对于全国各省离婚率影响因素的定量分析

对于全国各省离婚率影响因素的定量分析
——基于主成分-因子-多元回归-聚类模型华南理工大学曾浩健、陈晓强、吴志铭
目录：
摘要 (1)
1 引言 (2)
2 问题分析 (2)
表1 离婚率的影响因素意义 (3)
3 文献综述 (4)
4 数据预处理 (4)
5 模型的建立与求解 (6)
图1 三级指标结构示意图 (6)
5.1主成分-因子分析模型 (6)
表2 三级指标示意表 (6)
表3 KMO检验和Bartlett检验 (7)
表4 各个指标变量共同度表 (8)
表5 经济因子变量解释 (8)
表6 主成分荷载表 (10)
表7 因子得分系数矩阵 (10)
表8 校正后因子得分系数矩阵 (12)
5.2多元回归分析模型 (13)
表9 F检验值与伴随概率 (13)
表10 相关系数 (13)
表11 多元回归结果1 (14)
表12 相关系数 (14)
表13 在不同省份间，指标对离婚率的贡献率 (15)
表14 多元回归结果2 (16)
表15 在不同年份间，指标对离婚率的贡献率 (16)
5.3改进的层次聚类分析模型 (17)
图2 分组聚类情况 (18)
6 研究结论及总结 (18)
7 模型的评价、改进以及推广 (19)
8 参考文献 (19)
9【附录】——模型准备 (20)
9.1主成分-因子分析模型的准备 (20)
9.2多元回归分析模型的准备 (21)
9.3改进的差异层次聚类分析模型的准备 (22)
摘要
本文主要是对我国离婚率进行定量分析，通过建立经济、人口结构及其素质、居民生活水平对离婚率的影响模型对我国内地22个省、4个直辖市、5个自治区的离婚率进行定量分析。

本文主要研究离婚率与什么因素实际相关及其影响程度和离婚率的分布规律。

针对这些问题我们通过建立以经济、人口结构及其素质、居民生活水平为一级指标，以城镇人口比例等指标为二级指标，以人口出生率等指标为三级指标建立多层级的指标体系。

首先，通过相关性分析，确定因素与离婚率之间有无表象关系；然后通过主成分分析，验证因素是否与离婚率具有因果关系；再通过因素的多元回归分析，得出因素对离婚率的影响作用的大小；最后通过层次聚类分析，研究离婚率的地域分布是否有规律。

经分析得出：对不同省份和不同年份来说，离婚率确实与经济、人口结构及其素质、居民生活水平有关，并且以人口结构的集中变化最为显著，居民生活集中变化为次，经济的集中变化不明显。

本文建模过程主要采用逐步深化量化模糊量的方法，挖掘隐藏在数字背后的信息，从而找出离婚率的影响因素，具有一定的推广性。

由于数据的繁杂性以及部分数据的缺失，带给数据预处理不少麻烦。

但是，本文思路清晰，并在灵活运用数学方法和建模工具基础上，简化了建模的难度。

因此，本文可适用于其他现有定性研究的定量化分析。

关键词：离婚率；经济发展水平；人口结构及其素质；居民生活水平；模型定量化分析
1 引言
近年来，随着经济和社会发展水平越来越高，物质生活更加充裕，人们更加注重自己的追求和享受。

同时，我们注意到，近几年的离婚率也开始激增，离婚成为了最近很红火的话题。

表象来看，离婚率好像与经济，文化，生活等因素有关，这也符合我们的主观印象，但是，实际上，它们是否真的存在因果关系呢？如果有，又有多大的程度相关呢？它们对离婚率的印象有多大呢？本论文希望通过定量的方法，把我们猜想的可能影响因素量化，用统计方法检验到底我们的想法是否正确。

在目前中文核心的相关研究中，关于离婚率的定性研究已经十分成熟，从现有国家统计局的数据来看，我们应该拥有足够的数据去解析影响离婚率的宏观因素，而在微观以及心理学层级上我们必须通过做问卷调查才能较为获得精确的微观数据，同时结合过往文献，由于立法带来的影响是瞬时的，而人口流动、心理因素等因素难以测算，排除了一些不能作为直接指标的数据。

所以本文把影响离婚率的因素研究重点放在人口状况、经济和生活水平上。

因此，本文的重心放在对离婚率宏观可量化因素的分析上。

——本文将研究离婚率的以下问题：
·离婚率跟什么因素实际相关
·这些因素在不同地区和不同年份对离婚率的影响程度
·离婚率的分布是否可以根据这些因素类比，归类，研究离婚率的分布规律在此之前，本文作出以下假设：
·假设离婚率与人类的一切社会行为有关
·假设离婚率和各级指标之间具有因果关系，且离婚率由各项指标影响
·假设从官方网站得到的关于离婚率的指标的数据信息真实可靠
·假设27个省、4个直辖市的数据样本为大样本
·假设指标名的定义按照国际标准，具有其特定意义
2 问题分析
本文所研究的主要内容是：结合人口状况、经济、生活水平，作出对离婚率影响的定量评估，我们主要弄清以下几个概念：
·离婚率：目前国际上通用的离婚率计算方法有3 种
第一种，是离婚数和结婚数的比；
第二种，有多少对夫妇离婚与社会夫妇总对数的比值，这需要10 年一次的人口普查才能得到数据，所以不容易办到；
第三种，就是现在中国采取的这种年离婚夫妇对数与年平均人口（即
2年末人口数
年初人口数 ）的千分比。

现在的方法虽然是有缺陷的，但是数据比较容
易采集。

此方法也是中国国家统计局计算离婚率统一采用的方法。

在人们的印象中，物质生活进步，人口结构变动，文化水平提高等都可能影响到离婚率。

因此，本文把可能影响离婚率的因素归为三大类：经济，人口结构及其素质，居民生活水平。

·影响因素的意义如下表：
表1 离婚率的影响因素意义
经济
城市登记失业率(%) 失业衡量了家庭收入的稳定状况，就业不稳定会给婚姻带来影响。

全社会固定资产投资额(亿元) 资产投资额属于先行经济景气指标，在一定程度上代表了经济状况，经济景气可能影响人们的关于离婚的想法。

居民消费物价指数（基期1997）居民消费物价指数是代表人民生活水平的重要指标，属于滞后经济景气指标，间接影响到离婚率。

人均国内生产总值（现值）(元) 人均国内生产总值是反映一个国家生产数量和国民物质生活是否充裕的宏观经济指标，属于同步经济景气指标，物质充裕度可能影响离婚率。

第三产业增加值占GDP比重(%) 第三产业反映着一个社会的产业结构状况，反映社会工业化发展程度，间接影响离婚率。

城乡居民储蓄存款年底余额(亿元) 人民储蓄关系到人民家庭生活的稳定，间接影响离婚率。

人口结构及其素质
城镇人口比例(%) 城镇人口比例体现社会城市化程度，间接影响了一
个省的社会结构。

人口出生率(%) 孩子是维系婚姻关系的纽带，能够减少离婚率。

性别比（女＝100）性别差距可能会影响婚姻的和谐。

总负担系数(%) 体现了社会劳动结构和人口抚养压力，对离婚有直
接影响。

大专以上占比(%) 由于离婚率与受教育水平有一定联系，本文采用大
专以上占比来近似衡量这一联系的大小。

普通高等学校数(所) 学校的建立，会对一个地区的文化造成影响，间接的影响离婚率。

居民生活水平
居民恩格尔系数(%) 是衡量居民生活水平高低的一项重要指标，直接影响到离婚率的大小。

居民家庭年人均总
收入(元)
收入反映物质充裕度，对离婚有直接影响。

商品房本年人均销售面积(平方米/人) 住房问题是当今婚姻面临的主要问题之一，对离婚有直接影响。

客运量总计(万人) 客运的发展缩减了人与人之间的距离，加大了异地
分居的可能性，间接上对离婚率有影响。

互联网上网人数互联网的应用，加快了信息的传递和交流，同时拉
近了人与人之间的交流，对离婚有影响
卫生机构数(所) 医疗卫生水平，是影响人们生活从而影响离婚率的
间接因素。

在选取完指标后，通过中经网获得所需要的所有数据。

接下来，首先通过相关性分析，确定因素与离婚率之间有无表象关系；然后通过主成分分析，验证因素是否与离婚率具有因果关系；再通过因素的多元回归分析，得出因素对离婚率的影响作用的大小；最后通过层次聚类分析，通过比较离婚率在地域上的分布差异，联系不同地域的经济，人口状况，生活水平的具体情况，研究离婚率的分布是否有规律，是否与社会状况密切相关。

3 文献综述
在汪国华教授的《从熟人社会到陌生人社会:城市离婚率趋高的社会学透视》一文中，总结到现代社会离婚率的上升主要有以下几个原因：
(一)社会结构包括就业结构、城乡人口结构的变化以及经济与人口结构的演变
(二)妇女们的地位包括文化程度的提高和职业性质的改变,
(三)离婚立法的变化，在客观上导致了离婚率的上升
(四)家庭中产业结构和城市人口结构的改变以及其所承担的各种重要的社会功能的变化
(五)现代社会中, 电视、网络等媒体渗透带来的价值观和生活方式的变化,
(六)人口流动以及人际关系以及人们心理等的难以估量的因素。

而夏吟兰教授的《对离婚率上升的社会成本分析》文章曾经叙述到以下点
离婚率上升的社会负面效应有：
(一)离婚妇女及其抚养的子女生活贫困化
(二)离婚不利于未成年子女身心健康
(三)离婚率与犯罪率有正相关的关系
(四)高离婚率影响公众对婚姻的信心
从张峻荣教授《经济与婚姻——10 省、市离婚率水平实证分析》看出前人对离婚率的研究方法大多集中在回归分析的方法上，另外一方面，前人对离婚率的研究大多留在对数据的初步观测和定性研究上，而本文主要的方向就是结合前人的定性研究，将定性的研究定量化的过程。

4 数据预处理
在做深入的分析工作之前，率先进行了数据预处理（由于香港，澳门，台湾数据无法获得，暂时不考虑港澳台的状况），并用到了以下数学模型：
(1)直接平均型补充数据法
(2)加权平均型补充数据法
(3)Logistic补充数据法
(4)线性拟合补充数据法等方法
在得到相关指标原始数据后，我们进行了数据预处理。

1、在获得大专以上学历占比，农村人口比例等初级数据时，由于某些城市如重庆等出现小规模数据缺失，而且观察数据的变动规律，大概呈线性水平稳定变化，于是采用线性拟合补充数据法。

通过线性拟合预测缺失的数据，大部分数据拟合状况良好，显著性水平较高，但也由于某些数据量少，分布规律不明显而预测精度不够高，如西藏。

2、在搜集互联网人数时，大部分地区的数据不成明显的线性分布，考虑到互联网当时处于萌发时期，增长率比较高，就利用逻辑斯蒂克模型拟合数据，其中大部分城市拟合状况非常好，如辽宁，吉林，江苏等，但也有部分地区处于发展较早或较晚，整体不呈现明显规律，以局部进行预测如上海，拟合效果较差，就改用局部二次拟合；另如西藏，新疆，由于发展较缓，增长不明显，采用局部平均法，拟合效果改善了不少。

3、通过那个城市和农村的人口占比比例，对恩格尔系数和城镇人口占比进行加权以后得出整个社会的指标，把城镇和农村科学地加总在一起，减少了误差，提高可信度。

如恩格尔系数，因为只存在农村恩格尔系数和城镇恩格尔系数，通过农村和城镇人口占比，作为权数，加权后等到整个社会的恩格尔系数。

4、其他的还有包括2000年的性别比例还有一些全国指标，由于其本身比较近似于随机变动，而且由于已知数据量相对较大，就使用直接平均法预测出其缺失值，相对比模型预测更准确，误差更小。

对于失业率，因为农村没有数据，所以我们直接用城镇的数据来替代了。

城市登记失业率，全社会固定资产投资总额，人均国内生产总值（现价），人口出生率，总负担系数，客运量，卫生机构总数，普通高等学校数，城乡居民储蓄存款年底余额，第三产业占GDP 的比重等作为三级指标，大专以上比率，商品房本年人均销售面积，居民家庭人均总收入，居民恩格尔系数，城镇人口比例，居民消费物价指数，作为二级指标。

其中：
2
该年年底总人口上年年底总人口
该年年均总人口
+=
（4-1）
该年年均总人口
城镇人口城镇人口占比=
（4-2） 年均该年总人口
农村人口农村人口占比=
（4-3）
该年年均总人口
农村居民恩格尔系数
农村人口城镇居民恩格尔系数城镇人口居民恩格尔系数**+=
（4-4）
该年年均总人口
入
农村居民家庭人均总收
农村人口入城镇居民家庭人均总收
城镇人口居民家庭人均总收入
**+=
（4-5）
该年年均总人口
商品房本年销售面积积商品房本年人均销售面=
（4-6）
该年年均总人口
大专以上的毕业生人数
大专以上占比=
（4-7）
居民消费物价指数
居民消费物价指数该年
年
基期∏
=
1997 （4-8）
5 模型的建立与求解
与离婚率研究相关的三层级指标体系结构如图1
所示：
图1 三级指标结构示意图
5.1主成分-因子分析模型
为了更准确探讨我国及各省份离婚率的原因，首先设立与离婚行为密切相关的经济、人口结构及其素质、居民生活3大分类共18个二、三级指标，如表2所示：
表2 三级指标示意表
一级指标
二级指标
三级指标 经济
居民消费物价指数（基期1997年） 城市登记失业率 全社会固定资产投资总额 人均国内生产总值（现价）
第三产业占GDP 的比重 城乡居民储蓄存款年底余额
人口结构及其素质
城镇人口比例
人口出生率 性别比（女＝100） 大专以上比率
总负担系数 普通高等学校数
居民生活水平
居民恩格尔系数 客运量 居民家庭人均总收入 互联网人数 商品房本年人均销售面积
卫生机构总数
并通过网络、报刊、书籍和权威统计数据库查找出全国及内地22个省、4个
直辖市、5个自治区的20年的相关数据，对缺少数据的指标进行筛选、预处理，最后得到2002－2009全国及内地22个省、4个直辖市、5个自治区各个指标的数据。

而在多数情况下，不同评价指标之间有一定相关性的，一方面由于评价指标较多而且指标之间有一定的相关性，势必增加了分析问题的复杂性；另一方面则会造成模型参数的过度拟合，降低分类或预测的准确性和可靠性。

为了简化运算，提高模型效率，增加分类的准确性，本文建立了主成分分析模型，尽量将经济、人口结构及其素质、居民生活3个一级指标内的原评价指标各自重新组合成一新的、互相无关的几个综合指标来代替原评价指标，组合成3个新的一级指标，并尽可能地反映原指标的信息。

最后通过因子分析，给出了经济、人口结构及其素质、居民生活这3个新一级指标内各个综合指标的得分及其和，并依据不同主成分在所在一级指标组内解析信息百分比加权算出各个指标对济、人口结构及其素质、居民生活的相对贡献率。

5.1.1 二、三级指标数据预处理：
由于在统计学中，平均值是集中趋势的最主要测度值，同时从统计思想上看，平均数是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然结果。

所以，利用平均数作为代表值，可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。

于是在选择数据的时候，我们特地采用各项指标2002～2009年的数值平均数作为我们模型的基础数据。

我们根据相关性表，发现人口出生率、性别比、总负担系数、居民恩格尔系数、卫生机构总数分别与粗离婚率呈负相关性。

为了统一相关性方向，以便更准确评价经济、人口结构及其素质、居民生活3个一级指标与粗离婚率的相关关系，我们对与粗离婚率呈负相关性的5个指标的数据乘以－1，使得新的人口出生率、性别比、总负担系数、居民恩格尔系数、卫生机构总数分别与粗离婚率呈正相关关系。

最后对各项指标2002～2009年的数据平均值进行标准化处理。

5.1.2 KMO检验和Bartlett检验
录入数据，并运用统计数学软件Linear过程对数据进行主成分分析，首先对数据进行KMO检验和Bartlett检验，以观察样本数据是否适合进行主成分分析，进而得出相关系数矩阵及其特征值、贡献率及累积贡献率等。

表3 KMO检验和Bartlett检验
KMO and Bartlett's 检验
经济人口
结构
及其
素质居民生活
Kaiser-Meyer-Olkin
检验值
0.546 0.733 0.581
Bartlett球度检验
伴随概率
0 0 0
从表中得知，KMO值均大于0.5。

根据统计学家Kaiser教授给出的标准，KMO>0.5
比较适合作因子分析;Barlett球度检验给出的相伴概率Sig均为0.000，小于显著性水平0.05，说明经过Barlett球度检验，证明其相关矩阵不是一个单位矩阵，因子模型适合。

5.1.3 主成分分析
●这是因子分析初始结果，由于每个原始变量的所有方差都能被因子变量解释掉，因此每个原始变量共同度都为1。

根据因子分析最终解计算出的变量共同度。

根据最终提取的m个特征值和对应的特征向量计算出因子载荷矩阵。

除了经济：城市登记失业率、全社会固定资产投资额、人均国内生产现值；人口结构及其素质：性别比、大专以上占比、普通高等学校数；居民生活水平：居民恩格尔系数、卫生机构数这7个指标，其他评价指标的共同度对所在一级指标组的所有指标均为大于0.80，表明模型基本解释了每一个评价指标的全部方差，而不需要特殊因素。

表4 各个指标变量共同度表
经济
城市登记
失业率
居民消费
物价指数
（1997）
全社会固
定资产投
资额
人均国内
生产现值
第三产业
增加值占
GDP比重
城乡居民
储蓄存款
年底余额初始变量
共同度
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
新变量共
同度
.424 .863 .356 .734 .815 .912
人口结构及其素
质
城镇人口
比例
人口出生
率
性别比总负担系
数
大专以上
占比
普通高等
学校数
初始变量
共同度
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
新变量共
同度
.806 .832 .284 .843 .758 .568
居民生
活水平
居民恩格
尔系数
家庭人均
全年总收
入
商品房本
年人均销
售面积
客运量总
计
互联网上
网人数
卫生机构
数
初始变量
共同度
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
新变量共
同度
.540 .935 .886 .916 .891 .825 ●主成分的统计信息（表7），包括三个一级指标组的特征根由大到小的次序
组内排列，各主成分的贡献率及累积贡献率。

表5 经济因子变量解释
经济因子变量解释
主成分
初始特征值
特征值
因子变量
方差贡献
率（%）
累计方差
贡献率
（%）
1 2.383 39.716 39.716
2 1.722 28.697 68.413
3 4 0.821
0.734
13.685
12.239
82.098
94.337
5 0.237 3.953 98.29
6 0.103 1.71 100
人口结构及其素质因子变量解释
主成分
初始特征值
特征值
因子变量
方差贡献
率（%）
累计方差
贡献率
（%）
1 2.91 48.496 48.496
2 1.181 19.687 68.183
3 4 0.868
0.609
14.469
10.158
82.652
92.809
5 0.269 4.487 97.296
6 0.162 2.704 100
居民生活水平因子变量解释
主成分
初始特征值
特征值
因子变量
方差贡献
率（%）
累计方差
贡献率
（%）
1 2.693 44.88 44.88
2 2.299 38.31
3 83.193
3 0.637 10.612 93.805
4 0.238 3.962 97.767
5 0.089 1.478 99.245
6 0.045 0.755 100
主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于1的前m 个主成分。

特征值在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标, 如果特征值小于1, 说明该主成分的解释力度还不如直接引入一个原变量的平均解释力度大, 因此一般可以用特征值大于1 作为纳入标准。

而经济一级指标组第一主成分的特征根为2.383，它解释了原指标的39.716%的信息，第二主成分的特征根为1.722，它解释了指标的28.697%的信息，累计解释了原指标68.413%的信息；第二、三、四、五、六的主成分的特征根均小于1，
根据主成分个数提取原则，故只提取第一、二主成分即可。

同理，人口结构及其素质一级指标组只提取一、二主成分，解释了原指标68.183%的信息。

居民生活水平一级指标组只提取一、二主成分，解释了原指标83.193%的信息。

●主成分载荷矩阵（表6）。

经济一级指标组内第一主成分主要包含了72.9%居民物价指数、76.2%人均国内生产总值、88.8%的城乡居民储蓄存款年底余额的信息，第二主成分主要包含了58.6%全社会固定资产投资额、81.5%第三产业增加值占GDP比重的信息。

人口结构及其素质一级指标组内第一主成分主要包含了81.7%的城镇人口比例、91.2%人口出生率、53.2%性别比、90.5%总负担系数、52.5%普通高等学校数的信息。

第二主成分主要包含了85.2%大专以上占比、54.1%普通高等学校数的信息。

居民生活水平一级指标组内第一主成分主要包含了59.4%居民恩格尔系数、74.5%家庭人均全年总收入、55.1%商品房本年人均销售面积、71.6%客运量总计、86.9%互联网上网人数的信息。

第二主成分主要包含了61.6%家庭人均全年总收入、76.3%商品房本年人均销售面积、78.1%卫生机构数的信息
所有评价指标都有较高的载荷，除了”城市失业率”这指标在经济一级指标组内第一、二主成分的载荷低于50%，说明这三个一级指标组内6个主成分能反映出原评价指标的绝大部分信息，因此可以以这6个主成分替代原来的18个评价指标。

表6 主成分荷载表
经济
主成分城市登记
失业率
居民消费
物价指数
（1997）
全社会固
定资产投
资额
人均国内
生产现值
第三产业
增加值占
GDP比重
城乡居民
储蓄存款
年底余额
1 -0.563 0.729 -0.115 0.76
2 0.389 0.888
2 -0.326 -0.575 0.586 0.392 0.815 -0.352
人口结构及其素
质
城镇人口
比例
人口出生
率
性别比总负担系
数
大专以上
占比
普通高等
学校数
1 0.817 0.91
2 0.532 0.905 0.182 0.525
2 -0.37
3 0.016 -0.018 -0.15
4 0.852 0.541
居民生
活
水
平
居民恩格
尔系数
家庭人均
全年总收
入
商品房本
年人均销
售面积
客运量总
计
互联网上
网人数
卫生机构
数
1 0.594 0.745 0.551 0.716 0.869 -0.463
2 0.432 0.616 0.76
3 -0.635 -0.368 0.781
●因子得分系数矩阵（表7），这是主成分分析的最终结果，通过该系数矩阵可以将主成分表示为各个评价指标的线性组合。

表7 因子得分系数矩阵
经 济
主成分
城市登记失业率 居民消费物价指数（1997） 全社会固定资产投资额 人均国内生产现值 第三产业增加值占
GDP 比重
城乡居民储蓄存款年底余额
1 -0.301 -0.019 0.206 0.387 0.449 0.1
2 2
-0.032 0.453 -0.275 0.064 -0.22 0.408 人口结构及其素 质 城镇人口比例
人口出生率
性别比
总负担系数
大专以上占比 普通高等学校数
1 0.89 0.868 0.515 ..911 -0.073 0.345 2
-0.12 0.28 0.138 0.116 0.868 0.67 居民生 活 水 平
居民恩格尔系数
家庭人均全年总收入
商品房本年人均销
售面积
客运量总计
互联网上网人数
卫生机构数 1 0.024 0.008 -0.088 0.383 0.342 -0.361 2
0.289
0.385
0.38
-0.01
0.113
0.121
●由于各个一级指标组内的每个主成分解析信息百分比不同，因此，可根据以下公式进行加权校正：
2
1
(1,2,3;1,2)
ij
ij ik
k M W i j M
==
==∑ （5-1）
由此，可得因子加权校正得分系数表达式：
*(1,2,3;1,2)
ij ij
ij f W
f i j =
==∑’
（5-2）
各个一级指标组内各个主成分加权校正得分表达式：
*(1,2,3;1,2)
ij ij ij F W F i j ===’
（5-3）
其中,ij W 为第i 个一级指标组内第j 个主成分的权值；
ij
M
为第i 个一级指标组内第j 个主成份对原指标信息解释百分比。

ij f 为第i 个一级指标内第j 个主成分的各因子得分系数组。

'ij f 为第i 个一级指标内第j 个主成分的各因子加权校正后得分系数组。

ij
F 为第i 个一级指标内第j 个主成份得分。

'ij F 为第i 个一级指标内第j 个主成份加权校正后得分。