
G
H
C E
• 思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
练 习
8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别 在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求 ∠A的度数。
A
E
D
B
C
C
C
E
A
B
A
DB
在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边 于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE.
1. DE⊥AB吗?
等腰三角形复习
• 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组）
36°
D
36°
D
B
CB
CB
CBaidu Nhomakorabea
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和 AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.
• 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结
CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
等腰三角形的顶角为
。
2、如图，在三角形ABC中，BC=10，
AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ，
则AC长为
。
B
D
C
A
E D
A
B
C
想一想：
你还能写
D
出哪些结
论
B
A
E
C
A
E
M
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
z x y
x z z 180
∴∠A=∠AED=x
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
A x
E
xy
D z
y
z
B
C
∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°） ∴解得x=45° 即：∠A=45°
例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，
求证：△DEF也是等边三角形.
A
• 证明：∵△ABC是等边三角形 • ∴AC=BC，∠A=∠C • ∵CE=BD • ∴BC－BC=AC－CE • ∴CD=AE • 在△AEF和△CDE中
AE CD A C AF CE
• ∴△AEF≌△CDE（SAS） • ∴EF=DE • 同理可证EF=DF • ∴EF=DE=DF • ∴△DEF是等边三角形
例3 求已证知：：A如C图= 1，B∠DA. =90°，∠B=15°，BD=DC.
2
证明：
∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的
两个内角的和）
A
∵∠A=90°
D
∴AC= 1 DC
2
B
C
∴AC= 1 BD
2
例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.
2. 若CE=1,则DE=___1__. DB=___1___. 即：CE=DE=DB
3. 你还能找出哪些相等的线段吗? AD=AC=BC
4. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
C
C
O
FO
E
A
B
A
B
等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则:
求∠A的度数.
• 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=z
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=z
x 2y
∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE